客房预定的价格和数量问题-2016-年数学建模.docx

2016 年长江工程职业技术学院 数学建模 承 诺 书 我们仔细阅读了长江工程职业技术学院数学建模的竞赛规则，我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： C参赛队员 (打印并签名) ：1. 曹东风 2. 杨丹河 3. 王有亮 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 易同贸 日期： 2016 年5月 16 日 2016 年长江工程职业技术学院 数学建模 C 题 客房预定的价格和数量问题摘 要 经分析，本文认为客房预订问题符合时间序列模型条件，以此入手进行分析预测，并制定较优的预定策略。 问题一中，本文建立时间序列乘法模型，对 2014年到 2016 年的标准房间月平均价格进行了长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动四个方面的分析，从而得出结论。并在该分析基础上，运用季节变动的多元回归预测和时间序列分解法预测两种模型，对未来一年客房价格进行预测，并给出预测结果图形。从预测结果来看，两种方法，后者更为优秀，结果符合实际情况，平均误差仅在 3%以内，结果值得信任。 问题二中，本文建立了对预订策略的分析模型。按照市场一般数据，引入宾馆期望收益和赔偿比例等参数，结合计算机模拟，得出宾馆在不同入住概率下不同预订水平对应的收益值，同时给出直观图形。通过分析讨论，得到出宾馆的较优预订策略。当宾馆处理方式为仅赔偿客人费用时，宾馆的超额预订策略是标准客房预订水平定为 530，豪华套房和总统套房不提供超额预订。当宾馆的处理方式是赔偿客人费用或升级客人锁定房间的等级时，宾馆的预订策略是标准客房预订水平定为 530，豪华客房预订水平定为小于 100 的值较为合理，总统套房的预订水平定为 20。【关键词】 】 ：时间序列分析 多元回归预测 时间序列分解法预测 数值模拟 预定策略1目录1 问题重述 . 22 问题假设 . 23 符号说明 . 24 问题分析 . 35 模型建立与求解 . 4 5.1 价格变动规律分析 . .4 5.1.1 长期趋势分析 . 4 5.1.2 季节变动分析 . .5 5.1.3 循环变动分析 . .6 5.1.4 不规则变动分析 . .6 5.2 标准间参考价格预测 . .6 5.2.1 季节变动的多元回归预测模型 .6 5.2.2 时间序列分解法预测模型 . .8 5.2.3 两种模型的对比分析 . .10 5.3 宾馆预定策略的制定 .11 5.3.1 只考虑赔偿客人损失的方案 .11 5.3.2 同时考虑赔偿客人损失以及升级客房的方案 . .137 模型检验 . .148 模型评价 . .14 8.1 模型的优点 . .14 8.2 模型的缺点 . .159 参考文献 .15附录 . .16附录一 移动平均值计算结果 . .16附录二 计算不同概率和超额预订水平下宾馆期望收益率的 matlab 程序示例 . .1821 问题重述 某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用一些措施。首先，要求客房提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。 （1）请建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表 1 给出了某宾馆2014 年 10 月2016 年 3 月期间，每月标准间平均价格(单位:元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。你还可以收集更多的数据来佐证你模型的价值（要求注明出处）。 （2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数, 以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险, 因为万一届时有超出客房数的客户出现, 宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房 30 套，豪华套房120 套，标准间 600 套。试为该宾馆制定合理的预定策略, 并论证你的理由。2 问题假设 1.已订客房的客人按时入住是相互独立的随机事件； 2.假设求解过程中引入的赔偿率和宾馆成本收益参数准确； 3.旅客对三种客房的需求比例等于三种客房数量的比例，且入住概率相等； 4.各影响因素对时间序列的影响是互不独立的； 6.循环变动、不规则变动忽略不计，即 C=I=1； 7.三种客房赔率相同，且总统套房不再进行升级房间的赔偿方法；3 符号说明 主要符号 符号意义 Y t 第 t 个时间序列的指标数值 T t 长期趋势成分 S t 季节变动成分 C t 循环变动成分 I t 不规则变动成分 Q i (i=1,2,11) 虚拟 0-1 变量 b i (i=0,1,12) 季节变动多元回归方程各系数 y t 时间序列的第 t 个观察值 F t 时间序列的第 t 个预测值 MAD 时间序列观察值与预测值的平均误差 p 每人未按时入住概率 k 未按时入住人数 P k k 人未按时入住概率 m i (i=1,2,3) 宾馆定出的标准客房、豪华套间、总统套房的客房数 N i （i=1,2,3） 宾馆拥有的标准客房、豪华套间、总统套房的客房数 g i (i=1,2,3) 对应客房的价格 f 宾馆运营费用 s 利润 B 当客满使得客人不能入住时，宾馆需赔付费用4 问题分析 本题满足时间序列模型。以此，客房价格受长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动的影响。问题一: 我们从以上四个方面入手，对 2014 年 10 月至 2016 年 3 月的标准价月平均价格进行分析，得到价格变动规律。然后，在根据长期趋势成分和季节变动成分建立基于季节变动的多元回归预测模型模型，并在此基础上建立考虑长期趋势因素的时间序列预测模型， 从而得到未来一年标准间价格预测的最优解。问题二: 这家宾馆有总统套房、豪华套房、标准房间三种客房出租，且实行预订策略。那 么由于种种原因，客人可能会临时取消、改变预订或者提前离店等，从而造成宾馆的部分客房闲置。为减少或避免发生这种现象给宾馆造成的损失，充分利用客房，提高出租率，因此许多宾馆在某一时期内，会有意识地使宾馆所接受的客房预订数超过其客房接待能力，以弥补客人不到或临时取消而出现缺额的预订管理措施。然而，超额预订有可能使某些订了房间的客人无法入住，此时宾馆要付给他们一定的补偿或者升级客房的办法，以补偿客人的损失，为了使超额预订数能够保持在一个既能满足预订客人需求，又能保证宾馆利益的适宜限度之内，宾馆最希望知道超额预订多少房间，才是较好的方案。因此，可以建立一个求解在给定概率下期望赔偿认输的模型，再结合不同的预订水平，找出能使宾馆期望收益率最大的预订水平。 另外，我们将“旅客能否正常入住”假设为一个随机事件，“旅客不按时入住”这一事件就有一个概率 P，通过对宾馆一天收益的期望，可以得出在不同的入住概率下，宾馆收益与预订额数的关系，从而以期望收益率最大化为目标，得出一个在给定客人按时入住概率下的最优预订水平，为该宾馆提供预订策略。5 模型建立与求解5.1 价格变动规律分析 根据题意，我们认为标准间月平均价格变动符合时间序列模型，为此，可以通过建立时间序列乘法模型： (其中，Y 表示时间序列的指标数值，T 表示长期趋势成分，S 表示季节变动成分，C 表示循环变动成分，I 表示不规则变动成分。)5.1.1 长期趋势分析 根据题目所给数据，我们可以得到 2014 年 10 月至 2016 年 3 月标准间月平均价格随时间变化折线图。图 1 标准间月平均价格随时间变化折线图 由图中线性趋势线不难看出：该宾馆 20014年 10 月至 2016 年 3 月标准间月平均价格成上扬趋势。 利用办公软件易求出每年标准间月平均价格的平均值，计算每年年平均价格环比发展速度，如下： 年份 年平均价格 环比发展速度 2006 335.5 2007 429 1.278688525 2008 463.6666667 1.080808081 2009 467.1666667 1.007548526 2006 年至 2009 年年平均价格环比发展速度表 可以看出，2006 年以来，标准间年均价格环比发展速度减慢。再通过平均增长率计算公式： = ´ ´×××´ - ， 计算得出年平均增长率为 0.116674094。5.1.2 季节变动分析我们将数据按年份分组，得到标准间月平均价格随月份变化折线图。 图 2 标准间月平均价格随月份变化折线图 观察图标 2 明显看出，标准间月平均价格具有季节性变化。根据以求得的年平均价格，我们定义：月平均价格高于年平均价格，则认为该月份为旺季；否则，为淡季。由此，我们可以得出 2014 至 2016年每年的淡、旺季如下： 年份 旺季 淡季 2006 4 5 7 8 9 10 11 12 1 2 3 6 2007 5 7 8 9 10 11 1 2 3 4 6 12 2008 5 7 8 9 10 11 1 2 3 4 6 12 2009 4 5 7 8 9 10 1 2 3 6 11 12 2014年至 2016年各年份淡、旺季分布 总体来说，我们将 5 月、7 月、8 月、9 月、10 月、11 月归为旺季，其余为淡季。分辨根据平均增长率计算公式得出每年的淡、旺季平均增长率。 年份 旺季平均价格 环比发展速度 2006 370 2007 475.1666667 1.284234234 2008 511.3333333 1.076113644 2009 500 0.977835724 旺季平均价格与环比发展速度 年份 淡季平均价格 环比发展速度 2006 301 2007 382.8333333 1.271871539 2008 416 1.086634741 2009 434.3333333 1.044070513 淡季平均价格与环比发展速度 旺季平均增长率为 0.105578098，淡季平均增长率为 0.130018504。由此，我们看到：淡季比旺季价格增长快。5.1.3 循环变动分析 模型中，标准间月平均价格具有一定的循环规律，即以 12 个月为周期波动变化，但是该波动不具备固定规律，因此不予以考虑。我们认为周期变动不存在。5.1.4 不规则变动分析 观察图标 2，出了 2009 年 6 月之后所表示折线与之前一年有交叉外，其余折线数值上均高于前一年。结合世界局势，不难发现：此后若干月份标准间价格受世界金融危机影响，波动较大，不符合一般规律。模型中，我们将其归为不规则变动，不予以考虑。5.2 标准间参考价格预测 经过上述讨论分析，可以看到，该宾馆的标准间月平均价格有很强的长期趋势和季节变动。因此，我们采取两种模型，即：季节变动的多元回归预测模型和时间序列分解法预测模型，并通过对比分析，得出最优预测价格。5.2.1 季节变动的多元回归预测模型引入 11 个虚拟变量= =则季节变动多元回归方程可以表示为：其中 b i 表示各个系数。多元回归结果（ a =0.05 ）如表格 5 所示：预测价格折线图如下： 图 3 季节变动多元回归分析预测结果5.2.2 时间序列分解法预测模型 由于标准间月平均价格在 2005 年到 2010 年之间有一定的上扬趋势，并且仍然任然保持这一趋势。因此，在 6.2.1 季节变动多元回归预测的模型上，建立一个更为精确的预测模型时间序列分解法预测。5.2.2.1 确定季节指数 首先计算 12 项移动平均值（见附录一），将其结果进行 2 项移动平均。然后，计算季节比率。再调整季节指数，使得各季节指数的平均数应等于 1 或 100%。各月季节指数如下： 年 份 2006 2007 2008 2009 合计 平均 季节指数 1 0.9591 0.816 0.837 2.6121 0.8707 0.8669 2 0.8448 0.8837 0.8778 2.6063 0.868767 0.865 3 0.9716 0.9512 0.9519 2.8747 0.958233 0.954 4 1.085 0.9774 0.9716 1.0277 4.0617 1.015425 1.011 5 1.1103 1.0485 1.0436 1.0785 4.2809 1.070225 1.0655 6 0.964 0.9323 0.946 0.98 3.8223 0.955575 0.9514 7 1.0097 1.0789 1.1058 1.0511 4.2455 1.061375 1.0567 8 1.0992 1.1776 1.1789 1.1947 4.6504 1.1626 1.1575 9 1.0342 1.0843 1.0455 1.0108 4.1748 1.0437 1.0391 10 1.1099 1.1519 1.1363 3.3981 1.1327 1.1277 11 0.9892 1.0296 1.0538 3.0726 1.0242 1.0197 12 0.8997 0.919 0.8474 2.6661 0.8887 0.8848 季节指数将季节指数绘制成图形，如下：季节指数 5.2.2.2 分离季节变动 计算出季节指数后，将各实际价格值除以相应的季节指数，将集结成分从时间序列中分离出去。用公式表示为： ´ ´= = ´ 原序列与季节变动成分分离后的图形如下，他反应了没有季节因素影响的情况下时 间 序 列 的 变 化 形 态 。 分离季节成分后价格折线图5.2.2.3 价格预测 从提出季节变动成分后的标准间价格的时间序列图可以看出，标准间价格具有很明显的线性趋势，因此，用一元线性模型来预测各月份的标准间价格。根据分离季节性因素的序列确定的非线性趋势方程为：µ -5.2.2.4 预测值计算未来一年（2010 年 4 月至 2011 年 3 月）预测结果如下： 预测价格折线图如下： 图 6 季节变动分解法预测结果5.2.3 两种模型的对比分析设yt为时间序列的第 t 个观察值，Ft 为预测值， MAD 为平均误差，有：= -= å 其中 n 为预测值的个数，经计算，平均误差分别为 25.8，12.4。可以反映该宾馆的预测值与实际标准间价格之间差值分别为 25.8 ± ， 12.4 ± 。我们认为后一种预测模型比前一种预测模型优秀 50%，能较为真切地反映实际情况。由已知数据可知，标准间在 2005年到 2010 年间的平均价格为 415.9，故误差百分比分别为 6% ± ， 3% ± 。根据实际情况，该模型的预测结果是可以信任的。 另外，时间序列分解法分离了节性因素，着重讨论价格上扬的趋势。我们认为该方法更为合理。5.3 宾馆预定策略的制定 此处，我们分为两种情况进行分析。其一，当已经预订的客人由于客房已满不能入住时，只考虑赔偿客人损失；其二，同时考虑赔偿客人损失以及升级客房两种解决方案。5.3.1 只考虑赔偿客人损失的方案 设一个已定客房的旅客按时入住的概率为 p，不能按时入住为 q（q=1-p）。设宾馆定出的标准客房、豪华套间、总统套房的客房数分别为m1，m2，m3 ， ， 。其中 k人未按时入住的概率为 P k ，则有：-= 设N1，N2 ，N3， 为宾馆拥有的标准客房、豪华套间、总统套房的客房数量。G1，g2 ，g3为对应客房的价格，宾馆运营费用 f，利润为 s，B 为当一个已经预订客房的客人由于客满而不能入住时，宾馆赔付给他的损失。=- -= = -下面我们对该模型进行求解。一般地，当宾馆拥有的客房的 60时，客房的收入可以支付客房的费用。即：f=0.6 f Ng =假设利润期望值与客房费用之比是衡量宾馆运行状况的指标，那么有： 对于该宾馆的三种客房，在，b/g，的值一定时，可以通过数值模拟的方法确定，使得达到最大值。当很大时，可以使用泊松分数近似进行计算Pk 。另外，至少有个已经预订客房的客人由于客满的原因不能入住的概率可以按照如下公式计算： - -=å 假设 / 0.2 B g = （即是当已经预订客房的旅客不能入住时，按照客房价格的 20赔偿）。则，该宾馆的三种客房在不同的概率值下，标准客房、豪华套房、总统套房期望利润率与订房水平的变化情况如下列三个图所示： 我们根据市场普遍预订信誉来看，取 P=0.95。此时，宾馆为了镇区最大期望利润率，便准客房的预订水平因该取 530、豪华套房的预订水平取 100、总统套房的预订水平取20。因为此时宾馆利润最大。而其中，豪华套房、总统套房的数量太少，不适合超额预订，况且赔率较大，宾馆从经济的角度考虑，豪华套房、总统套房不应该接受超额预订。 观察求出的数据可知，对于标准客房来说，当标准客房的超额预订水平为 530 时，最大可能超额入住 5 人，且概率为 0.0796，即说明，最大可能赔偿 5 个人。 因此，我们的结论是，当宾馆处理方式为仅赔偿客人费用时，宾馆的超额预订策略是标准客房预订水平定位 530，豪华套房和总统套房不提供超额预订。5.3.2 同时考虑赔偿客人损失以及升级客房的方案=é ù= 对于总统套房，同样假设赔率与标准房间相同，若取 0.6 f Ng = ， / 0.1 B g = （即是当已经预订客房的旅客不能入住时，按照客房价格的赔偿，预订总统套房的不再进行升级房间的赔偿办法），同理可得：= - - 对与标准房间，由于没有更低级的房间升级到标准房间，故在不同的概率值下，期望利润率随订房水平的变化情况与图表相似。 由 5.3.1 的求解可知，在 P=0.95 的情况下，宾馆为达到最大期望收益率，标准客房的超额预订水平为 530，豪华套房和总统套房不需要超额预订。在标准客房的 530 超额预订水平下，最大可能是需要赔偿 5 个人。我们不妨假设宾馆此时的处理方式是给其中 2 人退预定金，并赔偿预订金的 20%；给另外 3 人升级为豪华套房。于是，对于豪华套房来说，由于客满，已经预定豪华套房的客人不能入住的概率将增加。由于豪华套房本身不超额预订，那么，宾馆最明智的处理方式是预留 3 个房间，提供给不能住标准客房的客人，以减少损失。 因此，我们结论是：当宾馆的处理方式是赔偿客人费用或升级客人锁定房间的等级时，宾馆的预订策略是标准客房预订水平定为 530，豪华客房预订水平定为 97，总统套房的预订水平定为 20。7 模型检验 由 MATLAB 软件的多次运行及模拟，我们所建立的时间序列分解法预测模型中的结果比较稳定，且符合实际情况，平均误差仅在 3%以内，结果值得信任；客房预订方案也能较好地满足宾馆盈利最大的要求，尽可能减少宾馆的赔偿损失。因此，说明了我们的模型较为合理。8 模型评价8.1 模型的优点 模型对于客房价格的预测结果较为精确，值得信任； 在预订策略的建立过程中，引入参数，以数据的分析和模拟给出预订策略，更为可取； 给出预订策略时，对待不同的预订水平和客人按时入住概率给予模拟，建立图表，更加直观； 对于时间序列的分析，全面具体。8.2 模型的缺点时间序列预测时，不能考虑长期趋势，如，2010 年的世界经济回暖后，房价上扬趋势将会更加明显；为预订策略引入的参数与实际市场有一定的偏离，但在可信范围内。9 参考文献1 贾俊平等，统计学，北京：中国人民大学出版社，2007。2 袁卫等，统计学，北京：高等教育出版社，2005。3 周圣武等，航空公司超额订票的收益分析，大学数学，第 20 卷第 5 期，12-13页，2003。4 李义强、王曼，饭店客房超额预订模型分析，新乡师范高等专科学学报，第 19卷第 3 期，5-7 页，2006附录附录一 移动平均值计算结果附录二 计算不同概率和超额预订水平下 宾馆 期望收益率的 B MATLAB 程序示例总统套房怎样写作数学建模竞赛论文一 如何建立数学模型建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：1. 形成问题要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。2. 假设和简化根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3 .模型的构建根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4. 检验和评价数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。而更