《走向高考》2013 高三数学(人教A版)总复习同步练习7-2基本不等式.doc

7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f(x)logax(a>0且a1)，若x<0时，有ax>1，则不等式f(1)>1的解集为()A(，) B(1，)C(，) D(1，)答案D解析依题意得0<a<1，于是由f(1)>1得loga(1)>logaa,0<1<a，由此解得1<x<，因此不等式f(1)>1的解集是(1，)，选D.(理)“a”是“对任意的正数x，均有x1”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案A解析a，x>0时，x21，等号在x时成立，又a4时，xx24也满足x1，故选A.2(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C1：x2y22axa240，(aR)与圆C2：x2y22by1b20，(bR)外切，则ab的最大值为()A3 B3C3 D3答案D解析C1：(xa)2y24的圆心C1(a,0)，半径r12，C2：x2(yb)21的圆心C2(0，b)，半径r21，C1与C2外切，|C1C2|r1r2，a2b29，(ab)2a2b22ab2(a2b2)18，ab3，等号在ab时成立(理)(2011·厦门二检)若直线axby20(a>0，b>0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2答案C解析圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，(ab)()，当且仅当，即a2(1)，b2时取等号，故选C.3(2012·河南六市联考)函数ylogax1(a>0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线40(m>0，n>0)上，则mn的最小值为()A2 B2C1 D4答案C解析ylogax1过定点A(1,1)，A在直线40上，4，m>0，n>0，mn(mn)()(2)(22)1，等号在mn时成立，mn的最小值为1.4(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4Bab有最小值C.有最大值Da2b2有最小值答案C解析由基本不等式，得abab，所以ab，故B错；4，故A错；由基本不等式得，即，故C正确；a2b2(ab)22ab12ab12×，故D错故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x<1，则的最小值为()A24 B26C25 D1答案C解析依题意得()x(1x)1313225，当且仅当，即x时取等号，选C.5(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为()A2 B2C6 D9答案C解析由题意知a·b4(x1)2y0，2xy2，9x3y32x3y26，等号成立时，x，y2，故选C.6(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件答案B解析由题意知仓储x件需要的仓储费为元，所以平均费用为y220，当且仅当x80等号成立7已知c是双曲线1(a>0，b>0)的半焦距，则的取值范围是_答案，1)解析由题设条件知，ab>c，<1，a2b2c2，()2，<1.8(文)(2011·温州一检)已知直线x2y2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_答案解析由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为y1，x0,2，又动点P(a，b)在线段AB上，所以b1，a0,2，又b2，所以12，解得0ab，当且仅当b，即P(1，)时，ab取得最大值.(理)设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为_答案2解析由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为1，则1，a2b2a2b22ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，ab2，则AB|AB|2.9(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案4解析由题意，P，Q关于(0,0)对称，设直线PQ：ykx(k>0)，从而P(，)，Q(，)则PQ4，当且仅当k1时，(PQ)min4.点评(1)用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等(3)注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|2|OP|24，x0时取等号，更简捷的获解(理)(2011·山东日照调研)在等式“1”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_答案4和12解析设两个括号中的正整数分别为x，y，则x>0，y>0，1，xy(xy)()1010216，等号在，即y3x时成立，由解得10(文)(2011·洛阳模拟)若直线axby10(a>0，b>0)平分圆x2y28x2y10，求的最小值解析由x2y28x2y10得(x4)2(y1)216，圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即4ab1，由14ab24，得ab，16，的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB30m，AD20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？解析(1)设DQxm(x>0)，则AQx20，AP，则S×AP×AQ15(x40)1200，当且仅当x20时取等号(2)S1600，3x2200x12000，0<x或x60答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0<DQ或DQ60.能力拓展提升11.(文)已知1<a<0，A1a2，B1a2，C，比较A、B、C的大小结果为()AA<B<C BB<A<CCA<C<B DB<C<A答案B解析不妨设a，则A，B，C2，由此猜想B<A<C.由1<a<0得1a>0，AB(1a2)(1a2)2a2>0得A>B，CA(1a2)>0，得C>A，B<A<C.(理)(2012·济南一模)若实数x、y满足4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是()A0<t2 B0<t4C2<t4 Dt4答案C解析设a2x，b2y，则a>0，b>0，由条件得a2b22(ab)，a2b2，(ab)24(ab)，ab4，又(ab)22(ab)2ab>0，ab>2，2<ab4.12(2011·福建文，10)若a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9答案D解析f (x)12x22ax2b0的一根为x1，即122a2b0.ab6，ab()29，当且仅当ab3时“”号成立13(文)(2011·湛江调研)已知x>0，y>0，若>m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2<m<4 D4<m<2答案D解析x>0，y>0，28，由条件知m22m<8，解得4<m<2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B.C. D不存在答案A解析由已知an>0，a7a62a5，设an的公比为q，则a6qa6，q2q20，q>0，q2，4a1，a·qmn216a，mn24，mn6，(mn)，等号在，即n2m4时成立14如图所示，已知D是面积为1的ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设1，2，且12，记BDF的面积为Sf(1，2)，则S的最大值是_答案解析连接BE.因为ABC的面积为1，2，所以ABE的面积为2.因为D是AB的中点，所以BDE的面积为.因为1，所以BDF的面积Sf(1，2)12()2，上式当且仅当12时取等号15(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区解析(1)设DQy，则x24xy200，y.S4200x2210×4xy80×4×y2380004000x2(0<x<10)(2)S380004000x2380002118000，当且仅当4000x2，即x时，Smin118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为×150%×50%，年销售收入为(×150%×50%)·Q(32Q3)x，年利润W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，则W50.t1，28，即W42，当且仅当，即t8时，W有最大值42，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元16(文)已知、都是锐角，且sinsincos()(1)当，求tan的值；(2)当tan取最大值时，求tan()的值解析(1)由条件知，sinsin，整理得sincos0，为锐角，tan.(2)由已知得sinsincoscossin2sin，tansincossin2tan，tan.当且仅当2tan时，取“”号，tan时，tan取得最大值，此时，tan().(理)函数f(x)对一切实数x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)当0<x<2时，不等式f(x)>ax5恒成立，求a的取值范围解析(1)令x1，y0，得f(10)f(0)(12×01)·12，f(0)f(1)22.(2)令y0，f(x0)f(0)(x2×01)·xx2x，f(x)x2x2.(3)f(x)>ax5化为x2x2>ax5，ax<x2x3，x(0,2)，a<1x.当x>0时，1x12，当且仅当x，即x时取等号，(0,2)，(1x)min12.a<12.1若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2B3C4D5答案D解析为a、b的等差中项，ab1.ab111，ab.当ab时取等号1145.的最小值为5.故选D.2已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是()ARA>RB BRARBCRA<RB D不确定答案A解析RA，RB，RARB>0，所以RA>RB.3若a、b、c、d、x、y是正实数，且P，Q·，则()APQ BPQCPQ DP>Q答案C解析Q·P.点评可用特值法求解，令所有字母全为1，则P2，Q2，PQ，排除D；令abcd1，x1，y4，则P4，Q5，P<Q，排除A、B，选C.4若不等式x2ax10对一切x成立，则a的最小值为()A0B2CD3答案C分析将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x的代数式ax，x，a只要大于或等于yx，x的最大值就满足题设要求解析若x2ax10，x恒成立，则ax，x恒成立令yx，x，则y1，当x时y>0，yx，x为增函数，ymaxy|x，当a时，ax恒成立，即x2ax10，x恒成立，选C.5如图在等腰直角ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的最大值为()A.B1C2D3答案B解析以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，m，n，M、N，直线MN的方程为1，直线MN过点P(1,1)，1，mn2，mn2，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.6设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案8解析(a1,1)，(b1,2)，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a>0，b>0，()(2ab)4428，当且仅当，即b，a时等号成立25等 立成等 ， ) )( 且，) ( ,( ) ) ) (, ) >， 0 共( ) , ), ( ) ( ) ，, ( ,( , ) _最的 , ，共 、点坐 0> 0( ) ,( ，)( 为最等 当当 ) ( ) , () 点 ) 程 )0, ( ),( ( ，)( , )( ( ，, , ( ) ( ， ) ) ( ( ,为 ，腰 直等，直轴 大 则) ( ，) ( ( 、同 线分线 点 是 中 腰 选立) ( ( ( ， 立恒) ) ) ( | 函为),(0 ( ( 0) 0( ( ， 则) ， , 立恒) ,，( ), 成),， 求要题值的) ， ( )( 等大 ), 0 ( ( ，) ( 代 边，为式为变进不 (值的，) ( 0 等 ， 除 除 ，为字令解用 ) ( ) ),( > 则) ( 且实是、 0 ) , , ( ( 案确 (关的与 为总应接按，个的值 选 小 ( 号号) , , , ), ( ( ，等 ( (值则,( , ， 是等 ，)( ) ，,)( 等 ，) 当当) , 时 ) ( ),， > 为 ( ) )× (，令 () ·× 000)围值的， >(，时 ) )00) ， ) ) 均、实)(函( ) , ( ( ) 值最 ,( 号号取 当) )( ( ) ,( ) ( , 知 角0 , ( ) )( )( 件由 值值( 大 值的 求 () 角都文元 ，最企元 费 ，值最， 即) , ，) ) ( ( ) ，) ) ) ) ( ) ， )() ( (),( , ) ) 润 ) , ·)×) , ( 入售% 价件，万 本的，可由(少少大大利企时多费年数函)(告表万润将和之 费所每年% 成生每为售若万 投品元 元万定的产生 为的)(告与(量计年销行对告适备业区小个造元. 少)0 时0 )00( 0当00 0× 0 0 000 ) 0 00 000 )( ×0× , 0 )区小个能才多至计式关函于 长 元价 / 造草角四，/ 为坪岗花部图形同个 元0 ，一上形正现区十 0积的 和 相由面的主它区的边一划活生、个居了宅)明·文文号取, 当当，) () ( ( ) (积 所) . 的 中 积的 ，) 为面 因 连 _值 为积 ，),( ) ( 接，一 接，一边，的边 为 ，图立时 ，),( ( 号,( ), , ( ) , ,( () ( ( ( , ，) , ，) ， 0 ,( 比 0 由存不,( . 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