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信息物理基础信息物理基础1.信息物理基础是什么？信息物理基础是什么？信息技术主要包括：信息技术主要包括： 信息产生、信息传输、信息采集信息产生、信息传输、信息采集 、信息处理、信息处理1）信息及信息技术）信息及信息技术信息：物质或能量在空间和时间上的分布。光、电、声、磁、信息：物质或能量在空间和时间上的分布。光、电、声、磁、气压、温度、气味等等气压、温度、气味等等信息采集：传感器信息采集：传感器类似人的感观系统（眼、鼻子、耳朵、）系统，负责获类似人的感观系统（眼、鼻子、耳朵、）系统，负责获得原始信息，主要由各类传感器完成得原始信息，主要由各类传感器完成。信息产生：载体产生和信息调制信息产生：载体产生和信息调制信息传输（通讯与通信）：信息传输（通讯与通信）：类似人的神经系统，负责；信息传送，属于通讯领域。类似人的神经系统，负责；信息传送，属于通讯领域。通讯：有线（电缆），无线（电磁波），有线光通讯，通讯：有线（电缆），无线（电磁波），有线光通讯，无线光通讯无线光通讯信息处理信息处理（计算机技术）（计算机技术）类似人的大脑系统，负责对信息的综合处理，由计算机类似人的大脑系统，负责对信息的综合处理，由计算机处理。处理。2）如何产生信息、如何传输信息、如何采集信息）如何产生信息、如何传输信息、如何采集信息 、如何处理信、如何处理信息均要深刻理解其物理原理和本质，其主要涉及的内容？息均要深刻理解其物理原理和本质，其主要涉及的内容？2.为什么学习为什么学习 信息物理基础？信息物理基础？3.怎么学习怎么学习 信息物理基础？信息物理基础？科学与技术科学与技术 理论与实践理论与实践第第1章章 数学基础数学基础1.1 矢量代数和矢量函数矢量代数和矢量函数1.1.矢量矢量 需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，例如力、速度、加速度、动量、角动量等都是矢量。 需用数值和单位(合称量值)表示其大小的量，叫标量，如长度、时间、质量、温度、能量等都是标量 用带箭头的字母 (例如、等)或黑斜体字母(如A、D等)表示矢量。矢量的大小又称矢量的模，并用 ，表示。AA2.2.矢量加减运算矢量加减运算 加法服从交换律CBAABBA服从结合律 CBACBACBA3 单位矢量和分矢量单位矢量和分矢量:大小为大小为1的矢量的矢量 0A|A|AkAjAiAAzyxkji，坐标轴方向的单位矢量 单位矢量表示为。 0A常矢 和变矢大小和方向都保持不变的矢量称 任一矢量可以分解为几个矢量，它们的和就是这个矢量。特别是可以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量 cosABBA其中 是矢量 和矢量 的夹角。AB若将矢量 和矢量 用直角坐标系方法表示，则有 ABzzyyxxBABABABAABBACCCBABA标量积满足交换律和结合律BA4 两矢量的标量积两矢量的标量积BA它的大小等于 sin|B|A|不服从交换律，但满足结合律ABBACCCBABA直角坐标系方法表示，则有 zyxzyxBBBAAAikjBA其方向垂直于两矢量所决定的平面，并且满足右手螺旋定则 5 两矢量的矢量积两矢量的矢量积有三种形式 CBAC BAC BA所谓三重标量积 它表示要先求矢量积，然后求标量积，其结果为一个标量，即为平行六面体的体积 BAABBACCCBAABBACCC6 6 三矢量相乘三矢量相乘1.2 场、梯度、散度和旋度场、梯度、散度和旋度1. 场的摡念场的摡念如果在全部空间或部分空间里的如果在全部空间或部分空间里的每每一个点一个点,都对应着某个物都对应着某个物理量的一个理量的一个确定的值确定的值,就说在这个空间里确定了该物理量的就说在这个空间里确定了该物理量的一个场。一个场。场分类场分类 (1)标量场标量场 (2)矢量场矢量场 (1)稳定场稳定场 (2)不稳定场不稳定场温度场温度场 电势场电势场 电场电场 磁场磁场只有确定数值的标量可以是空间坐标（如直角坐标系中的x、y、z）和时间t的函数，我们称为标量函数。),(tzyxf有确定方向的物理量的矢量，一般都是一个或几个（标量）变量的函数，称为矢量函数 ( , , , )F x y z t( , , )( , , )( , , )( , , )xxyyzzF x y za F x y za F x y za F x y z一个矢量函数对应三个标量函数 ),(xyxFx),(xyxFy),(xyxFz 标量函数与矢量函数标量函数与矢量函数 的物理状态与时间无关 fF矢量和矢量场的不变特性 2222222222FFFFFFFFFFrzrzyx矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是个矢量 静态场静态场 动态场动态场静态场静态场 动态场动态场或时变场 为了形象地描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概念。矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向。矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。所以矢量线充满了整个矢量所在空间。 任一点的切向长度元 与该点矢量场 的方向平行 l dA0ldA电力线、磁力线就是电场和磁场中的矢量线 矢量线矢量线直角坐标系中： zzyyxxzyxAaAaAaAdzadyadxal d =0 l dAxxaAdxyyaAdyzzaAdzzyxAdzAdyAdx这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。 标量场中，分布于各点的物理量是其空间坐标的单值函标量场中，分布于各点的物理量是其空间坐标的单值函数，即：数，即：m0m),(zyx2.标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度ommmmmmumulu)()(lim0000m0mm定义定义:设设 为标量场为标量场u中的一点中的一点,从点从点 出发引一条射线出发引一条射线L,在点在点 的邻近取一点的邻近取一点 ,记记 若当若当 时时, 的极限存在的极限存在,则称此极限为函数在则称此极限为函数在 处沿方向处沿方向L的方向导数的方向导数0m0mm0mm u0m标量场方向导数标量场方向导数其中其中:有两种有两种 函数函数u沿直线的方向导数沿直线的方向导数 函数函数u沿曲线的方向导数沿曲线的方向导数方向导数实质方向导数实质:函数函数U(m)在给定点处沿某个方向的变化率，可在给定点处沿某个方向的变化率，可见标量场在此点沿不同的方向具有不同的方向导数。见标量场在此点沿不同的方向具有不同的方向导数。coscoscos0zuyuxulum方向导数计算方向导数计算cos,cos,cos为该点的偏导数为该点的偏导数为为L方向的方向余弦方向的方向余弦zuyuxu,Gugrad定义定义:若在标量场若在标量场u中一点中一点M处，存在一个矢量处，存在一个矢量 ,且且 满足如下满足如下两个条件：两个条件： 方向方向:为为u在在M点变化率最大方向；点变化率最大方向； 模模:为为u在在M点最大变化率的数值点最大变化率的数值,则称则称 为标量场为标量场u在在M点处的梯度点处的梯度.GGG梯度在直角坐标系中表达式梯度在直角坐标系中表达式kzujyuixuugrad引进矢量微分算子引进矢量微分算子zkyjxi则梯度为：则梯度为：zukyujxuiu标量场梯度标量场梯度gradU（矢量）（矢量）梯度运算基本公式梯度运算基本公式0cgradugradccugradugradvgradvugrad)(ugradvvgraduuvgrad)(2)(vvgraduugradvvugradugradufufgrad)()(C为常量1）面积矢量面积矢量定义定义 定义：面积矢量是大小等于该面元的面积，方向和该面元的外法定义：面积矢量是大小等于该面元的面积，方向和该面元的外法线方向一致。线方向一致。dsnSddydzdsxdydxdszdzdxdsyzyxkdsjdsidsSd 面积矢量直角坐标系下的表达式：面积矢量直角坐标系下的表达式：dsnSd0dskznjynixnSd),cos(),cos(),cos(kzndsjynixndsSd),cos(),cos(),cos(dydxkdzdxjdydziSd 面积矢量直角坐标系下的表达式证明过程：面积矢量直角坐标系下的表达式证明过程：3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度矢量矢量A沿任一沿任一有向曲面有向曲面S的的面积分面积分,叫做矢量场穿过曲面叫做矢量场穿过曲面S的的通量通量通量在直角坐标系中表示法：通量在直角坐标系中表示法：SdASdA2）通量定义、表达式、）通量定义、表达式、 证明过程证明过程矢量矢量A在在闭合曲面闭合曲面S的的通量通量SRdydxQdxdzPdydz通量在直角坐标系中表示法的证明过程：通量在直角坐标系中表示法的证明过程：),(),(),(zyxkRzyxjQzyxiPAkdydxjdzdxidydzSdSSRdydxQdxdzPdydzSdA3）封闭曲面通量的物理意义）封闭曲面通量的物理意义SdA000封闭曲面内有源封闭曲面内有源封闭曲面内有负源封闭曲面内有负源封闭曲面内无源封闭曲面内无源封闭曲面通量的缺点：是一个整体的描述，不能描封闭曲面通量的缺点：是一个整体的描述，不能描述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？vdAvSvv00limlimAdiv高斯公式：高斯公式：dzAzyAyxAxdAS)(高斯公式作用：封闭曲面积分转换为体积分高斯公式作用：封闭曲面积分转换为体积分散度直角坐标系表示法散度直角坐标系表示法:zAzyAyxAxAdiv 表示法证明：表示法证明：定义：设有矢量场定义：设有矢量场A,于场中任一点于场中任一点m的某个邻域内作一包含的某个邻域内作一包含点点m在内的任一在内的任一闭曲面闭曲面s,设其包围的空间区域为设其包围的空间区域为,以以v表表示其体积，示其体积， 以以表示从其內部穿出表示从其內部穿出S的通量的通量,若当若当以以任意任意方式方式缩向缩向m点时点时,比式比式 的极限存在的极限存在, ,则称此极限为矢量场则称此极限为矢量场在在m m点处的点处的散度散度, ,记为记为: :v4）散度定义）散度定义(divA)（标量）（标量） 、表达式、证明过程、表达式、证明过程dzAzyAyxAxdAS)(vdzAzyAyxAxvdAvS/)(AAdiv7）散度实质：）散度实质： 表示矢量场中表示矢量场中某一点某一点的通量对体积的变化率，的通量对体积的变化率，即通量体密度，即通量体密度，表示该点作为场源的强度表示该点作为场源的强度vAdivv0lim5）散度矢量微分算子表示法）散度矢量微分算子表示法:zkyjxizAzyAyxAxvAdivv所以0limzAzyAyxAxAdiv8） 散度运算基本公式散度运算基本公式AcdivAcdivBdivAdivBAdiv)(AugradAudivAudiv)(高斯散度定理高斯散度定理SVAddA任一矢量场的散度的体积分等于该矢量场穿过该限定体积的闭合面的总通量。1）环量定义）环量定义4 矢量场的环量、环量面密度和旋度矢量场的环量、环量面密度和旋度定义：设有矢量场定义：设有矢量场A,则沿场中任一则沿场中任一有向有向封闭曲线封闭曲线L的的曲线积分曲线积分,叫做此矢量叫做此矢量A沿沿L曲线的环量。曲线的环量。LdlAL表达方法：2） 环量直角坐标系中表示方法环量直角坐标系中表示方法LRdzQdyPdx),(),(),(),(zyxkRzyxjQzyxiPzyxA其中：dz),(dy),(dx),(zyxRzyxQzyxPAkzndljyndlixndlld),cos(),cos(),cos(3）环量直角坐标系表示方法证明：）环量直角坐标系表示方法证明：),cos(),cos(),cos(znynxn其中：为为L的的切向矢量切向矢量n的方向余弦的方向余弦kdzjdyidxlddz),(dy),(dx),(LLzyxRzyxQzyxPdlA所以：4 ） 环量的物理意义环量的物理意义是一个整体的描述，不能描述内部源的分布情况，如何描述是一个整体的描述，不能描述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？内部的分布？5）环量面密度定义）环量面密度定义SSdlASLn00limlimcos)(cos)(cos)(YXXZzynPQRPQR则定义定义:取矢量场中一点取矢量场中一点xo,在该点在该点取定方向取定方向n，并过该，并过该点作一微小曲面，其方向为点作一微小曲面，其方向为n，取，取L的方向为的方向为 S按按右手螺旋定则，其矢量场环量与面积右手螺旋定则，其矢量场环量与面积 S 的比值。的比值。6）直角坐标系环量面密度计算公式）直角坐标系环量面密度计算公式X0n),(),(),(zyxkRzyxjQzyxiPA若cos,cos,cos S 的方向余旋的方向余旋RQPzyxncoscoscos8）环量面密度行列式表示）环量面密度行列式表示7）直角坐标系环量面密度计算公式的证明过程）直角坐标系环量面密度计算公式的证明过程dxzdlALScosyAAcosxAAcoszAyAxyzxyz斯特克斯公式斯特克斯公式中值定理中值定理cos)(cos)(cos)(cosyAxAcosxAAcoszAyAlimlimyzxyz00YXXZzySLnPQRPQRxzSSdlA若矢量场若矢量场A中一点中一点M处存在一个矢量处存在一个矢量,且该矢量满足：且该矢量满足：1.方向：为此点方向：为此点环量面密度最大环量面密度最大方向方向;2.大小大小:等于此点最大环量面密度值等于此点最大环量面密度值,则该矢量称为矢量场则该矢量称为矢量场M点的旋度。点的旋度。10 ) 旋度旋度(rotA)11）旋度直角坐标系表示法）旋度直角坐标系表示法RQPzyxkjiArot则),(),(),(zyxkRzyxjQzyxiPA若9）环量面密度的物理意义：虽能够描述各场点的源强度，但）环量面密度的物理意义：虽能够描述各场点的源强度，但必须指定必须指定一个方向，方向导数一样，如何办？一个方向，方向导数一样，如何办？AArot12) 旋度矢量微分算子表示法旋度矢量微分算子表示法:zkyjxi旋度在任一方向上投影等于该方向的环量面密度旋度在任一方向上投影等于该方向的环量面密度13 ) 旋度和环量面密度：旋度和环量面密度：14 )旋度运算基本公式旋度运算基本公式AcrotAcrotBrotArotBArot)(AugradAurotAurot)(斯托克斯定理数学描述LSdAdlA)(矢量场旋度的面积分，等于该矢量沿包围此曲面的闭合路径的线积分。它同散度定理一样，是场论中的重要定理 5 5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 （1）两个零恒等式亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明 ()0u 恒等式I的逆定理也成立，即：如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。物理意义：任何标量场的梯度的旋度恒等于零 0AA将逆定理应用于电磁场理论中，可以引入辅助位函数 0EE 式中负号表明矢量 沿 减小的方向 E可引入标量电位函数 例子：静电场无旋场定义 矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零。 无旋场不可能存在旋涡源 0F无旋场特点：同时也是位场、保守场 图1.2.2 位场的线积分 P1P2C1C22211CPPCldFldFldF证明：由斯托克斯定理 LSSd)F(ldFSd0S)u（LPPPP0ldFldFldF2112恒等式与无散场0A ）（恒等式的逆定理是：如果一个矢量场的散度为零，则它可表示为另一个矢量的旋度。物理意义：任何矢量场旋度的散度恒等于零。 0F ）（AF例如恒定磁场，因 ，可引入矢量磁位 ，令 0B A 该定理应用于电磁场研究中，可引入辅助矢量位（即矢势），有利于场矢量的求解。 ）（AB无散场穿过任何闭合曲面的通量都等于零，即： 0SdF如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，即 ，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无散场，或无源场 0F 无散场定义：无散场特点：例例 已知 123(3)(2 )()xyzFayC za C xya C yz(1) 如果 是无旋的，试确定常数 ； 1C2C3CFiC(2) 将 代入，判断 F 能否表示为一个矢量的旋度解 (1)因为 0FzyC2y-xCzC-3yF321zyxkjirot则312(2)()(3)0 xyzaCaCa Cc1=0，c2=3，c3=2 。 0F (2) 只有当FA，才可使0-1F因此计算FF可见不能表示为一个矢量的旋度，本题中属有源无旋场。亥姆霍兹定理可以证明，在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合曲面S上的矢量场的分布）唯一的确定，这就是亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理的理解亥姆霍兹定理的数学理解亥姆霍兹定理的物理理解iSSFFFFJisiFFFFisFFFiF无旋场的散度不恒等于零 总结总结： 2 矢量场描述矢量场描述 1）矢量线）矢量线 1）矢量线）矢量线 2）环量：描述横场场源）环量：描述横场场源 3）环量面密度）环量面密度 4）旋度旋度rotA ：描述横场场源强：描述横场场源强度度 横场横场（静磁场强度为例静磁场强度为例） 横场横场 处处散度为零，无散场处处散度为零，无散场 纵场纵场 处处旋度为零，无旋场处处旋度为零，无旋场 1 标量场描述（温度场为例）标量场描述（温度场为例） 1）等值面（等值线）等值面（等值线） 2）方向导数）方向导数 3） 梯度梯度纵场纵场（静电场强度为例静电场强度为例）2）通量：描述纵场场源）通量：描述纵场场源 3）通量体密度）通量体密度 散度散度divA ：描述纵场场源强度：描述纵场场源强度 1.3 哈密顿算子1 哈密顿算子哈密顿算子 3 哈密顿算子常见公式哈密顿算子常见公式2 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2 zkyjxi2222222zyx在在 运算中具有运算中具有矢性矢性和和微分微分双重特性双重特性2周ududfuf)(dudAuuA)(dudAuuA)(uvvuuv)(AuAuuA)(AuAuuA)(ABBABA)()()(BAABBAABBA)()()()()(BABAABABBA)()()()()(0)()(uu0)()(AAuuu2)()(AAA2)()(ABBABA)()()()()()(BABABAcc)()()()()()()()()(BAABBAABBAABBABABAcccccc算符性质证明例子算符性质证明例子1：证：证：微分性质：微分性质：矢量性质：矢量性质：)()()(ACBBACCBABAABBAABBA)()()()()(算符性质证明例子算符性质证明例子2： ：证：证：微分性质：微分性质：)()()(ccBABABA矢量性质：矢量性质：BABABAccc)()()()()()(ABBABAcccBAABBAABBA)()()()()(RRRRrrrr311RRRR311rrrrRRdRdfRf)(rrdrdfrf)(kzzjyyixxR)()()(222)()()(zzyyxxRzkyjxizkyjxiXZYrrRARAArACRC)(CrC)()(4122RRRR)(422rrrr3 R3 r0R0r03RR03rrSVAddALSdAdlA)(高斯公式高斯公式斯特克斯公式斯特克斯公式SVdvuvudvu)()(2格林公式格林公式SVduvvuduvvu22例题：计算下列各式的值，其中 为常矢量,求：C)(1rrC）（)(2rrC）（解：(1) rCrCrCrrCrrCrrC43)()()(rCrrCrrCrrC)()()(2)AuAuuA)(AuAuuA)(CrC)(0r求 ，其中为 常矢量。 rKie2K而 rKirKirKieKirKiee)(rKirKirKirKirKieKiKieeKiee22)(解： 1.4 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 1 曲线坐标：空间每个点的位置也可由在此相交的三个曲面的标识值唯一确定 11),(qzyxf22),(qzyxf33),(qzyxf),(321qqq2 坐标曲线：三个曲面两两相交形成的曲线 11),(qzyxf22),(qzyxf称此曲线为坐标曲线3q只有3q可以变化，3 单位矢量 321,eee321,qqq321,qqq表示沿坐标曲线的切线方向的单位矢量,并约定其增大的方向。方向指向 平面 平面 平面 图 1.4.1 直角坐标系 y z x o P j i k zezueueuu1)()(1zAAAAzzzze )A)A(1e )AzA(e )zAA1(A)zu(z)u1()u(1u2柱坐标系柱坐标系 eusinr1eur1eruur)A(r)A(sinrr)Ar (sinsinr1Ar22eArrArerrAAreAArArrr)()(1)()(sin11)()(sinsin1sin1)(sin)(sinsin122222uururrru球坐标系球坐标系 1.5 函数一维函数可定义 xxxxxx, 0)(中点在区域中点不在区域V, 1V, 0)(xxdxxV)()()()(zzyyxxrr三维函数可定义 函数的微商定义函数的微商定义xxxxdxxx)()(lim)(d0函数的特点函数的特点有 xxxfdxxxxfv积分区域不包含积分区域包含, 0),()()()(xfx对任意在 点连续的函数x其中V是包含有 的任意区域。函数的一维及三维傅立叶积分形式 dkerrrrk i)(3)2(1)(dkexxxxik)(21)(rrr141)(2证明 :rrr其中 rKirKieie22k把 代入 dke)2(1)rr ()rr (k i3则可得 dkerrrKi223k)2(1)(这里积分运算和微分运算是对不同变数进行的，微分算子可以移到积分号外面，即dkerrrKi223k)2(1)(ddkdkdksin2为了求出上式右边的积分，在波矢 空间取球坐标系，坐标原点 就取在 ，取极轴沿 方向，k),(krrr因为所以rkrKrdkddedkdkerKikrKi12sin4sink2020002rrr141)(2则