正态分布曲线公开课资料ppt课件.ppt

8.3 正态分布曲线正态分布曲线莆田二中高二1班上节回顾：上节回顾： 1方差的概念与数学意义：方差的概念与数学意义： 如果如果 ，其概率，其概率 ，那么，那么， ,321nxxxxiipxP )( nnpExpExpExD2222121)()()( 2随机变量随机变量的方差性质：的方差性质： DabaD2)( 3. 若若 B(n , p)，则，则,npqD .1pq 这里这里)(npE4.超几何分布的方差()(1)1MMNnD XnNNN)1(ppDXX 服服从从两两点点分分布布，则则若若一、引入一、引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线导入导入如数据测量的总体密度曲线如数据测量的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：就是或近似地是以下函数的图象：22()21( )2xf xe),(x1 、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线一测量一测量1cm圆的周长为例圆的周长为例p78cdab平均数XYX落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:()( )baP aXbf x dx二、正态分布的定义二、正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:()( )( )( )baP aXbfx dxF bF a 则称为则称为X 的正态分布的正态分布. 正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（ ，2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（ ，2） 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中在测量中，测量结果；测量结果； 在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征； 在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当= 0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线三、正态曲线的性质三、正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征22()21( ),(,)2xf xex 012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交. .（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21( ),(,)2xf xex 方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定, 随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移, 故故 称为位置称为位置参数；参数；均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若若 固定固定, 越越大时大时, 曲线越扁曲线越扁平；平； 越小时越小时, 曲线曲线越尖陡越尖陡, 故称故称 为形状参数。为形状参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“扁平扁平”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“尖陡尖陡”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.22()21( )2xf xe 例例1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是实数222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB 例例2、标准正态总体的函数为、标准正态总体的函数为（1）证明）证明f(x)是偶函数；是偶函数；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；（3）利用指数函数的性质说明）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。的增减性。221( ),(,).2xf xex 练习：练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535122、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。例例3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是。下列说法中不正确的是（ ）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律o X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。o 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,+)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律o 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)五、特殊区间的概率五、特殊区间的概率 -a +ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2( ,) ()( )aaPaax dx (,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX利用标准正态分布曲线求概率利用标准正态分布曲线求概率在标准正态分布中，正态密度曲线关于在标准正态分布中，正态密度曲线关于y轴对称轴对称(偶偶函数函数)且且(a)(a)1.【思路点拨思路点拨】(a)P(xa)，可利用，可利用(x)关于关于y轴的对称性求面积轴的对称性求面积(3)(1)(1)1，(1)1(1)10.8410.159，P(x1)P(x1)(1)0.159.P(1x1)1P(x1)P(x1)12(1)120.1590.682.【思维总结思维总结】(a)表示概率表示概率P(xa)，故，故P(x1xx2)(x2)(x1)失误防范失误防范1根据标准正态分布下的某范围的概率，充分利用图形根据标准正态分布下的某范围的概率，充分利用图形的对称性的对称性2P(bxa)表示由直线表示由直线xa，xb及及(x)与与x轴轴围成的封闭图形的面积围成的封闭图形的面积小结小结3标准正态分布由标准正态分布由，唯一确定唯一确定4P(xa)1P(xa)练习练习在本例中，求在本例中，求P(1x2)解：解：(2)P(x2)0.977，(1)P(x1)0.841，P(1x2)(2)(1)0.9770.8410.136.用正态分布研究实际问题用正态分布研究实际问题 从某地随机抽取100名一年级男大学生，测得平均身高为166.2cm，标准差为5.3cm，现欲估计该地身高界于低于160cm，身高高于180cm，以及身高在165cm175cm范围内的一年级男大学生的比例和人数。o 查标准正态分布表得：（u1） （0.02）0.4920（u2） （1.66）0.04851（u2）+ （u1）0.459502. 03 . 52 .1661651 u66. 13 . 52 .1661752 u例例3.某班有某班有47名学生，一次考试后数名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为学成绩服从正态分布，平均分为80分，分，标准差为标准差为10，问从理论上讲在，问从理论上讲在80分到分到90分之间有多少人分之间有多少人?例例4公共汽车的门的高度是按照保证公共汽车的门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在成年男子与车门顶部碰头的概率在%以下设计如果某地成年男子的身以下设计如果某地成年男子的身高高N（175,62)(单位：单位：cm), 车门应车门应设计成多高？设计成多高？1.标准正态分布标准正态分布2.一般正态分布一般正态分布XN(0，1) 2Y ,N 2 2）密度）密度 函数：函数： 2221)(xex 1 1）记为）记为22()21( )2xf xe xy x 0 xy0 fx ,dxxxx )()( 正态分布表正态分布表)(1)(xx 3 3）图像）图像小小 结结Y(0,1) .N 4 4）概率计算公式：）概率计算公式：()P aXb )()(ab ()P Xb()P Xa()P Xk)(b )(1a 1)(2 k()P aXb )()( ab()P Xb ()P Xa ()PXk 2Y ,N 1 , 0 NX)( b)(1 a)()( kk小小 结结实际应用中实际应用中, ,通常认为服从正态分布通常认为服从正态分布N(N(，2 2) ) 的随的随机变量只取区间（机变量只取区间（-3-3，+3+3）上的概率，否则）上的概率，否则就不正常，这就是就不正常，这就是33原则原则补充、补充、 准则准则32P=0.6826 P22=0.9545 P33=0.9973 (,)N X的取值几乎全落在区间（的取值几乎全落在区间（-3，+3）