高中数学课件-第四章-第一节《平面向量的概念及其线性运算》ppt.ppt

我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.了解向量的实际背景了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义含义.3.理解向量的几何表示理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.向量的有关概念向量的有关概念我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.向量的线性运算向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加加法法求两个向求两个向量和的运量和的运算算三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则(1)交换律：交换律：ab .(2)结合律：结合律：(ab)c .ba(bc)a我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律减减法法求求a与与b的相的相反向量反向量b的的和的运算叫和的运算叫做做a与与b的差的差 法则法则aba(b)三角形三角形我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律数数乘乘求实数求实数与向与向量量a的积的运的积的运算算(1)|a|a|.(2)当当0时，时，a与与a的方向的方向 ；当当0时，时，a与与a 的方向的方向 ；当当0时，时，a .(a) ； ()a ； (ab) .相同相同相反相反aaaab0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.向量向量a(a0)与向量与向量b共线共线 向量向量a(a0)与向量与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实共线的充要条件为存在唯一一个实 数数, 使使 .思考探究思考探究如何用向量法证明三点如何用向量法证明三点A、B、C共线？共线？提示：提示：证明证明 (或或 或或 )，即证明即证明 与与 共线，又因为有一公共点，所以三点共线，又因为有一公共点，所以三点共线共线. ba我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.判断下列各命题的真假：判断下列各命题的真假： (1)向量向量 的长度与向量的长度与向量 的长度相等；的长度相等； (2)向量向量a与与b平行，则平行，则a与与b的方向相同或相反；的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量向量 与向量与向量 是共线向量，则点是共线向量，则点A、B、C、D必在必在同一条直线上；同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为其中假命题的个数为 ()A.2B.3C.4 D.5我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定.(1)真命题；真命题；(2)假命题，若假命题，若a与与b中有一个为零向量时，其中有一个为零向量时，其方向是不确定的；方向是不确定的；(3)真命题；真命题；(4)假命题，终点相同并不假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；向量所在直线可以重合，也可以平行；(6)假命题，向量假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段可用有向线段来表示，但并不是有向线段.答案：答案：C我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中，下列结论 错误的是错误的是 ()A.ABDC B.ADABACC.ABADBD D.ADCB0解析：解析：由向量减法法则可知由向量减法法则可知ABADDB.答案：答案：C我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.在在ABC中，中，ABc，ACb.若点若点D满足满足BD2DC，则，则AD () 解析：解析：如图所示，可知如图所示，可知ADAB (ACAB)c(bc) b c.答案：答案：A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4.化简化简(ABCD)(ACBD).解析：解析：(ABCD)(ACBD)(ABBD)(ACCD)ADAD0答案：答案：0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.已知向量已知向量a，b，且，且ABa2b，BC5a6b， CD7a2b，则，则A、B、C、D四点中，一定共线四点中，一定共线 的三点是的三点是 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：解析：BDBCCD(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2AB，BD与与AB共线，又共线，又有公共点有公共点B，A、B、D三点共线三点共线.答案：答案：A、B、D 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.着重理解向量以下几个方面：着重理解向量以下几个方面： (1)向量的模；向量的模；(2)向量的方向；向量的方向；(3)向量的起点和终点；向量的起点和终点；(4) 共线向量；共线向量；(5)相等向量相等向量.2.当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系；零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向单位向量的长度及方向.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 下列命题正确的是下列命题正确的是 ()A.a与与b共线，共线，b与与c共线，则共线，则a与与c也共线也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边 形的四个顶点形的四个顶点C.向量向量a与与b不共线，则不共线，则a与与b都是非零向量都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行有相同起点的两个非零向量不平行我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思路点拨思路点拨我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物课堂笔记课堂笔记由于零向量与任意向量都共线，所以由于零向量与任意向量都共线，所以A不正不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，也不可能是个平行四边形，所以也不可能是个平行四边形，所以B不正确；向量的平行只不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若否命题入手考虑，假若a与与b不都是非零向量，即不都是非零向量，即a与与b至至少有一个是零向量，而由零向量与任意向量都共线，可少有一个是零向量，而由零向量与任意向量都共线，可得得a与与b共线共线.答案答案C我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功， 除利用向量的加、减法、数乘运算外，还应充分利用平面除利用向量的加、减法、数乘运算外，还应充分利用平面 几何的一些定理几何的一些定理.2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运 用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线， 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量 转化为与已知向量有直接关系的向量来求解转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特别警示特别警示若若A为为BC的中点，则的中点，则OA (OBOC)(O为为平面上任意一点平面上任意一点).我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 ABC中，中，AD AB，DEBC交交AC于于E，BC边边上的中线上的中线AM交交DE于于N.设设ABa，ACb，用，用a、b表示向表示向量量AE、BC、DE、DN、AM、AN.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思路点拨思路点拨我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物课堂笔记课堂笔记 BCACABba.由由ADEABC，得，得DE BC (ba).我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物又又AM是是ABC的中线，的中线，DEBC，得得DN DE (ba).又又AMAB BC (ab).我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在例在例2题图中，连结题图中，连结C、D交交AM于点于点P，若，若 ， 求求、.解：解： 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物又又 b，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.向量向量b与非零向量与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数共线的充要条件是存在唯一实数， 使使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与其他向量要注意通常只有非零向量才能表示与其他向量 共线，要注意待定系数法和方程思想的运用共线，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向 量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公 共点时，才能得出三点共线共点时，才能得出三点共线.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线，不共线，(1)若若 ab， 2a8b， 3(ab).求证：求证：A、B、D三点共线；三点共线；(2)试确定实数试确定实数k，使，使kab和和akb共线共线.思路点拨思路点拨我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物课堂笔记课堂笔记(1) ab， 2a8b， 3(ab)， 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5 . 、 共线，共线，又又它们有公共点它们有公共点B，A、B、D三点共线三点共线.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2)kab与与akb共线，共线，存在实数存在实数，使使kab(akb)，即即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 高考对本节内容的常规考法是：以三角形或平高考对本节内容的常规考法是：以三角形或平行四边形为载体，以选择题或填空题为呈现形式，行四边形为载体，以选择题或填空题为呈现形式，考查向量的概念及简单的线性运算考查向量的概念及简单的线性运算.09年天津高考则年天津高考则以填空题的形式考查了向量线性运算的几何意义，以填空题的形式考查了向量线性运算的几何意义，是高考命题的一个新方向是高考命题的一个新方向. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物考题印证考题印证 (2009天津高考天津高考)在四边形在四边形ABCD中，中， (1,1)， 则四边形则四边形ABCD的面积为的面积为.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【解析解析】由由 (1,1)知知AB DC.又又知四边形知四边形ABCD为菱形，且为菱形，且ABAD ，又又 3，22 3，cosABC ，ABC60，BD我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在在ABD中，中，由余弦定理由余弦定理cosBAD故故sinBAD ，SABCD【答案答案】我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 自主体验自主体验 点点M是是ABC所在平面内的一点，且满足所在平面内的一点，且满足 ，则，则ABM与与ABC的面积之比为的面积之比为.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：解析：如图，如图， 故故B，C，M三点三点共线共线.设设 则四边形则四边形AEMD是平行四是平行四边形边形.易知易知 于是点于是点M到直线到直线AB的距离是点的距离是点C到直线到直线AB的距离的的距离的 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物故故ABM与与ABC的面积之比为的面积之比为 .故填故填 ，另外，本题也可以通过另外，本题也可以通过 1，利用三点共线的充，利用三点共线的充要条件得到要条件得到B，C，M三点共线三点共线.答案：答案：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.(2009山东高考山东高考)设设P是是ABC所在平面内的一点，所在平面内的一点， 则则 () 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：法一：解析：法一：由向量加法的平行四边形法则易知，由向量加法的平行四边形法则易知， 与与 的和向量过的和向量过AC边中点，长度是边中点，长度是AC边中线长的二倍，边中线长的二倍，结合已知条件可知结合已知条件可知P为为AC边中点，故边中点，故 0.法二：法二： 即即 0.答案：答案：B我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.平面向量平面向量a，b共线的充要条件是共线的充要条件是 () A.a，b方向相同方向相同 B.a与与b中至少有一个为零向量中至少有一个为零向量 C.R，使，使ba D.存在不全为零的实数存在不全为零的实数1、2，使，使1a2b0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：解析：A中，中，a，b同向则同向则a，b共线，但共线，但a，b共线则共线则a，b不一定同向不一定同向.B中，若中，若a，b两向量中至少有一个为零向量，则两向量中至少有一个为零向量，则a，b共共线，但线，但a，b共线时，共线时，a，b不一定是零向量，如不一定是零向量，如a(1,2)，b(2,4)，C中，当中，当ba时，时，a与与b一定共线，但一定共线，但a，b共线时，若共线时，若b0，a0，则，则ba不成立不成立.答案：答案：D我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.在四边形在四边形ABCD中，中， a2 b， 4 ab， 5 a 3 b，则四边形，则四边形ABCD的形状是的形状是 () A.矩形矩形 B.平行四边形平行四边形 C.梯形梯形 D.以上都不对以上都不对我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：解析：由已知由已知8 a2 b2(4 ab)2 . ，又，又 与与 不平行，即不平行，即ADBC，AB不平行不平行CD，四边形四边形ABCD是梯形是梯形.答案：答案：C我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4.(2010黄冈模拟黄冈模拟)设设a，b是两个不共线的向量，若是两个不共线的向量，若 2akb， ab， 2ab，且，且A、B、D三点共线，三点共线， 则实数则实数k的值等于的值等于.解析：解析：由于由于A、B、D三点共线，故三点共线，故 ，又，又 2akb， a2b，故由，故由2akb(a2b)可解得可解得k4.答案：答案：4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.如图，在如图，在ABC中，点中，点O是是BC的中的中 点，过点点，过点O的直线分别交直线的直线分别交直线AB， AC于不同的两点于不同的两点M，N，若，若 m ， n ，则，则mn的值的值 为为.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析：法一：解析：法一：如图，过点如图，过点O，作，作OEAM且交且交AC于点于点E，则则 ，又因为点，又因为点O是是BC的中点，的中点，所以所以故有故有 所以所以mn2.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物法二：法二：当点当点M、N分别与点分别与点B、C重合时，重合时，易知易知mn2.答案：答案：2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.如图所示，如图所示，ABC中，点中，点M是是BC的中的中 点，点点，点N在在AC边上，且边上，且AN2NC，AM 与与BN相交于点相交于点P，求，求AP PM的值的值.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：解：设设 e1， e2，则则 3e2e1， 2e1e2，A、P、M和和B、P、N分别共线，分别共线，存在存在、R，使，使 e13e2， 2e1e2.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物故故 (2)e1(3)e2，而而 2e13e2，由平面向量基本定理得由平面向量基本定理得 ，即，即AP PM4 1.