高等传热学-第二章-稳态导热ppt课件.ppt

我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物动力工程及工程热物理学科研究生高等传热学（32课时）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二章第二章 稳态导热稳态导热 4稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中，像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此可进一步导出热流密度和热流量。4在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问题是可以简化为一维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。4在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于数值解。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热图2-1通过大平壁的导热 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热42-1-1 无内热源的一维导热无内热源的一维导热4求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条件出发，解得温度场。4对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为t1和t2。导热微分方程简化为4 （2-1-1）4其通解为4 （2-1-2）4问题的边界条件为4 （2-1-3） 220d tdx12tC xC120,xttxtt我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布4 （2-1-4）4根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度4 （2-1-5）4注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。4从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作4 （2-1-6） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热121ttttx12ttdtqdx dtqdx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理，这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：4 （2-1-7）4对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如果已知导热系数随温度变化的函数关系 ，定义4 （2-1-8）4为t1 t2温度范围内的平均导热系数，则可得4 （2-1-9） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热210ttqdxdt ( ) t2121ttmdttt12mttq我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平 均温度 下的导热系数，即4 （2-1-10）4如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作4 （2-1-11）4则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式4 （2-1-12） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热12() 2mttt120(1)2mttb210 xttqdxdt 1qttx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热图2-2 通过圆筒壁的导热 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。4若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得4 （2-1-13）4分离变量并积分4 （2-1-14）4对于常物性问题，整理后可得4 （2-1-15）4对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。 2-1 一维稳态导热一维稳态导热2ldtqrdr 22112rtlrtdrqdtr 121221212()2()ln()ln()lttttqr rdd我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶定律可写出4 （2-1-16）4当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行推导得到 4 （2-1-17） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热24dtrdr 1 212214()rr ttrr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物42-1-2 带有内热源的一维稳态导热带有内热源的一维稳态导热4导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合，也会涉及内热源的问题。4考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热微分方程可简化为4 （2-1-18） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热22Vqd tdx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热图2-3 有均匀内热源的平壁中的温度分布 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解4 （2-1-19）4如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为零，即 4 （2-1-20）4代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到4 （2-1-21） 2-1 一维稳态导热一维稳态导热2122VqtxC xC 0,0,0 xtxt ()2Vqtxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热4如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即4 4代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到4 （2-1-22）4以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后一项是非齐次的微分方程（有热源）在齐次边界条件下的解，前两项是齐次的微分方程在非齐次边界条件下的解，也就是无内热源大平壁稳态导热的解式(2-1-4)。4任一点处的热流密度可由傅里叶定律得到：4 （2-1-23） 120,xttxtt211()2Vqttttxxx12(2)2Vqttdtqxdx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热4上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中两项的相对大小。4由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。4实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程4 （2-1-24）4积分两次可得以上微分方程的通解4 （2-1-25） 1()vqddtrr drdr 212ln4vqtrCrC 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-1 一维稳态导热一维稳态导热4r0处温度应该有界，即 ，可以作为一个边界条件， 由此可得C10。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件，即rR，tt1。代入通解可得 4 （2-1-26）4如果给定另一个边界条件是第三类边界条件，即4 （2-1-27）4代入通解可得4 （2-1-28） 0rt 221()4vqttRr,()fdtrRh ttdr22()24vvfq RqttRrh我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4在固体壁面与流体的对流换热系统中，例如各种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋，以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。4对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其温度场时，也可归结为扩展表面问题。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 42-2-1等截面直肋等截面直肋4分析等截面直肋中的温度分布有助于掌握分析各种扩展表面问题的一般方法。图2-4给出了一个等截面直肋的几何配置。肋根(x0)与热壁相连，温度为t0。肋的侧面与温度为tf的流体对流换热，表面传热系数为h。如果肋片的宽度L足够大，宽度方向的温度不均匀可以忽略不计的话，肋片内部的温度分布应该是二维的。但是可以设想，如果肋片足够薄、导热系数足够大，肋片厚度方向的温差也可以近似地忽略不计，那么肋片中的温度场仅是高度(x坐标)的函数，肋片中的导热问题简化为“准一维”问题。更精确地说，能否进行这样简化的判据应该是Bih/足够小也有把肋片厚度的一半作为特征尺寸，则Bih/(2)。无量纲量 表征肋片厚度方向的导热热阻与表面对流换热热阻之比。为了作“准一维”简化，通常要求Bi0.1，但实际上这一判据也与肋片的几何形状参数H/有关。当然，进行这样简化引起的偏差必须通过与二维问题的解作比较才能确定。 1Bih 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 图2-4 等截面直肋的导热我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4由于忽略了厚度y方向的导热，y方向就不会出现边界条件，肋片表面的散热在微分方程中必须作为(负的)热源来处理。对图2-4中长度为dx的微段进行分析，可得体积发热率为4 （2-2-1）4其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P2(L+)2L是该截面的周长。4引进过余温度t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：4 （2-2-2）4这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：4 （2-2-3） ()fvh ttPdxqAdx 220dhPdxA12mxmxC eC e我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4其中4常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基温度，即4 （2-2-4）4如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件可写作4 （2-2-5）4其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热系数。 hPmA00,x2,dxHAh Adx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4如果肋的高度足够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为4 （2-2-6）4由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得4 （2-2-7）4则肋端过余温度为： 4 （2-2-8） ,0dxHdx0 ()()ch m Hxch mH0()Hch mH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得：4 （2-2-9）4双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：4如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端的散热损失，可得4 （2-2-10） 000()()HxdAhP dxAhPth mHdx ,22xxxxeeeeshxchxshxthxchx202 () () ()()()()ch m Hxhmsh m Hxch mHhmsh mH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4则肋端过余温度为：4 （2-2-11）4通过肋基的热流量为4 （2-2-12）4比较式(2-2-9)和式(2-2-12)的计算结果表明，肋端热损失的影响，可以用假想肋的高度增加其厚度的一半、即取HcH+/2代替实际的肋高，而把肋端当成是绝热的方法来处理。这实际上相当于把肋端的散热面积展开到侧面上。这样的近似处理方法可使计算大为简化，且对于绝大多数工程实际问题已有足够的精度。 02()()()Hch mHhmsh mH202()()1 ()()hmth mHAhPhmth mH 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4在壁面上加肋的基本作用是为了增加换热面积以增加壁面的传热。在设计用于换热器的肋壁时需要考虑多种因素，如肋的形状、尺寸、材料和加工工艺以及肋片间的间距等。把一片肋分成若干片较薄的肋总会增加散热面积，但受到加工工艺的限制。此外，肋片间距过密也会妨碍对流换热。4“最佳肋”的概念首先涉及优化的条件和判据的问题，即在如重量、体积、传热量、价格等因素中确定首先要考虑的因素。在一些情况下，以最小的重量的换热器传递最大的热量是首要的问题。4如果肋片的材料一定，即其密度一定，则单位宽度肋片的重量与肋片的截面面积AH成正比(注意，另一个截面面积AL是垂直于肋高方向的截面面积)。下面讨论给定材料、给定单位宽度的重量，即A一定时，怎样选取矩形直肋的形状以得到最大的传热量。注意到，对于矩形直肋，若L，则有P2L；用A/代替式(2-2-9)中的H，式(2-2-9)变为：4 （2-2-13） 022()h AQLhth 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4当取得极值时，d/d0，即4注意到 ，上式可缩写并整理为4 （2-2-14）4用数值法解以上超越方程，得mH1.419，或改写为4 （2-2-15） 2232122022hAh Athh Ach 2h AmH ()()3sh mH ch mHmH211.4191.4192HhBi我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4最佳等截面直肋的肋端过余温度为4 （2-2-16）4由以上关系式可以判断等截面直肋是否具有最佳高度。为了比较不同材料制成的最佳等截面直肋的性能，把 代入式(2-2-13)，并利用以上得到的结果mH1.419，整理后可得给定热流量时要求的最佳直肋的截面面积4 （2-2-17） 0,00.475()H optch mH3 22h AmH33220010.5274()mHAhLth mHhL 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4上式表明，在给定的条件下(最佳等截面直肋)要使单片肋的传热量增加一倍，就需要使它的截面面积(因而重量)增加到原来的8倍。但使用两片同样的肋就可以使传热量增加一倍。因此小尺寸的肋片是有利于减轻重量的。对于不同材料的肋，所需的截面面积(因而体积)与其导热系数成反比，或所需肋片的重量与其材料的/成正比。根据对物性数据的计算，为传递相同的热流量，如果单片铝肋片的重量为1，则铜肋片和钢肋片的重量分别为1.96和11.8。4至于肋的最佳形状，涉及的问题复杂得多。由于沿肋的高度方向热流是逐渐减小的，因此等截面的肋肯定是没有充分利用材料。工程上考虑制造的方便，常采用三角形或梯形的肋片。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 图2-5 三角形直肋的导热 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 42-2-2 变截面直肋和环肋变截面直肋和环肋4对于变截面直肋和环肋的导热，数学上的处理与等截面直肋相同，只是沿高度方向的导热面积不再是常数，而是高度方向坐标的函数；肋壁单位高度上的散热面积也可能随坐标变化。如果假定表面的对流换热表面传热系数是常数，引进过余温度ttf，则导热微分方程为4 （2-2-18）4下面以数学处理最简单的三角形直肋(图2-5)为例进行讨论。把坐标原点放在肋端，若肋基的厚度为，则导热面积A可表示为4 （2-2-19）4在H且L条件下，P 2L。在常物性条件下导热微分方程为如下的形式：4 （2-2-20） ( )( )0ddA xhP xdxdx( )xA xLH22120ddhHdxx dxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4作变量置换 ，其中 ，以上方程变为零阶变型贝塞尔方程4 （2-2-21）4其通解为4 （2-2-22）4其中I0和K0分别是第一类和第二类零阶变型贝塞尔函数，I0 (0)1，K0 (0)，其级数表达式可以在数学手册中查到。如果已知肋基的过余温度0，肋端绝热，则可以确定常数C1和C2，并得4 （2-2-23） 2zx2()hH2220dddzz dz1 020( )( )C IzC Kz00(2)(2)cIxIH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4肋片的散热量为4 （2-2-24）4其中I1是一阶变型贝塞尔函数，且有dI0(y)/dyI1 (y)。同样地，可以导得截面面积一定而散热量取得最大值时三角形直肋的最佳尺寸比和此时的肋端过余温度分别为 4 （2-2-25）4 （2-2-26） 100(2)2(2)xIdQLhLdxIH 21.3092Hh,00.277H opt我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-2 扩展表面扩展表面准一维问题准一维问题 4工程上最关心的是计算通过肋片的散热量。除了等截面直肋以外，这种计算都涉及复杂的特殊函数或需作数值计算。为了方便应用，这些计算结果通常用无量纲线图的形式给出。这就需要引进无量纲量f(称为肋效率)：4 （2-2-27）4肋效率的定义是肋的实际热流量与整个肋表面的温度都维持为肋基温度时的“理想”热流量之比。式中Af是肋的散热面积。根据这一定义，等截面直肋的效率为4 （2-2-28）4三角形直肋的效率为4 （2-2-29）4各种直肋、针肋和环肋的效率线图可以在有关传热手册中查到。 00()fffQQQhA tt()fth mHmH10(2)1(2)fIH IH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4二维或三维的稳态导热问题，在常物性的条件下由泊松方程(1-2-11)或拉普拉斯方程(1-2-12)描述。分析二维或三维稳态导热的方法主要有解析法和数值解法。4解析法的优点是能够得到适合于同类问题的一般的函数关系式，各参数之间关系的物理意义明确，还可进一步作微分和积分等数学运算。解析解还常常用来作为检验各种近似解精度的依据。但是，解析法通常需要涉及较复杂的数学理论，而且至今只有少数具有特定几何形状和边界条件的问题才能得到温度场的解析解。4随着计算机技术的飞速发展，作为近似解法之一的数值解法已得到广泛的应用，成为解决各种实际工程问题的最有力的工具。4其他的近似解法，如图解法、(电或水的)模拟法，现在已很少采用。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 42-3-1 分离变量法分离变量法4分离变量法可用于求解几何形状规则的区域中的导热问题，是最早发展的解析法，也常用作其他解析法的基础。本书仅介绍直角坐标系中的分离变量法，其他正交坐标系中分离变量的基本思路相同，但将涉及贝塞尔函数、勒让德函数等特殊函数，读者可参阅文献。4由于求解过程中分离变量的要求，这一方法适合于处理齐次问题。下面以一个矩形区域中无内热源的稳态导热问题为例说明分离变量法的具体思路。见图2-6，矩形区域的4个边界中有3个边界维持均匀的温度t0；第4个边界条件为已知的温度分布f(x)。引进过余温度tt0，可使3个等温边界条件变为齐次的。二维稳态导热由拉普拉斯方程描述： 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 图2-6 矩形区域稳态导热的边界条件 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4 （2-3-1a） 4 （2-3-1b）4 （2-3-1c）4 （2-3-1d）4 （2-3-1e）4假设所求的温度分布(x, y)可以表示为一个x的函数和一个y的函数的乘积，即4 （2-3-2） 22220 xy0,0 x,0 x 0,0y10,( )( )yHf xf xt( , )( ) ( )x yX x Y y我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4代入方程(2-3-1a)，由于方程是线性齐次的可以分离变量，得到4上式第一个等号左边是x的函数，右边是y的函数。因此，只有它们都等于一个常数时等式才有可能成立，记这个常数为2。由此得到带一个待定常数的两个常微分方程：4 （2-3-3）4 （2-3-4）4它们各自的通解为4 （2-3-5）4 （2-3-6） 2XYXY2220d XXdx2220d YYdycos()sin()XAxBx()()YCshyDchy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4注意到x方向的两个边界条件都是齐次的，把式(2-3-2)代入边界条件式(2-3-1b)和(2-3-1c)，同样可分离变量得到4 （2-3-7a）4 （2-3-7b）4把式(2-3-7a)代入式(2-3-5)得A0。再把式(2-3-7b)代入式(2-3-5)得4为了得到x的非零解(否则XY0，没有意义)，必须有B 0，因此必须有4 （2-3-8） 0,0 xX,0 xa Xsin()0Basin()0a我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4该方程称为这一分离变量问题的特征方程，它有无穷多个解。由于解的对称性，在这里仅取正的解即可，它们是4 （2-3-9）4得到满足方程(2-3-5)和边界条件式(2-3-7a)、(2-3-7b)的无穷多个解4由边界条件式(2-3-1d)可得Y(0)0，代入式(2-3-6)得D0。由此4相应地有,(1,2,)mmmasin()mmmXBx()mmYC shysin()(),(1,2,)mmmmCx shym我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于方程和3个边界条件都是线性齐次的，以上得到的解的叠加仍满足方程和这3个边界条件，即4 （2-3-10）4由边界条件式(2-3-1e)得4可以确定级数中的系数Cm，即把f1(x)在(0, )区间上展成正弦级数，可得4即4 （2-3-11） 1sin()()mmmmCx shy11( )sin()()mmmmf xCx shH102()( )sin()mmmC shhf xx dx10( )sin()2()mmmf xx dxCshH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4最后得到原问题的解为4 （2-3-12）4对于第4个边界是等温边界的特例，即f(x)t1，f1(x)1t1t0，上式简化为4 （2-3-13）4在以上的问题中，如果不止一个边界条件是非齐次的，就需要利用叠加原理把问题分解为几个简单的问题。仍以矩形域中的一般的第一类边界条件的稳态导热为例，其数学描述为 10121( , )()sin()( )sin()()mmmmx yshyxf xx dxmaaashHa1121 ( 1)( , )()sin()()mmmmx yshyxmaamshHa 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4 （2-3-14）4令 1234，1、2、3和4分别是以下定解问题的解：4 2222010100,( ),( )0,( ),( )xyyfxyHf xxyxy 2211221111100,0,00,0,( )xyyyHxxy 2222222220200,0,00,( ),0 xyyyHxyx 2233223313300,0,( )0,0,0 xyyyHf xxx 2244224044400,( ),00,0,0 xyyfxyHxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于每个问题中都有3个齐次边界条件，可以分别按以上介绍的方法求得解析解。最后可得原问题的解为4 （2-3-15）4如果x方向(或y方向)的两个边界条件是齐次的第二类或第三类边界条件，或是这三类齐次边界条件的某种组合，则都可以直接按以上例子的思路进行分离变量求解。 10100110112()( , )sin()( )sin()()2()sin()( )sin()()2()sin()( )sin()()2()sin()mmhmmsh m ymmx yxf xx dxsh m Hsh mHymmxfxx dxsh m Hsh m x Hmmyyy dyHsh mHHsh mxHmHsh mH 00)( )sin()hmyyy dyH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练习4如图所示一个矩形柱体横截面，边长分别为L1，L2，材料为常物性。边界条件如图所示，试求柱体内温度场分布的表达式。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 42-3-2虚拟热源法虚拟热源法4无内热源的稳态导热问题在常物性条件下满足拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是线性齐次的偏微分方程，它的解满足叠加原理。4而一些点热源、线热源、面热源在特定的区域(例如无限大介质)中的解具有简明的形式。如果某一温度场可以看作是几个这样的热源或热汇(即负热源)形成的温度场的叠加，就可以比较简单地求得问题的解析解。这种方法称为虚拟热源法，它也同样可成功地应用于由拉普拉斯方程描述的电场或理想流体流动的问题。4考察地下埋管的散热损失问题。参看图2-7，地下埋设的热管道直径d0=2r0，埋深为H。设埋管外表面和地面的温度分别维持为常量tw和t0。在常物性假定且不考虑温度分布沿管长方向变化的情况下，土壤中的温度分布由二维拉普拉斯方程和两个等温边界条件描述。利用虚拟热源法可以方便地求解这样一个系统的导热问题。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 图2-7 地下埋管问题 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4引进过余温度tt0，则在y0的平面上有0。把求解的区域由半无限大介质(土壤)扩展为整个无限大介质，并设想在(0，a)处有一个强度为ql(单位为W/m)的线热源，在(0，-a)处有一个强度为-ql的线热源(或称热汇)。单一的线热源在无限大介质中形成的温度分布是柱坐标系中的一维温度场，即线热源和线热汇引起的温度分布分别为4 （2-3-16）4 （2-3-17） 110ln2lqrr 220ln2lqrr我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由于问题的线性性，这两个温度分布的叠加仍然满足拉普拉斯方程，而且由于其对称性，y0处的边界条件即得到满足，即4 （2-3-18）4根据坐标间的几何关系，对任一点P(x, y)有4则在直角坐标系中表示的温度分布为4 （2-3-19） 2121ln2lqrr221()rxay222()rxay2222()ln2()lxayqxay我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4假定为某一确定的值，就可以得到等温线的方程4记 ，上式可整理为4 （2-3-20）4式(2-3-20)表明，该二维温度场的等温线是一簇圆，圆心坐标为 x0， ，半径为 。当0，即C1时，r，圆心在y轴的处，对应的等温线是x轴，即地表面。 2222()4exp()lxayxayqexp(4)lCq2222141(1)CCxyaaCC011CyyC021CryC我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4由另一个边界条件，即埋管表面的过余温度wtwt0，可以确定线热源的坐标a和散热量ql。由等温线的方程可知4 ，4其中 。上面两式相除，得4或 （2-3-21）4解 的二次方程，得4 （2-3-22） 11wwCHaC41wwCdaCexp(4)wwlCq14wwCHdC410wwHCCd wC222()1wHHCdd我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 4把Cw的表达式代入上式，整理可得4 （2-3-23）4根据本题的物理意义，ql应该与w同号，因此舍去方程(2-3-22)的两根中带负号的根。注意到，当-1时，arcch=1n(2)。例如，当3时，两者的误差不超过1.7e因此，当2H/d1时有4 （2-3-24）4在以上推导过程中可以看出，两个虚拟线热源形成的温度分布是一簇偏心的圆柱面，等温面方程由式(2-3-20)给出。因此，由式(2-3-19)、(2-3-20)还可以解得两个表面分别维持等温的偏心长圆筒壁的温度场和热流密度。 0022()2()222ln()1wwlttttqHHHarcchddd02() 2,14lnwlttHqHdd我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 二维稳态导热二维稳态导热 42-3-3 变物性问题变物性问题4在求解导热问题时，通常采用常物性假定。这样，导热微分方程是线性的。线性化假定为分析求解，包括利用线性叠加原理创造了有利条件。但是在某些工程领域，如焊接、铸造等热加工过程以及火箭发动机中，涉及的温度变化范围较大；在液氢级(20K)和液氦级(4K)的低温工程领域