天津复习题工程数学(共4页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C地200吨、D地100吨。已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。地产费运地销ABCD甲2125715乙51513715解：设甲、乙运往A、B、C、D的物资量分别为x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24吨，则由题意，我们需要去求21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x22+37x23+15x24的最小值。显然x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A地1700吨”等条件限制。总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：该模型的现实含意为：在x11+x12+x13+x14 = 2000等条件下，求f = 21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x22+37x23+15x24的最小值。(这里先做出数学模型，以后再考虑求解方法)（2）某工厂用3种原料P1，P2，P3生产3种产品Q1，Q2，Q3。已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。需原料kg单位产品所原料地销Q1Q2Q3原料可用量（kg /日）P12301500P2024800P33252000单位产品利润(千元)354解：设三种产品的生产量分别为x1, x2, x3时可以得到最大利润3x1+5x2+4x3，则由题意，我们可以得到完整的模型为二、用图解法解线性规划x1+x2=5x1-2x2=22x1-x2=-2-x1+x2=0(5,0)(0,5)(2,0)(0,-1)x1x2(0,2)(-1,0)三、论述用单纯形方法解LP问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。四、用最优化思想求解下面的非线性规划问题五、用动态规划思想，设计填表法，求解下面的划分问题：在集合Aa1，a2，an上定义正整数函数s，令，问是否存在，使得。六、综述网络分析中的主要概念、主要问题及相应算法。七、证明：从n个元素中取出奇数个元素和取出偶数个元素取法数相同。设C(n,k)为从n个元素中取出k个的方法数。那么取奇数个元素的方法数就为：S1= C(n,1)+C(n,3)+.+C(n,m),m是不超过n的最大奇数取偶数个元素的方法数为：S2 = C(n,0)+C(n,2)+.+C(n,p），p是不超过n的最大偶数根据二项式公式：0 = 1+(-1)2 = C(n,0) - C(n,1)+ C(n,2)+.+(-1)nC(n,n) = S2 - S1从而S2 = S1 八、字典序法生成排列时，是第几个排列，下一个排列是谁？下一个排列为：怎样求是第几个排列呢。本人简单总结如下：下面将以此列说明。设为第n个排列。一、将各位对应相减找到从左往右数的变更位，相减为1.则得到n1=1*7！二、将未用到的1和用过的3去掉将剩下的做对应相减找到第一个变更位，相减为3则得到n2=3*6！三、将用过的5去掉，将剩下的再做相减得到 n3=5*5！四、继续重复以上步骤n4=7*4！n5=6*3！=36n6=4*2！=8n7=2*1！=2n8=1*0！=1.n=n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8。九、给出错排及错排问题的定义，并用两种不同方法求解错排问题。错排问题就是n个元素依次给以标号1，2，n，n个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列的个数。设Ai为数i在第i位上的全体排列，i1,2,n。因数字i不动，故：Ai(n1)!，i1,2,.,n同理AiAj(n2)!，i，j1，2，n，i j每个元素都不在原来位置上的排列数为：A()1A()2A()n= n!C(n, 1)(n-1)!+ C(n, 2)(n-2)!+(-1)nC(n, n)0!=n!( 1-1/1!+1/2!+1/n!)十、设 a1 , a2 , ··· , am是正整数序列，则存在k和 l , 1k l m， 使得和 ak + ak+1 + ··· + al 是m的倍数。十一、证明6个人中或者存在3个人相互认识，或者存在3个人相互不认识。在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。十二、多项式(a+b+c+d)100展开后共有多少不同的项？(a+b+c+d)100展开后的每一项的各个变量的幂次之和都要等于100。因此，多项式(a+b+c+d)100展开后的不同的项数与方程x + y + z + w = 100的不同的非负整数解的个数完全相同。x + y = n,因x可以从0变化到n，共有n+1种不同的取值.对于x的每一种取值，y只能取固定值（n-x）.因此，x+y=n 一共有n+1组不同的非负整数解。结论1，x + y = n 的非负整数解的个数为 n+1。x + y + z = n,x + (y+z) = n,因x可以从0变化到n，共有 n+1 种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z)只能取固定值（n-x）.而根据结论1，y+z=n-x，一共有n-x+1组不同的非负整数解.因此，x + y + z = n 的不同的非负整数解的个数为，（n+1 - 0）+ （n+1-1）+ （n+1-2）+。+ n+1-(n+1）= n+1 + n + (n-1) + 。+ 0 = (n+1)(n+2)/2。结论2，x + y + z = n 的非负整数解的个数为 (n+1)(n+2)/2。x + y + z + w = 100,x + (y+z+w) = 100,因x可以从0变化到101，共有 101 种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z+w)只能取固定值（100-x）.而根据结论2，y+z+w=100-x，一共有(101-x)(102-x)/2 组不同的非负整数解.因此，x + y + z + w = 100 的不同的非负整数解的个数为，(101-0)(102-0)/2 + (101-1)(102-1)/2 + (101-2)(102-2)/2 + . + (101-101)(102-101)/2= 101*102 + 100*101 + 99*100 + . + 0*1/2= (1012 + 101) + (1002 + 100) + (992 + 99) + . + (02 + 0) /2= (1012 + 1002 + 992 + .+ 02) + (101+100+99+.+0)/2= 101*(101+1)(2*101+1)/6 + 101*102/2/2= 101*102*203/6 + 101*102/2/2= 101*102203/6 + 1/2/2= 101*51206/6= 101*17*103= 专心-专注-专业
