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高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）1高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）2本章内容本章内容允带与禁带允带与禁带固体中电的传导固体中电的传导三维扩展三维扩展状态密度函数状态密度函数统计力学统计力学高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）3 能带理论是研究固体中电子运动的能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。一个主要理论基础。 能带理论是能带理论是近似的理论近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。个等效势场中的运动。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）4原子靠近原子靠近电子云发生重叠电子云发生重叠电子之间存在相互作电子之间存在相互作用用分立的能级发生分裂。这也是泡利不相容原分立的能级发生分裂。这也是泡利不相容原理所要求的。理所要求的。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）5如图所示为大量相如图所示为大量相同的原子靠得很近同的原子靠得很近形成晶体材料之后，形成晶体材料之后，原来相同的原来相同的电子能电子能级就会发生分裂级就会发生分裂，变成一系列离散的变成一系列离散的能级，这些能级，这些离散能离散能级形成能带级形成能带。r0高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）6以以3壳层原子为例，随着原子距离的缩减，最外层电壳层原子为例，随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作用导致子首先相互作用导致n=3的能级分裂，逐步导致次的能级分裂，逐步导致次外层和内层原子也分裂成能带。外层和内层原子也分裂成能带。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）7下图为下图为Si原子电子系统示意图。对于原子电子系统示意图。对于n=3的外层价电的外层价电子来说，其中两个分布在能量较低的子来说，其中两个分布在能量较低的s轨道上，而轨道上，而可容纳可容纳6个电子的个电子的p轨道上有两个电子。轨道上有两个电子。状态状态状态状态高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）8大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）9自由电子的运动状态自由电子的运动状态波矢波矢k可用以描述自由电子的运动可用以描述自由电子的运动状态，状态，不同的不同的k值标志自由电子值标志自由电子的不同状态的不同状态。自由电子的自由电子的E和和k的关系曲线，的关系曲线，呈呈抛物线形状抛物线形状。由于波矢由于波矢k的连续变化，自由电子的连续变化，自由电子的能量是连续能谱，从零到无限的能量是连续能谱，从零到无限大的所有能量值都是允许的。大的所有能量值都是允许的。022222mkmpEor E(p)0or p高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件E0a2a3a3a2aakE0aa简约布简约布里渊区里渊区允带允带允带允带允带允带禁带禁带禁带禁带 电子在周期性的晶格原子势场运动导致能级分裂电子在周期性的晶格原子势场运动导致能级分裂第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）11例例3.2：参考式（：参考式（3.24），计算上图的禁带带隙宽度，即），计算上图的禁带带隙宽度，即ka=时。假设参数时。假设参数P=8，a=4.5。sincoscosaPakaa解：式（解：式（3.24）将已知条件将已知条件ka=、P=8代入上式可得：代入上式可得：sin8cos1aafaa 求得满足上式的求得满足上式的a值，进而由能量值，进而由能量E与与的关系求得的关系求得E的数值，的数值，最后通过最后通过E求得带隙能量。求得带隙能量。从图从图3.8（c）可得，当）可得，当ka=、f(a)=-1时，时，a=或或5.141。即即1122mEaah22225.141mEaah高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）124.51122amEaah 23421912231106.625 102.974 101.8587889.11 104.5 10hEJeVma4.522225.141amEaah 223419122231105.141 6.625 105.1417.964 10889.11 104.5 10hEJma4.9775eV214.9775 1.85873.11883.12gEEEeVeV则，带隙能量为则，带隙能量为高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）13固体中的电传导与能带理论有关。固体中的电传导与能带理论有关。T=0K时，单晶硅晶格的共价键的二维示意图时，单晶硅晶格的共价键的二维示意图硅晶体形成的能带硅晶体形成的能带高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）14温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够大的能量，温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。从而克服共价键的束缚，进入导带。ECEV导带导带价带价带Eg禁带禁带e-高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）15能带的填充能带的填充 晶体中电子布洛赫波波矢晶体中电子布洛赫波波矢k的量子化，以及的量子化，以及E k关系说明晶体中的电子可以存在的状态，即关系说明晶体中的电子可以存在的状态，即能带能带中一系列分立能级中一系列分立能级。 大量的电子在大量能级上的填充情况是由统计规大量的电子在大量能级上的填充情况是由统计规律描述的，某一能级被电子占据的几率与其能量律描述的，某一能级被电子占据的几率与其能量E 值密切相关：值密切相关：能级越低，被电子占据的可能性能级越低，被电子占据的可能性越大越大。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）16 电流是由电荷的定向运动产生的。电流是由电荷的定向运动产生的。 假设有一正电荷集，体密度为假设有一正电荷集，体密度为N（cm-3），平均漂移），平均漂移速度为速度为vd（cm/s），则漂移电流密度为），则漂移电流密度为 如果将平均漂移速度替换为单个粒子的速度，那么如果将平均漂移速度替换为单个粒子的速度，那么漂移电流密度漂移电流密度为为其中，其中，vi为第为第i个粒子的速度。上式中用求和代替了单位体积，个粒子的速度。上式中用求和代替了单位体积，以使电流密度以使电流密度J的单位仍然保持为的单位仍然保持为A/cm2。2 A cmdJqNv1NiiJqv高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）17 导带中电子的定向漂移会产生电流。当施加外力导带中电子的定向漂移会产生电流。当施加外力F： 由于外力的作用电子获得了能量和静动量，向某一个由于外力的作用电子获得了能量和静动量，向某一个方向运动的电子超过相反方向（改变了方向运动的电子超过相反方向（改变了k空间的对称空间的对称分布），因而表现出宏观电流。分布），因而表现出宏观电流。 电子在外力作用下定向运动造成的漂移电流为：电子在外力作用下定向运动造成的漂移电流为： 其中，其中，e为电子电量，为电子电量，n为导带中单位体积的电子数量，用求为导带中单位体积的电子数量，用求和代替了单位体积。和代替了单位体积。dEFdxFvdt1niiJev 高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）18什么叫质量？如何测量一个物体的质量？什么叫质量？如何测量一个物体的质量？ 对于晶格中的某一个电子来说：对于晶格中的某一个电子来说：Fint非常复杂，难以确定。因此将上式简写为：非常复杂，难以确定。因此将上式简写为：inttotalextFFFmaextFm a其中，加速度其中，加速度a直接与外力有关。参数直接与外力有关。参数m*对外力对外力Fext表现出类似表现出类似于惯性质量的性质，叫做于惯性质量的性质，叫做。FmamN g高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）19电子有效质量的求解：电子有效质量的求解： 考虑考虑的的Ek关系：关系： 能量能量E对对k的一阶导数与粒子速度的一阶导数与粒子速度v有关：有关： 能量能量E对对k的二阶导数与粒子质量有关：的二阶导数与粒子质量有关：22222pkEmmvmpdkdEmpmkdkdE1222222211d Ed Edkmmdk高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）20晶体中电子的运动状态要比自由电子复杂得多，晶体中电子的运动状态要比自由电子复杂得多，要得到要得到E(k)表达式很困难。表达式很困难。可采用级数展开的方法研究带底或带顶可采用级数展开的方法研究带底或带顶E(k)k关系关系半导体中起作用的是位于导带底或价带顶附近的电半导体中起作用的是位于导带底或价带顶附近的电子子泰勒级数展开，近似求出极值附近的泰勒级数展开，近似求出极值附近的E(k)k关关系。系。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）21 02220222220022001 0211 02kkknknkdE dkd EE kEkdkd Ed E dkdkmkE kEm时能量极小，所以，因而为一定值，令，得到： 22200102kkdEd EE kEkkdkdk222nd Emdk其中，其中，222d Emdk对比自由电子：对比自由电子：以一维情况为例，设能带底位于以一维情况为例，设能带底位于k=0，将，将E(k)在在k=0附近按泰附近按泰勒级数展开，得到勒级数展开，得到高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）22有效质量和加速度有效质量和加速度 有效质量是一个将经典理论和量子理论联系起来的概念。有效质量是一个将经典理论和量子理论联系起来的概念。 借助于有效质量的概念，晶体电子在外力的作用下的运动借助于有效质量的概念，晶体电子在外力的作用下的运动规律可以用经典的牛顿理论来描述。规律可以用经典的牛顿理论来描述。 将内力和量子力学特性都归纳为有效质量。将内力和量子力学特性都归纳为有效质量。 如果对允带底的电子外加上一个电场，可得加速度为如果对允带底的电子外加上一个电场，可得加速度为neEam高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）23有效质量的意义：有效质量的意义：概括半导体内部势场的作用。概括半导体内部势场的作用。mn*与能量函数对于与能量函数对于k的二次微商成反比，能带越窄，的二次微商成反比，能带越窄，二次微商越小，有效质量越大。二次微商越小，有效质量越大。内层电子的能带窄，有效质量大；外层电子的能带宽，有内层电子的能带窄，有效质量大；外层电子的能带宽，有效质量小；外层电子，在外力的作用下可以获得较大的效质量小；外层电子，在外力的作用下可以获得较大的加速度。加速度。在能带底电子有效质量是正值，在能带顶电子有效质量是在能带底电子有效质量是正值，在能带顶电子有效质量是负值。负值。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）24 硅二维晶格结构硅二维晶格结构 在在T=0K时，所有的外层价电子都处于共价键中（处于价带中，时，所有的外层价电子都处于共价键中（处于价带中，满带），因而不能导电。满带），因而不能导电。 E 热激发，一个电子打热激发，一个电子打破共价键而游离，成破共价键而游离，成为准自由电子。为准自由电子。 电子跃迁后留下的空电子跃迁后留下的空位叫空穴。位叫空穴。 在电场作用下，空位在电场作用下，空位的移动也形成电流。的移动也形成电流。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）25设想价带中一个电子激发到导带，电子电流密度设想价带中一个电子激发到导带，电子电流密度J=价带（价带（k状态空出）电子总电流状态空出）电子总电流设想以一个电子填充到空的设想以一个电子填充到空的k状态，状态， k状态电子电流状态电子电流=（-q）v（k）填入这个电子后价带又被填满，总电流应为零填入这个电子后价带又被填满，总电流应为零J+（-q）v（k）=0因而得到因而得到 J=（+q）v（k）说明：当价带说明：当价带k状态空出时，价带电子的总电流，如同状态空出时，价带电子的总电流，如同一个正电荷的粒子以一个正电荷的粒子以k状态电子速度状态电子速度v（k）运动时所）运动时所产生的电流。产生的电流。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）26 空穴的主要特征：空穴的主要特征： 荷正电：荷正电：+q； 空穴浓度表示为空穴浓度表示为p（电子浓度表示为（电子浓度表示为n） Ep=-En （空穴的能量坐标与电子的相反，分布服（空穴的能量坐标与电子的相反，分布服从能量最小原理）从能量最小原理）mp*=-mn*（价带顶空穴有效质量为正）（价带顶空穴有效质量为正） 空穴的意义：空穴的意义：可以把价带大量电子的运动状态用很少的空穴的可以把价带大量电子的运动状态用很少的空穴的运动表示出来。运动表示出来。Ek高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）27 固体导电性和能带的关系：固体导电性和能带的关系：（无电子，不导电）；（无电子，不导电）；（无空状态，不导电）；（无空状态，不导电）；（导电，电子，空穴）（导电，电子，空穴） 能带包括允带和禁带。能带包括允带和禁带。：允许电子能量存在的能量范围。：允许电子能量存在的能量范围。：不允许电子存在的能量范围。：不允许电子存在的能量范围。 允带又分为空带、满带、导带、价带。允带又分为空带、满带、导带、价带。：不被电子占据的允带。：不被电子占据的允带。：允带中的能量状态（能级）均被电子占据。：允带中的能量状态（能级）均被电子占据。：电子未占满的允带（有部分电子）。：电子未占满的允带（有部分电子）。：被价电子占据的允带，且低温下通常被价电子占满。：被价电子占据的允带，且低温下通常被价电子占满。高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）28用能带理论解释导体、半导体、绝缘体的导电性：用能带理论解释导体、半导体、绝缘体的导电性：0Eg6eV金属金属半导体半导体绝缘体绝缘体高等半导体物理与器件高等半导体物理与器件第三章第三章 固体量子理论初步（固体量子理论初步（1）