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第二章：平稳随机过程v严平稳过程的定义严平稳过程的定义v宽平稳过程的定义宽平稳过程的定义v平稳过程的数字特征平稳过程的数字特征v平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质v时间平均和集合平均的概念时间平均和集合平均的概念v平稳过程遍历性定义平稳过程遍历性定义v遍历性判定定理遍历性判定定理v遍历性应用举例遍历性应用举例 平稳随机过程是一类应用广泛的随机平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。于平稳随机过程。 例如：纺织过程中棉纱横截面积的变例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声；化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声； 这些随机现象的特点是：这些随机现象的特点是：统计特性不统计特性不随时间的推移而变化随时间的推移而变化。严平稳过程的定义 设设X(t),tT是随机过程，如果对任是随机过程，如果对任意常数意常数和正整数和正整数n n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), , X(tn)与与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相有相同的联合分布，则称同的联合分布，则称X(t),tT为为严平稳严平稳过程过程或或狭义平稳过程狭义平稳过程。 严平稳过程的统计特征是由有限维分严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。布函数决定的，在实际应用中难以确定。 当当产生随机现象的一切主要条件产生随机现象的一切主要条件可以可以视为视为不随时间的推移而改变不随时间的推移而改变时时,这类过程这类过程可以看作为平稳的可以看作为平稳的. 例如例如: 电子管中散弹效应引起的电路电子管中散弹效应引起的电路中的噪声电压中的噪声电压;通信通信,自动控制等领域的许自动控制等领域的许多过程都可以认为是平稳随机过程。多过程都可以认为是平稳随机过程。均值均值 mX(t)=EX(t);均方值均方值 X(t)=EX2(t)；方差方差 DX(t)=EX2(t)-E(X(t)2 =X(t)-mX2(t);自相关函数自相关函数 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)；协方差函数协方差函数 Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征平稳过程的数字特征对于平稳随机过程对于平稳随机过程X(t)的一维分布的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令，若令 =-t1，则，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)(1 )因此平稳随机过程的因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无一维分布函数与时间无关关，其在任何时刻的统计规律相等。，其在任何时刻的统计规律相等。1( )( )XXmtxfx dxm2221( )( )( )xtE Xtx f x dx常数( )D X t常数 (2)若随机过程若随机过程X(t)平稳过程，则其平稳过程，则其均值均值、均方值均方值和和方差方差均为常数。均为常数。(3) 对于平稳随机过程对于平稳随机过程X(t)的二维分布的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令，若令=-t1，则则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令t2-t1= ，则：则： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;)12212121221212( ,)( )()(,; ,)(,; )( )XXRt tE X t X tx x fxxt tdx dxx x fxxdx dxR(4)平稳过程的自相关函数是平稳过程的自相关函数是时间时间的单变量的单变量函数函数。同理，协方差函数是同理，协方差函数是时间时间的单变量函数的单变量函数宽平稳过程的定义设设X(t),tT是随机过程，如果是随机过程，如果 X(t),tT是是二阶矩过程二阶矩过程； 对任意对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；常数；1.对任意对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)则称则称X(t),tT为为广义平稳过程广义平稳过程或或宽平稳过宽平稳过程程。严平稳过程和宽平稳过程的关系严平稳过程和宽平稳过程的关系 （1）宽平稳过程不一定是严平稳过程）宽平稳过程不一定是严平稳过程 （2）严平稳过程只有当二阶矩存在时）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程为宽平稳过程 （3）但是对于）但是对于正态过程正态过程，其分布由均，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。值和自相关函数完全确定，二者是等价的。例题1：设设Y是随机变量，试分别考虑是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和和X(t)=tY的平稳性。的平稳性。例题2：设设Xt，t=0, 1, 2, 是实的互不相是实的互不相关随机变量序列，且关随机变量序列，且EXt=0,DXt=2。试讨论随机序列试讨论随机序列X(t)=Xt的平稳性。的平稳性。例题3：设设S(t)是一周期为是一周期为T的函数，的函数， 在在(0,T)(0,T)上上均匀分布，称均匀分布，称X(t)=S(t+X(t)=S(t+) )为随机相位周为随机相位周期过程，讨论其平稳性。期过程，讨论其平稳性。例题例题4：随机过程随机过程X(t)只取只取+I I和和 -I I，且，且PX(t)=+I I = PX(t)= -I I=1/2，而正负号在，而正负号在( t, t+ ) )的变化次数的变化次数N(t,t+N(t,t+) )是随机的，且事件是随机的，且事件A AK K=N(t,t+)=k 的概率为的概率为, 2 , 1 , 0,!|)|()(|kekAPkk试讨论试讨论X(t)的平稳性。的平稳性。联合平稳过程)()(tYtXE设设X(t),tT和和Y(t),tT是是两个平稳过两个平稳过程程，若它们的互相关函数，若它们的互相关函数和和 仅与仅与有关，而与有关，而与t t无无关，则称关，则称X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是是联合平稳随机过联合平稳随机过程程。 )()(tXtYE 当两个平稳过程当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。稳时，则它们的和也是平稳过程。设设x(t),tT为平稳过程，则其相关函数具为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：有下列性质： （1） （2） （3）平稳过程自相关函数的性质0)0(XR( )(),( )(),XXXXRRBB(0) |( )|XXRR (4) 若若X(t)是周期为是周期为T的周期函数，即的周期函数，即 X(t)=X(t+T)，则，则RX()=RX(+T+T)； (5) 若若X(t)是不含周期分量的非周期过程，是不含周期分量的非周期过程，当当|时，时，X(t)与与X(t+)相互独立，则相互独立，则平稳过程自相关函数的性质2|lim()XXRm 已知平稳随机过程的自相关函数为已知平稳随机过程的自相关函数为:求其均值和方差求其均值和方差.习题:24()3 615XR随机分析随机分析 在普通函数的微积分中，连续、导数在普通函数的微积分中，连续、导数和积分的概念是建立在极限概念的基础上。和积分的概念是建立在极限概念的基础上。 对于随机过程，随机过程的对于随机过程，随机过程的连续性连续性、导数导数和和积分积分的等概念都是建立在的等概念都是建立在随机序列随机序列极限极限的基础上。这部分内容称为的基础上。这部分内容称为随机分析随机分析。处处收敛处处收敛 对于概率空间(,F,P)上的随机序列Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处处处收敛收敛，即满足XXnnlim其中，x为随机变量。以概率以概率1收敛收敛二阶矩随机序列二阶矩随机序列Xn(e),二阶矩随机变量二阶矩随机变量X(e),若若1)()(lim:eXeXePnn称称Xn(e)以概率以概率1收敛于收敛于随机变量随机变量X ，或称，或称Xn(e)几乎处处收敛于几乎处处收敛于X(e)，记作，记作XXean.依概率收敛依概率收敛若对于任给0，有0|)()(|limeXeXPnn 称二阶矩随机序列Xn依概率收敛于二阶矩随机变量X，记作: (probability收敛)XXPn设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有0|lim2XXEnn成立，则称Xn均方收敛于X，记作:(Mean-square收敛)XXsmn.均方收敛均方收敛 二阶随机序列Xn相应的分布函数为Fn(x)，二阶矩随机变量X对应的分布函数为F(x).若对F(x)的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn记作XXdn 称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，(Distribution 收敛)依分布收敛依分布收敛收敛性概念收敛性概念（1）以概率）以概率1收敛收敛（2）依概率收敛）依概率收敛（3）均方收敛均方收敛（4）依分布收敛）依分布收敛a.em.sPd不收敛XXsmn.XXdn.a enXXPnXX(1)若若 ,则则.m snXXPnXX证：举例举例:(2)若若 ,则则.a enXXPnXX证：举例举例:均方连续均方连续定义定义6.6设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个，若对每一个tT，有，有0|)()(|lim20tXhtXEh则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作若若T中一切点都均方连续，则称中一切点都均方连续，则称Xt在在T上均方连续上均方连续。)()(. .0tXhtXmilh均方导数均方导数定义6.7设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh则称X(t)在t点均方可微，记作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(0并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。均方积分均方积分定义6.8设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=a,b，如果当n0时，Sn均方收敛于S，即2011lim|0( )( )()nnnniiiiiESSSf tX ttt则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记作badttXtfS)()(定理6.8设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，则有 1. 2. babadttXEtfdttXtfE)()()()(babadttXEdttXE)()( babaXbabadtdtttRtftfdttXtfdttXtfE212121222111),()()()()()()( babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(| 结论：数学期望和积分可以交换秩序。定理6.9设X(t),tT为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则 在均方意义下存在，且随机过程Y(t), tT在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。badXtY)()(时间平均和集合平均概念)(tXEmXTTTdttXTtX)(21lim)(集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。样本不同而不同，是个随机变量。时间平均集合平均大数定理大数定理设独立同分布的随机变量序列Xn,n=1,2, ，具有EXn=m,DXn=2,(n=1,2, )，则1|1|lim1NkkNmXNP 随时间随时间n的无限增长，随机过程的的无限增长，随机过程的样本函数样本函数按时间平均按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的以越来越大的概率近似于该过程的统计平均统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够则随机过程的每个样本函数都能够“遍历遍历”各各种可能的状态。种可能的状态。例题： 随机过程随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常为常数，数，为为(0,2)(0,2)上均匀分布的随机变量，上均匀分布的随机变量，试分析试分析X(t)X(t)集合平均和时间平均值、相集合平均和时间平均值、相关函数和时间相关函数。关函数和时间相关函数。定义6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若是均方连续的平稳过程，若以以概率概率1成立，则称该平稳过程的成立，则称该平稳过程的均值具有均值具有各态历经性各态历经性。若。若以以概率概率1成立，则称该平稳过程的成立，则称该平稳过程的相关函数相关函数具有各态历经性具有各态历经性。XTTTmdttXTmil)(21.)()()(21.XTTTRdttXtXTmil定义6.11 如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),tT的均值和相关函数都具有各态历经性，的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有则称该平稳过程为具有各态历经性各态历经性或或遍遍历性历性。定理6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为0|)()2|1(21.222TTXXTdmRTTmil证明见课本定理6.11设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为0| )(|)()2|1 (21lim22121TTXiTdRBTT其中)()()()()(111tXtXtXtXEB证明见课本001( ). .( )1( )(). .( )()TTTTXtl i mXt dtTXt Xtl i mXt XtdtT 要严格验证平稳过程是否满足各态历经性是比较困难的,但是各态历经性定理的条件较宽,工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 在实际应用中,只考虑 上的均方连续的平稳过程,此时:0t 各态历经定理的意义：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即若样本函数X(t)只在有限区间0,T上给出，则对于实平稳过程有下列估计式TTXTTXdttxtxTmiltRdttxTmilm00)()(1.)(,)(1.TXXdttxTmm0)(1TXXdttxtxTRR0)()(1)()(举例: 测量具有各态历经性随机过程的均值举例: 利用相关法进行弱信号检测 雷达接收机的输出既存在着周期性的回波雷达接收机的输出既存在着周期性的回波信号信号s(t)，又存在着随机噪声，又存在着随机噪声n(t)，如何在噪，如何在噪声背景下识别是否有周期信号的存在声背景下识别是否有周期信号的存在? (假设s(t),n(t)都是均值为零的各态历经的平稳过程都是均值为零的各态历经的平稳过程)作业: 6.1 6.2 6.12