立体几何空间角ppt课件.ppt
“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。空空间角专专讲讲座座题题及其求法法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。教材地位分析教材地位分析高考地位分析高考地位分析（1） 立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型判断、推理型 （2）有关的有关的几何量的计算，几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。（2）在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。立体几何高考分析 高考中，立体几何板块往往有高考中，立体几何板块往往有4个题目：个题目：2个选择题，一个填空题个选择题，一个填空题和和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。理解空间角的概念、会求空间角的大小。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。异面直线所成角直线与平面所成角 二 面 角图 形定义表示范围要点用什么度量？用什么度量？2,0）（面棱面l0，2,0（从一条直线引出的两从一条直线引出的两个半平面所组成的图个半平面所组成的图形叫做二面角。形叫做二面角。在空间任取一点在空间任取一点o，分别，分别作作a，b的平行线，从而的平行线，从而形成的的锐（直）角形成的的锐（直）角异面直线a，b所成角斜线与它在平面斜线与它在平面内的射影所成的内的射影所成的锐角。锐角。线a与平面 所成角找适当点、找射影、二足二足作平行线相连相连“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1.作出所求的空间角 2.证明所作的角符合定义 3.构造三角形并求出所要求角简言之，空间角的求解步骤为：“一作一作”“二证二证”“三算三算”“一作”“二证”“三算”“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 过D1作D1E/AM，再过N作NG/D1E，显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。 过D1作D1E/AM，作D1F/CN，显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。ABCD1A1B1C1DNEFMEFD1EFD1ABCD1A1B1C1DNEM途径一途径一途径二途径二G途径一途径一途径二途径二NGCNGC 如图，正方体如图，正方体 ，M M、N N分别为分别为 ， 的的中点，求直线中点，求直线AMAM与与CNCN所成角。所成角。1111DCBAABCD1DD11DA例例1.方法提炼方法提炼“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例1. 如图棱长是如图棱长是1的正方体，的正方体，P、Q分别是棱分别是棱AB、CC1上的内上的内分点，满足分点，满足21QCCQPBAP.（1）求证：）求证：A1P平面平面AQD；（2）求直线）求直线PQPQ与平面与平面AQDAQD所成角的正弦值所成角的正弦值.RPQAA1CDBD1C1B1方法提炼方法提炼（1）易证，略（2）如何作出线面角？过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P 面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知 即为所求角。SQPS S解析解析只需解QSP即可。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD为矩形，为矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，设，设PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角，求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。例例2.DPBCAEF解析解析1定义法定义法 过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。SQP 解析解析2PBCADNMQ 垂面法垂面法 易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则 为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。MQN 跳转跳转“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三垂线得GF PC 即角EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可。 由解析3的分析过程知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin ，余下的问题比较容易解决！ 在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD为矩形，为矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，设，设PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面角，求二面角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。PBCADE EFPBCAD解析3例例2.E E利用三垂线求解利用三垂线求解FG 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。EGF解析4射影面积法射影面积法105跳转跳转“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。DBCAP解析解析5例例3.利用空间余弦定理求解利用空间余弦定理求解 在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。EF 利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。复习复习方法提炼方法提炼“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。针对训练针对训练1 已知二面角已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到，到l 的距离为的距离为4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。A .O lDOABPCEEOP针对训练针对训练2 如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC上的射影是上的射影是底面底面RtABC斜边斜边AC的中点的中点O，若，若PB=AB=1，BC= ，求二面，求二面角角P-AB-C的正切值的正切值。2KEY:22KEY:6撤消撤消“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。针对训练针对训练3 如图如图P为二面角为二面角内一点，内一点，PA, PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。BPAOKEY 120针对训练针对训练4 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A （2 , 3 ）、）、B（3 ，2 ），沿），沿x轴把轴把直角坐标平面折成大小为直角坐标平面折成大小为 的二面角后，的二面角后， ，则，则 的值为的值为 。24ABxyoAByABxo“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：空间问题 技 巧“移”、“补” 、“换”平面问题线线角，用平移，妙选顶点，线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，空间余弦，用定义，三垂线，射影垂面。熟化归，解三角，算准结果，作证求，三环节，环环相扣。 求解的基本思路为：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。本专题到此结束，各位领导、老师、朋友，请批评、指正！“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1.1.定义定义 以二面角的棱上以二面角的棱上任意任意一点为端点，在两个一点为端点，在两个面上面上分分别引别引垂直于棱垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角。OOABABAOBBOA? 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。同，那么这两个角相等。l二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。）角的边都要垂直于二面角的棱。 返回“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 返回中点中点方法提炼1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 方法提炼方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作妙选点、作平行线平行线。常选中点中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 返回 求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。方法提炼2撤消“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。求二面角的方法比较多，常见的有（1） 定义法定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线， （3） 垂面法垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线， （2） 利用三垂线求解利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，在棱上的点分别作棱的垂线，(1)定义法（定义法（点在棱上点在棱上）(3) 垂面法（垂面法（点在空间内点在空间内）oABoAAoBlll(2) 三垂线定理法三垂线定理法（点在面内点在面内）如例如例3解析解析1如例如例3解析解析2如例如例3解析解析3方法提炼方法提炼3“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。（4） 射影面积法射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，如图所示， 射影射影 DBC、斜面、斜面 ABC与两面所与两面所成的二成的二面角面角 之间有：之间有：ABCDBCSScosABCDHM （5）空间余弦定理）空间余弦定理运用公式运用公式 求解，如例求解，如例3解析解析5 cos22222mnnmdEF返回方法提炼方法提炼3（续）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。推广EFmndClnmcnmc推广2222222abcos EF222+d 22abcos 撤消“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。cos22222mnnmdEF 用此公式为空间余弦定理，可用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离求异面直线上两点的距离，异面直线异面直线所成角所成角，还可，还可求二面角的平面角求二面角的平面角。 如图，如图， CBF= 为二面角的为二面角的平面角平面角 ，在，在 CBF中，中，由余弦定理可求得由余弦定理可求得CFcos2222mnnmCF再由RtECF可得EFmndABClmd返回
