等差数列前n项和的公式ppt课件.ppt

等差数列前等差数列前n项和公式项和公式复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项办法，需要把中间项1111看成首、看成首、尾两项尾两项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。 通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对” 的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？有无简单的方法？ 探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：获得算法：问题问题2 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架形架的最下面一层放一支的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？ 问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？” 问题问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？） 这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯高斯问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导即前即前n项的和与首项末项及项数有项的和与首项末项及项数有关关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示Sn呢？呢？因为因为 an= a1+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n (n-1)d/2由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda正所谓：知三求二【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“ ” 倒序相加倒序相加法法Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还可以是还可以是 0）等差数列前等差数列前n项和公式补充知识项和公式补充知识例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一本题实质是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，的一元二次函数，注意得到的项数注意得到的项数n 必须是正必须是正整数整数.解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列代表该数列 的前的前n项和，则有项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：112()nn nsnad- -= =+ +1104542()有有成成立立n nn- - -+ + = =26270,整整理理后后 得得nn- - -= =解得解得n1=9, n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和项的和是是54.设该数列前设该数列前n 项和为项和为54 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二【例例1 1】已知等差数列已知等差数列aan n.(1)a(1)a1 1= a= a1515= S= Sn n=-5,=-5,求求n n和和d;(2)ad;(2)a1 1=4,S=4,S8 8=172,=172,求求a a8 8和和d.d.【审题指导审题指导】根据等差数列前根据等差数列前n n项和公式解方程项和公式解方程. .【规范解答规范解答】（1 1）a a1515= +(15-1)d= d= +(15-1)d= d=又又S Sn n=na=na1 1+ + d=-5,d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）. .（2 2）由已知，得）由已知，得S S8 8= = 解得解得a a8 8=39,=39,又又a a8 8=4+(8-1)d=39,d=5.=4+(8-1)d=39,d=5.5,63,2563,21.6n n121888 aa8 4a,22【变式训练变式训练】在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a6 6=10=10，S S5 5=5=5，求，求a a8 8. .【解析解析】方法一：设公差为方法一：设公差为d,d,aa6 6=10=10，S S5 5=5=5， 解得解得 a a8 8=a=a6 6+2d=16.+2d=16.方法二：设公差为方法二：设公差为d,d,SS6 6=S=S5 5+a+a6 6=15=15，15= 15= 即即3 3（a a1 1+10+10）=15.=15.aa1 1=-5=-5，d= =3.ad= =3.a8 8=a=a1 1+ +（8-18-1）d=16.d=16.11a5d105a10d5，1a5,d3 166 aa2（），61aa5知识点：等差数列前知识点：等差数列前n n项和的性质的应用项和的性质的应用 (1) (1)项数（下标）的项数（下标）的“等和等和”性质：性质：S Sn n= = (2)(2)项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d：若共有若共有2n2n项，则项，则S S2n2n=n=n（a an n+a+an+1n+1）；）；S S偶偶-S-S奇奇=nd=nd；S S偶偶S S奇奇= a= an+1n+1aan n；1nmn m 1naanaa22（）（）若共有若共有2n+12n+1项，则项，则S S2n+12n+1= =（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶-S-S奇奇=-a=-an+1n+1；S S偶偶S S奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段和片段和”性质：性质：等差数列等差数列aan n 中，公差为中，公差为d d，前，前k k项的和为项的和为S Sk k，则，则S Sk k，S S2k2k-S-Sk k，S S3k3k-S-S2k2k，S Smkmk-S-S（m-1m-1）k k,构成公差为构成公差为k k2 2d d的等差数列的等差数列. .【变式变式1 1】等差数列等差数列aan n 中，中，a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，求，求S S1313. . 【解题提示解题提示】利用等差数列的性质利用等差数列的性质S Sn n= = 【解析解析】因为因为a a1 1+a+a1313=a=a2 2+a+a1212=2a=2a7 7，又，又a a2 2+a+a7 7+a+a1212=24=24，所以，所以a a7 7=8=8，所以，所以S S1313= =13= =138=104.8=104.1nmn m 1naanaa.22（）（）11313 aa2（）【变式变式2 2】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前4 4项和为项和为2525，后，后4 4项和为项和为6363，前，前n n项和项和为为286286，求项数，求项数n.n.【审题指导审题指导】题目给出前题目给出前4 4项和与后项和与后4 4项和，可利用等差数项和，可利用等差数列项数（下标）的列项数（下标）的“等和等和”性质：性质：S Sn n= = 来求得来求得. .1nmnm 1naanaa22（）（）【规范解答规范解答】因为因为a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=25=25，a an-3n-3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n=63.=63.而而a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=a=a4 4+a+an-3n-3，所以所以4 4（a a1 1+a+an n）=88=88，所以，所以a a1 1+a+an n=22=22，所以所以S Sn n= =11n=286= =11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的项数为故所求的项数为26.26.1nnaa2（）练习：练习：1 1、等差数列、等差数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，已知，已知S8=132S8=132，Sm=690Sm=690，Sm-8=270Sm-8=270（m m8 8），则），则m m为（）为（）2 2、等差数列、等差数列 a ann的前的前m m项和为项和为3030，前，前2m2m项和为项和为100100，前，前3m3m项和为（项和为（210210）【3 3】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为377377，项数，项数n n为奇为奇数，且前数，且前n n项和中奇数项和与偶数项和之比为项和中奇数项和与偶数项和之比为7676，求中间项，求中间项. .【解题提示解题提示】在等差数列在等差数列aan n 中，若共有中，若共有2n+12n+1项，项，则则S S2n+12n+1= =（2n+12n+1）a an+1n+1；S S偶偶S S奇奇=n=n（n+1n+1）. .【解析解析】因为因为n n为奇数，所以为奇数，所以 所以所以n=13n=13，所以，所以1313a a7 7=S=S1313=377=377，所以，所以a a7 7=29=29，故所求的中间项为故所求的中间项为29. 29. Sn17Sn16奇偶，类型一：已知类型一：已知S Sn n求求a an n a an n= =1nn 1S(n1).SSn2【例例1 1】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且当，且当nNnN* *时满足时满足S Sn n=-3n=-3n2 2+6n+6n，求数列，求数列aan n 的通项公式的通项公式a an n. .【规范解答规范解答】当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=3,=3,当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(-3n=(-3n2 2+6n)-3(n-1)+6n)-3(n-1)2 2+6(n-1)+6(n-1)=9-6n=9-6n， a a1 1=3=3符合此式符合此式. .aan n=9-6n(nN=9-6n(nN* *).).【变式变式】若若S Sn n=-3n=-3n2 2 +6n +1+6n +1，求，求a an n？【解析解析】当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=4.=4.当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1= =（-3n-3n2 2+6n+1+6n+1）-3-3（n-1n-1）2 2+6(n-1) +1+6(n-1) +1=9-6n,=9-6n,a a1 1=4=4不符合此式不符合此式. .故故a an n= =4(n1).96n(n2)【例例3 3】(12(12分分) )有两个等差数列有两个等差数列aan n ，bbn n ，其前，其前n n项和分别项和分别为为S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【审题指导审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n n项和项和S Sn n和和T Tn n的比值，欲求的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前的值，可充分利用等差数列前n n项和公式及等差中项的关系转化为项和公式及等差中项的关系转化为 的关系的关系. .nnS7n2Tn3，55a.b55abnnST;n65mnnaaaaaa求求变式：求【规范解答规范解答】方法一：方法一： 3 3分分 6 6分分 9 9分分 1212分分5555a2ab2b191919199 aaaa29 bbbb299S7 92T93 65.12【训练训练】有两个等差数列有两个等差数列aan n ，bbn n ，其前，其前n n项和分别为项和分别为S Sn n和和T Tn n，若，若 求求【解析解析】由等差数列的性质得由等差数列的性质得nnS2nT3n1，2517228101216aaaa.bbbb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS2 22442.bbbbT3 22 1672221.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2，则，则a a8 8的值为的值为( )( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)642.2.已知数列已知数列aan n 为等差数列，为等差数列，a a1 1=35,d=-2,S=35,d=-2,Sn n=0,=0,则则n n等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36当堂检测当堂检测3.3.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，a an n=11,d=2, S=11,d=2, Sn n=35,=35,则则a a1 1等于等于( )( )(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5 (C)7 (C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-14.4.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，则，则S S5 5=_.=_.5.5.两个等差数列两个等差数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项和分别是项和分别是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值. .nnS2n3T3n1，99ab1.1.设数列设数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2，则，则a a8 8的值为的值为( )( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析解析】选选A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.2.2.已知数列已知数列aan n 为等差数列，为等差数列，a a1 1=35,d=-2,S=35,d=-2,Sn n=0,=0,则则n n等于等于(A)33 (B)34 (C)35 (D)36(A)33 (B)34 (C)35 (D)36【解析解析】选选D.SD.Sn n=na=na1 1+ =0,+ =0,35n-n(n-1)=0,35n-n(n-1)=0,得得n=36.n=36.n n1 d2当堂检测当堂检测3.3.数列数列aan n 为等差数列，为等差数列，a an n=11,d=2, S=11,d=2, Sn n=35,=35,则则a a1 1等于等于( )( )(A)5(A)5或或7 (B)37 (B)3或或5 5(C)7(C)7或或-1 (D)3-1 (D)3或或-1-1【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得 从而从而a a1 1=3=3或或a a1 1=-1.=-1.11ad n111n n1nad352，4.4.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a2 2+a+a4 4=6=6，则，则S S5 5=_.=_.【解析解析】S S5 5= =15.= =15.24155 aa5 aa5 6222（）5.5.两个等差数列两个等差数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项和分别是项和分别是S Sn n，T Tn n，若，若 求求 的值的值. .【解析解析】方法一：方法一：方法二：因为方法二：因为 所以设所以设S Sn n=(2n+3)kn=(2n+3)kn，T Tn n=(3n-1)kn=(3n-1)kn，k0,ak0,a9 9=S=S9 9-S-S8 8=37k.=37k.b b9 9=T=T9 9-T-T8 8=50k.=50k.nnS2n3T3n1，99ab117991171179911717 aaa2aaa217(bbb2bbb2）1717S2 17337.T3 17 150nnS2n3T3n1，99a37k37.b50k50【最值问题最值问题】【典例典例】（1212分）在等差数列分）在等差数列aan n 中，中，a a1 1=25=25，S S1717=S=S9 9，求，求S Sn n的最大值的最大值. .【审题指导审题指导】题目给出首项和题目给出首项和S S1717=S=S9 9等条件，欲求等条件，欲求S Sn n的最大值可转化的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式为二次函数求最值，或利用通项公式a an n求求n n使得使得a an n0,a0,an+1n+10 0或利用或利用性质求出大于或等于零的项性质求出大于或等于零的项. .【规范解答规范解答】方法一：设公差为方法一：设公差为d,d,由由S S1717=S=S9 9得得252517+ =2517+ =25 3 3分分解得解得d=-2d=-2，6 6分分SSn n=25n+ =25n+ （-2-2）=-=-（n-13n-13）2 2+169+169， 9 9分分由二次函数性质得，当由二次函数性质得，当n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分17 17 1d2（）9 9 19d,2（）nn12（）先求出公差先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分由由S S1717=S=S9 9，得，得a a1010+a+a1111+ +a+a1717=0=0，而而a a1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414，故故a a1313+a+a1414=0 =0 9 9分分d=-2d=-20,a0,a1 10,a0,a13130,a0,a14140.0.故故n=13n=13时，时，S Sn n有最大值有最大值169. 169. 1212分分【即时训练即时训练】在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=50=50，d=-0.6.d=-0.6.（1 1）从第几项起以后各项均小于零？）从第几项起以后各项均小于零？（2 2）求此数列前）求此数列前n n项和的最大值项和的最大值. . 【解题提示解题提示】（）实质上是解一个不等式，但要注意（）实质上是解一个不等式，但要注意为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题【解析解析】（1 1）a a1 1=50=50，d=-0.6,d=-0.6,aan n=50-0.6=50-0.6（n-1n-1）=-0.6n+50.6.=-0.6n+50.6.令令-0.6n+50.60-0.6n+50.60，则，则n 84.3.n 84.3.由由nNnN* *, ,故当故当n85n85时，时，a an n0 0，即从第，即从第8585项起以后各项均小于项起以后各项均小于0.0.50.60.6(2)(2)方法一：方法一：a a1 1=50=500 0，d=-0.6d=-0.60 0，由（由（1 1）知）知a a84840 0，a a85850 0，SS1 1S S2 2S S3 3S S8484，且，且S S8484S S8585S S8686. .（S Sn n）maxmax=S=S8484=50=5084+ 84+ （-0.6-0.6）=2 108.4.=2 108.4.方法二：方法二：S Sn n=50n+ =50n+ （-0.6-0.6）=-0.3n=-0.3n2 2+50.3n+50.3n=-0.3=-0.3（n- n- ）2 2+ + 当当n n取最接近于取最接近于 的自然数，即的自然数，即n=84n=84时，时，S Sn n取得最大值取得最大值S S8484=2 108.4.=2 108.4.84 832nn12（）50362503.1205036