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一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节 数学期望引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望的概念 A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 因此因此, A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 41043200 ),(150 元元 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目, 则为则为43041200 ).(50 元元 故有故有, 在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为, 1:3即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的,43.41因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的 “期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元元 即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下, 继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:2000其概率分别为其概率分别为:4341 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk解解平均射中环数平均射中环数射击次数射击次数射中靶的总环数射中靶的总环数 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y . 50kknnk 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值? “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量分赌本问题分赌本问题A 期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期的数学期望望.543210)(543210ppppppYE ).(15041043200)(元元 XE关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1221 假设假设.98. 198. 0202. 01)( XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等. 1 2 X21020.980.p为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好? ?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.实例实例2 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张, 每张每张2元元. 设设头等奖头等奖1个个, 奖金奖金 1万元万元, 二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个, 奖金各奖金各1千元千元; 四等奖四等奖100个个, 奖金各奖金各100元元; 五等奖五等奖1000个个, 奖金各奖金各10 元元.每张彩票的成每张彩票的成本费为本费为 0.3 元元, 请计算彩票发行单位的创收利润请计算彩票发行单位的创收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则则Xp0101001000500010000510151025101051010051010000p0550102500010110000)(pXE ),(5 . 0元元 每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚),(2 . 13 . 05 . 02元元 每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为).(1200002 . 1100000元元 实例实例3 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元 ， 失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则),( 17 . 023 . 08)(万元万元 XE存入银行的利息存入银行的利息:),(5 . 0510万元万元 %故应选择投资故应选择投资.Xp82 3 . 07 . 0:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X实例实例4商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0, 0, 0,e101)(,10的的数数学学期期望望器器收收费费试试求求该该商商店店一一台台家家用用电电概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxxfXx 解解xXPxde10111010 1 . 0e1 ,0952. 0 xXPxde101211021 2 . 01 . 0ee ,0861. 0 xXPxde101321032 ,0779. 0ee3 . 02 . 0 xXPxde1013103 .7408. 0e3 . 0 的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收.,可可以以用用两两种种方方法法进进行行个个人人的的血血此此要要抽抽验验为为的的团团体体中中普普查查某某种种疾疾病病在在一一个个人人数数很很多多N实例实例5分组验血分组验血.,(i)次次这这就就需需化化验验验验将将每每个个人人的的血血分分别别去去化化N.1,.,(ii)次次最最多多需需化化验验个个人人的的血血共共这这样样验验个个人人的的血血液液分分别别进进行行化化则则再再对对这这若若呈呈阳阳性性个个人人的的血血就就只只需需验验一一次次这这这这样样个个人人的的血血都都呈呈阴阴性性反反应应就就说说明明性性反反应应如如果果这这混混合合血血液液呈呈阴阴验验的的血血混混合合在在一一起起进进行行化化个个人人抽抽来来把把从从个个人人一一组组进进行行分分组组按按 kkkkkkk.,.,取取什什么么值值时时最最适适宜宜明明并并说说化化验验的的次次数数按按第第二二种种方方法法可可以以减减少少适适当当的的选选取取较较小小时时试试说说明明当当的的的的化化验验反反应应是是相相互互独独立立且且这这些些人人阳阳性性的的概概率率为为假假设设每每个个人人化化验验呈呈kkpp解解, p概率为概率为由于血液呈阳性反应的由于血液呈阳性反应的,1pq 概率为概率为所以血液呈阴性反应的所以血液呈阴性反应的,kqk应的概率为应的概率为个人的混合血呈阴性反个人的混合血呈阴性反因而因而.1kqk 应的概率为应的概率为个人的混合血呈阳性反个人的混合血呈阳性反,Xk数为数为组内每人的血化验的次组内每人的血化验的次个人为一组时个人为一组时设以设以且其分布律为且其分布律为为一随机变量为一随机变量则则,XXkpkkk11 kqkq 1的数学期望为的数学期望为X)1)(11(1)(kkqkqkXE .11kqk 为为个人平均需化验的次数个人平均需化验的次数N).11(kqNk 使使只要选择只要选择因此因此k, 111 kqk.NN 个人平均需化验的次数个人平均需化验的次数则则使得使得选取选取固定时固定时当当kp,kqLk11 ,1且取到最小值且取到最小值小于小于.方方法法此此时时可可得得到到最最好好的的分分组组其规律为其规律为独立独立且两者到站的时间相互且两者到站的时间相互的的但到站的时刻是随机但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站某车站每天某车站每天按规定按规定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客实例实例6).(以分计以分计设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为 X解解的分布律为的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义.d)()(. )(,d)(,d)(),( xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即即记为记为的数学期望的数学期望变量变量的值为随机的值为随机则称积分则称积分绝对收敛绝对收敛若积分若积分的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 ).(5 分钟分钟 因此因此, 顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.实例实例7 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间? . 0, 0, 0,e51)(5xxxfx1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有.)(CCE 证明证明.1)()(CCCEXE 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 证明证明kkkpCxCXE )().(XCE kkkpxC 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 则则.1553 二、数学期望的性质 kkkkkkpypx).()(YEXE 4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXYE 3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 证明证明kkkkpyxYXE )()(说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似机变量数学期望的性质类似. ),()(,.10,20旅客是否下车相互独立旅客是否下车相互独立并设各并设各下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以客下车就不停车客下车就不停车如到达一个车站没有旅如到达一个车站没有旅个车站可以下车个车站可以下车客有客有旅旅位旅客自机场开出位旅客自机场开出一机场班车载有一机场班车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则实例实例8,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望kxX kkpxXP 2101 1p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求求若若 解解的分布律的分布律先求先求2XY 2XY p4102p31pp 4p三、随机变量函数的数学期望设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有)()()(2XEXgEYE 42124)(10pppp 422212221)1(0pppp .)(41kkkxXPxg 因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk则有则有.)()(1 kkkpxgXgE2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望.d)()()(xxfxgXgE 若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f (x) , 则则3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxgYXgEyxgYX则则数数为二元函为二元函为离散型随机变量为离散型随机变量设设.),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为其中其中.dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则数数为二元函为二元函为连续型随机变量为连续型随机变量设设,),(,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求实例实例9 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律为的分布律为Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 ?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 实例实例10 解解,件件设生产设生产 x:的函数的函数是是则获利则获利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx 实例实例11 .,.,.)(求最佳的卖报份数求最佳的卖报份数再再进一步进一步试求其期望所得试求其期望所得份报份报报卖人买进报卖人买进若某日若某日偿偿卖不掉而退回则每份赔卖不掉而退回则每份赔可得报酬可得报酬如果每卖出一份报如果每卖出一份报的泊松分布的泊松分布服从参数为服从参数为卖报数卖报数设某卖报人每日的潜在设某卖报人每日的潜在卖报问题卖报问题nba 解解:,的关系如下的关系如下与与则则若记其真正卖报数为若记其真正卖报数为 , nnn 的分布为的分布为则则 niiknkinkkkP.,e!,e! :,的关系如下的关系如下与与则则记所得为记所得为 .,),()(nannnbag 因此期望所得为因此期望所得为)()( gEnM 利用软件包求解利用软件包求解,并演示计算结果并演示计算结果.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停 ESCESC键退出键退出四、小结1. 数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质).()()(,4);()()(3);()(2;)(1ooooYEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE 独立独立