判定平行四边形的五种方法.doc

.判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别A C 图2B C 图2C C 图2D C 图2O C 图2E C 图2F C 图2图1例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别图2ABCDEF例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.A图3CDEFB因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DFBE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFCBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DFBE，所以AFD=CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以ADFCBE，所以AD=BC，DAF=BCE，所以ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别ABCDEF图4132例4 如图4，在平行四边形ABCD中，DAB、BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AFEC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，DAB=BCD，所以AFEC.又因为1=DAB，2=BCD，所以1=2.因为ADBC，所以2=3，所以1=3，所以AECF.所以四边形AECF是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。AFBDCE图1一、 两组对边分别平行如图1，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，BD=AE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD=FE，BDEFEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：BCGDCE； (2)将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有ABDC，又通过旋转CE=AE已知CE=CG，所以EA=CG，这样就有BE=GD，可证EBGD是平行四边形。解：（1）ABCD是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE（2）DCE绕D顺时针旋转90得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四边形ABCD是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即BE=DG四边形DEBG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例3 如图3所示，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE，等边BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解：ABD和FBC都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA，BF=BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AEBD于E，BFAC于F，CGBD于G，DHAC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。证明：AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例5 将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。(1)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30+90=120，ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60，C=60，ABC=ADC，A=C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时，有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形=点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，ABCD，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置时，始终有ABC1D1，故ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AFCE.求证：四边形ACEF是平行四边形. 证明：DE是BC的垂直平分线，ABCDEF（图1）123DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC，AF = CE = AE ，2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图2，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB. 连结FC.ABCDEF求证：四边形AEFC是平行四边形. 证明：ABAC，B =ACB.ED = EB，B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中点，BD = CD.EDB =FDC，ED = DF，EDBFDC. DEB =F.ABCF.四边形AEFC是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等例3 如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F 分别是AB、CD上的点，AE = CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形. 证明：四边形ABCD是平行四边形，AD = BC，A =C .ABCDEFMN3321又AE = CF，ADECBF.1 =2，DE = BF .M、N分别是DE、BF的中点，EM = FN .DCAB，3 =2.1 =3. EM FN .四边形ENFM是平行四边形.E14二、考虑“对角”关系 ABCD3思路：证明两组对角分别相等2例4 如图4，在正方形ABCD中，点E、F（图4）F分别是AD、BC的中点.求证：（1）ABECDF；（2）四边形BFDE是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD中，AB = CD，AD = BC，A =C =90，AE =AD，CF =BC，AE = CF. ABECDF.（2）由（1）ABECDF知，1 =2，3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中，ABC =ADC，EBF =EDF. 四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5，在平行四边形ABCD中， P1、P2是对角线BD的三等分点.求证：四边形AP1CP2是平行四边形. ABCDOP1P2（图5）证明：连结AC交BD于O.四边形ABCD是平行四边形，OA = OC，OB = OD.BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 .四边形AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图1,ABCD,ADBC。1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。1.3两组对角分别相等，如图1,ABC=ADC,BAD=BCD。1.4一组对边平行且相等，如图1,ABCD,AB=CD。1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,ABCD,ABC=ADC。证明：ABCD ABC+BCD=180 又ABC=ADC ADCBCD180 ADBC 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行)2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, ABCD，OA=OC。证明：ABCD BAC=DCA 在AOB和COD中，BAC=DCA，OA=OC，AOB=COD AOBCOD(ASA) AB=CD 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图1,DAB+ABC=180,ABC+BCD=180。证明：DAB+ABC=180 ADBC 又ABC+BCD=180 ABCD 四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行）3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补，如图2,A+B=180, C+D=180,可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, A=D,B=C,可以画出等腰梯形。3.3一组对边平行且另一组对边相等，如图4,ADBC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图5：作ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,过点A、B、C作O1,以点C为圆心，以线段AB长为半径作C,以AC为弦作O1的等圆O2,交C于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边形，而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即AB=CE,ABC=AEC。3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6：作线段AB,过线段AB的中点O作直线CD,过点B作BECD,垂足为E,以点E为圆心，小于线段OE的长为半径作E,交CD于F、G两点，以点A为圆心，BF长为半径作A,交直线CD于H、I两点，则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB。 说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”例1 如图1，在ABC中，AD是角的平分线，DE/AC交AB于点E，EF/BC交AC于点F，试说明AE=CF 图1分析：由AD是角的平分线，可知1=2，由DE/AC，可知2=3，所以1=3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了解：因为1=2，2=3，所以1=3，所以AE=ED，又因为DE/AC，EF/BC，所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以ED=CF，所以AE=CF二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”例2 如图2，AE、CF分别是 ABCD 的内角DAB、BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形 图2解：在 ABCD 中，因为DAB=BCD，又因为1=DAB，2=BCD，所以，1=2，因为AB/CD，所以3=1，4=2，所以3=4，所以5=6，所以四边形AECF是平行四边形三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3 如图3，在ABCD中，AC、BD相交于O，EF过O分别交AD、BC于E、F，GH过O分别AB、CD交于G、H试说明四边形EGFH是平行四边形图3解：在ABCD中，因为AB/CD，所以1=2，因为OA=OC，3=4，所以AOGCOH，所以OG=OH，同理OE=OF，所以四边形EGFH是平行四边形构造平行四边形解题山东 邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决一、求线段的长例如图1，在正ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于 cmB D CPAMQ图1分析：作QD/AB，交BC于点D，连接PD，MD由ABC为正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四边形APDQ为平行四边形所以AMD是平行四边形APDQ的对角线所以AD=2AM=219=38（cm）由ABDCBP可得PC=AD所以PC=38cmE B CA D图2二、证明线段相等问题例2 如图2，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE求证：AE=AC分析：连接BD由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE因为AC=BD，所以AE=AC三、证明线段和差问题例3 如图3，ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE/BC，FG/BC，分别交AC于点E，G求证：DE+FG=BC分析：作GH/AB交BC于点H则四边形BHGF是平行四边形所以GH=BF=AD，FG=BH因为DE/BC，GH/AB，所以1=C，A=2所以ADEGHC所以DE=HC因为BH+CH =BC，所以DE+FG=BCB H CF G2D 1 EA图3EGOA DB F C图4四、证明线段倍分问题例4 如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF试说明：AB=2OF分析：连接BE易知四边形ABEC为平行四边形由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF，AO=OC，所以OF为CAB的中位线，从而得出AB=2OF五、证明两直线平行问题例5 如图5，ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D求证：AB/CD 分析：连接BD交AC于点O，连接BM，BN 由AE=BE，AM=MN可得ED/BN；由BF=CF，MN=NC可得BM/FD所以四边形BMDN是平行四边形所以OB=OD，OM=ON所以OA=OC由此可得出四边形ABCD是平行四边形所以AB/CDNHGFE2B D C1 MA3图6MEB F CA DNO图5六、证明两直线垂直问题例6如图6，分别以ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点求证：MABC分析：设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN，HN则四边形AHNF为平行四边形所以FN=AH=AC，AFN+FAH=180因为BAC+FAH=180，所以AFN=BAC因为AF=AB，所以AFNBAC所以1=2因为1+3=90，所以2+3=90，所以ADB=90从而得出MABC