一元二次方程根的分布.doc
.方程根的分布专题讲义一知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定1二次方程有且只有一个实根属于的充要条件若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能： （1） （2） （3） （4） 由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是 2二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形： （1） （2）（3） （4）由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是： 这里 3二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是： 这里4二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是： 二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是： 这里二例题选讲例设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程ff(x)=x也无实根例设，若，求实数的取值范围变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围例已知方程有两个负根，求的取值范围例求实数的范围，使关于的方程（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根，且满足（）至少有一个正根例 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.变式：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围例已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围变式：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.例已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用下面再举两个例子：例求函数y = (1<x<2)的值域例10已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围三巩固练习1已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围2已知方程在上有两个根，求的取值范围3已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围4已知二次方程的两个根都属于（1，1），求的取值范围5若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围6二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0, 其中m>0,求证(1) pf()<0;(2) 方程f(x)=0在(0，1)内恒有解。参考答案例分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。例证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0 若a0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x对任意实数x恒成立。 对f(x)，有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 若a0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 y0，即f(x)-x0恒成立 对任意实数x，f(x) 0恒成立 对实数f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x)=x也无实根例分析：观察到方程有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决解：因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得变式：解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 - <m< .例解：依题意有例解：设（） 依题意有，即，得（） 依题意有解得：（）方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得，即有一个正根，一个负根，此时可得，得有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得例解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 ，实数m的范围是.(2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - <m1-, 实数m的范围是.变式：解：设f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 - <m或m<.故a的取值范围是 (- , , )例解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 （1）即为，它的解集是（2）即为，它的解集是（3）的解集是所以，的取值范围是解二：二次方程有两个根的充要条件是设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为： 即 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： 以下同解法一（略）解三：令，原方程转化为，即 （*）因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 同样可求出的取值范围（略）变式：解：f(0)=1>0(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m>0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m0.例解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解或。例解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，关于的方程在(1,2)上有实根易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y-5-2. 原函数的值域为 (-, -5-2.例10解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由题意，方程在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当f(0)f(1)<0或 m<0或 m3-2且m0故m的取值范围为 (-, 0)(0, 3-2.巩固练习1解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，即 m< - 或m> ， m的取值范围为 (-,- )( , +).2解：令，当时，由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范围为3解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)f(2)<0 (5m+3)(m-2)<0 - <m<2.综上得：m的取值范围是(- , - )(- , 2)4令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 0，即m 1f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 m的取值范围为5解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 解得 - a<-1.a的取值范围是 - , -1)6证明 (1),由于f(x)是二次函数，故p0, 又m>0, 所以，pf()0(2)由题意，得f(0)=r, f(1)=p+q+r，当p>0时，由(1）知f()0，若r>0,则f(0)>0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)内有解;若r0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)()+r=>0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)内有解当p0时同理可证故方程f(x)=0在(0，1)内恒有解
