定积分在生活中的应用.doc
.- PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏 定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数在区间上有界.在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间且各个小区间的长度依次为， ，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），作出和 。记作极限如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即=, 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。2定积分的性质设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且性质1 =;性质2 =+=-.性质3 定积分对于积分区间的可加性设在区间上可积，且，和都是区间内的点，则不论，和的相对位置如何，都有=+。性质 4 如果在区间上1，则=。性质 5 如果在区间上,则。性质 6 如果在上,则性质 7（定积分中值定理）如果在上连续，则在上至少存一点使得 3定理定理1 微积分基本定理如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 =.定理 2 原函数存在定理如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则 = 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二 、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数和满足条件，求曲线，及直线所围成的平面图形的面积（如图1）解法步骤： 第一步：在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是第二步：在区间上将无限求和，得到.图2 （2）上面所诉方法是以为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形（图2）的面积为：例1 求由曲线，及直线，所围成图形的面积A解 （1）作出图形，如图所示 易知，在上，曲线与的交点为；（2）取为积分变量，积分区间为从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；（3）区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为， ，所以，所求图形的面积为=+例2 求椭圆的面积.解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 利用椭圆的参数方程 应用定积分的换元法,且当时,时,于是2求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块，每一块的厚度为，假设每一个基本的小块横切面积为，为上连续函数，则此小块的体积大约是，将所有的小块加起来，令，我们可以得到其体积： 。例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间,+的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为 =, 于是，体积 =1616=12.3.求曲线的弧长（1）设曲线在上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，即.得弧长微元为：,再对其积分，则曲线的弧长为：（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为：即则曲线的弧长为 例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度解 由公式 = （ ）知,弧长为=.(2)求摆线 在上的一段弧的长度（）解 取为积分变量，积分区间为由摆线的参数方程，得， 于是，由公式（16-13），在上的一段弧的长度为 2、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量的变动区间上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间上的定积分： （1） （2） （3）例1 已知某商品边际收入为（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量从250t增加到300t时销售收入，总成本C，利润的改变量（增量）。解 首先求边际利润所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：=150万元=250万元=100万元（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为，则称 为该经济函数在时间间隔内的平均变化率。例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间（单位：年）的函数：求它在开始2年，即时间间隔0，2内的平均利息率。解 由于所以开始2年的平均利息率为 例3 某公司运行（年）所获利润为（元）利润的年变化率为（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3，8内年平均变化率解 由于所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在（年）时的收入为（万元），年利率为，即贴现率是，则应用定积分计算，该项目在时间区间上总贴现值的增量为。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为（万元）年利率为，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解 这里，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为 令 =1000，即得该工程回收期为 =6.39（年）3、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即 例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示求汽车在这1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.
