初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第10讲：直线与圆、圆与圆的位置关系(1).pdf

1 / 14 直线与圆、 圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容 重点是理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系， 掌握它们数量表达，并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系难点是直线与圆、圆与圆位置关系在实际中的应用，及分类讨论的思想 1、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：相离相离、相切相切、相交相交 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离相离； 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切相切；这时直线叫做圆的切线切线，唯一的公共点叫做切点切点； 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交相交；这时直线叫做圆的割线割线 2、 数量关系描述直线与圆的位置关系数量关系描述直线与圆的位置关系 如果O的半径长为 R，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： 直线 l 与O相交0dR； 直线 l 与O相切dR； 直线 l 与O相离dR 3、 切线切线的判定定理的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 直线与圆、 圆与圆的位置关系 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：直线与圆的位置关系 知识知识精讲精讲 2 / 14 O P 【例1】 在ABC中，90C，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r = 2 cm； （2）r = 2.4 cm； （3）r = 3 cm 【例2】 经过O上一点 P 作O的切线 【例3】 已知，O的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与O的位置关系是_ 【例4】 直线 l 与半径为 r 的O相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是_ 【例5】 如图， 在射线 OA 上取一点 A， 使 OA = 4 cm， 以 A 为圆心， 作一个直径为 4 cm的圆问射线 OB 与 OA 所夹锐角取怎样的值时，OB 与O相离、相切、相交？ 【例6】 等腰ABC，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为_ 【例7】 在ABC中，90C，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，则 R 的取值范围是_ 例题解析例题解析 A O B 3 / 14 A B O P x y O A B C D A B O D 【例8】 如图，已知O是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，45AOB，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点，设 P 的横坐标为 x，则 x 的取值范围是（ ） A02x B22x C11x D2x 【例9】 在ABC中，4AB ，2 2AC ，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC相切，则BAC的度数为_ 【例10】 如图，AB 是O的弦，C 是O外一点，OC 交 AB 于点 D，若OAOC， CD = CB 求证：CB 是O的切线 【例11】 已知：如图，O的半径为 6 cm，ODAB，垂足为点 D，AODB ，AD = 12 cm，BD = 3 cm 求证：AB 是O的切线 4 / 14 A B C D O A B C (O) O A B C A B C D O 【例12】 如图，在ABC中，90C，AC = 5，BC = 12，O的半径为 3 （1）当圆心 O 与 C 重合时，O与 AB 的位置关系怎样？ （2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时，O与 AB 相切； （3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时，O与 AB 有公共点 【例13】 如图，AB 是O的直径，BC 是O的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD 求证：DC 是O的切线 【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD / CB，90D，且 AD + BC = AB，AB为O的直径 求证：O与 CD 相切 5 / 14 图 5 图 4 图 3 图 2 图 1 1、 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离外离 外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切外切这个唯一的公共点叫做切点切点 相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交相交 内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内内切切这个唯一的公共点叫做切点切点 内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含内含当两个圆心重合时，称它们为同心圆同心圆 综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相相切切 2、 相关概念相关概念 圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距圆心距 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线连心线 模块二：圆与圆的位置关系 知识知识精讲精讲 6 / 14 3、 两圆位置关系的数量表达两圆位置关系的数量表达 如果两圆的半径长分别为1R和2R， 圆心距为 d， 那么两圆的位置关系可用1R、2R和d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离12dRR； 两圆外切12dRR； 两圆相交1212RRdRR； 两圆内切120dRR； 两圆内含120dRR 4、 相关相关定理定理 （1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定定理理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 （2）如果两圆相切，可归纳出以下定理定理：相切两圆的连心线经过切点 【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系 （2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？ 【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（ ） A相离 B外切 C相交 D内切或内含 【例17】 两圆的圆心坐标分别为（3，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是_ 【例18】 设 R、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足22220RrRdd，那么这两个圆的位置关系是（ ） A外离 B相切 C相交 D内含 例题解析例题解析 7 / 14 A B C A B A B C D 【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（ ） A平行 B相交于一点 C平行或交于一点 D有两条弦平行，第三条与它们相交 【例20】 如图，已知A、B和C两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径 【例21】 已知1O与2O相交于 A、B 两点，1O与2O的半径分别为 2 和2，公共弦长为 2，则12O AO_ 【例22】 如图， 两圆轮叠靠在墙边， 已知两轮半径分别为 4 和 1， 则它们与墙的切点 A、B 间的距离为_ 【例23】 如图，以2O为圆心的两个同心圆和1O分别交于 A、B、C、D 四点 求证：四边形 ABCD 为等腰梯形 8 / 14 A B C D A B C D O P Q 【例24】 如图，1O、2O外切与点 A，过点 A 的直线分别交1O和2O于点 P、C 求证：112:PA PCO A OO 【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长 【例26】 如图，矩形 ABCD，AB = 5，BC = 12分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围 【例27】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆内切于点 P正方形ABCD 的顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q，求 AB的长 A P C 9 / 14 【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆1O、2O、3O两两外切，切点分别为 A、B、C，求1O A的长（用含 a 的代数式表示） ； （2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度nh和 hn（用含n 和 a 的代数式表示） ； （3） 应用： 现有长方体集装箱， 其内空长为 5 米， 宽为 3.1 米， 高为 3.1 米 用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0.1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（31.73） 图 2 图 3 1 层 2 层 3 层 n 层 1 层 2 层 3 层 n 层 h1 h2 h3 hn 图 1 A B C 10 / 14 A B C D E F C D E F O P Q 【例29】 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sinEAB的值 【例30】 如图，O经过O的圆心，E、F 是两圆的交点，直线OO交于点 Q、D，交O于点 P，交 EF 于点 C，且 EF =2 15，1sin4P （1）求证：PE 是O的切线； （2）求O和O的半径的长 11 / 14 A B O P 【习题1】 已知O的直径为 10 厘米，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10 厘米，则这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相离 【习题2】 已知在ABC中，90ABC，AB = 4，BC = 3，以 A 为圆心，以 r 为半径的圆与 BC 有公共点，则 r 的取值范围是_ 【习题3】 已知1O和2O的半径分别是 5 厘米和 7 厘米，圆心距12OO是 2 厘米，则这两个圆的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 【习题4】 已知两圆的半径之比为 3 : 5，两圆内切时，圆心距为 6，则两圆的半径分别是_，这两圆外切是，圆心距为_ 【习题5】 已知点 A 和点 B 都在 x 轴上，分别以点 A 和点 B 为圆心的两圆相交于点M（3ab，5） 、N（9，23ab） ，则ba的值为_ 【习题6】 如图，O的半径为3厘米， B为O外一点， OB交O于点A， AB = OA，动点 P 从点 A 出发，以厘米/秒的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止当点 P 运动的时间为_秒时，BP 与O相切 【习题7】 在直角坐标系中，A与B只有一个公共点，A和B的半径分别为 2和 6，点 A 的坐标为（2，1） ，点 B 为 x 轴上一点，求点 B 的坐标 随堂检测随堂检测 12 / 14 A B C 【习题8】 如图，等边ABC的边长为 10，以 AB 为直径作1O，点2O在 BC 边上，且22CO ， 以2O为圆心，2O C为半径作2O， 请判断1O与2O的位置关系，并证明你的结论 【习题9】 如图，1O和1O相交于 A、 B 两点，13 5O A，25O A，13cos5AO B 求：2sinBAO的值 【习题10】 如图， 三个半圆的半径均为 R， 它们的圆心1C、2C、3C在同一条直线上，且每一圆心都在另一半圆的圆周上4C与这三个半圆均相切，用 r 表示4C的半径，求 R : r A B 13 / 14 【作业1】 O的半径为 R，直线 l 和O有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d，则 d 与 R 大小关系是（ ） AdR BdR CdR DdR 【作业2】 已知圆的直径是 13 厘米，圆心到直线 l 的距离为 6 厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是_个 【作业3】 （1）有两个圆，一个圆的半径 R = 4，两圆的圆心距是 5，另一个圆的半径 r 满足什么条件时这两个圆外离？ （2）两个圆的圆心距为 2 厘米，一个圆的半径为 10 厘米，要使这两个圆内含，另一个圆的半径应满足什么条件？ （3）已知两个圆内切，圆心距是 2 厘米，如果一个圆的半径是 3 厘米，那么另一圆的半径是多少？ 【作业4】 O的半径为 6，O的一条弦 AB 长6 3，以 3 为半径的同心圆与直线AB 的关系是_ 【作业5】 若线段 PQ 与O只有一个公共点，那么这条线段的两个端点 P、Q 只能是（ ） A至少有一点在圆外 B至多有一点在圆内 CP、Q 两点中一定有一点在O外 D一点在O的内部，另一点在O的外部；或 PQ 是O的切线，P、Q 之一为切点 【作业6】 在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，ABAD，10 3AB ，AD、BC 的长是方程220750 xx的两根，那么以点 D 为圆心、AD 为半径的圆与以点 C为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是_ 【作业7】 已知1O和2O相交于 A、B 两点，AB = 24，1225OO ，1O的半径为20，求2O的半径 课后作业课后作业 14 / 14 A B C D O P A B C D P A B C D O N M 【作业8】 如图， 在矩形 ABCD 中， AB = 3， BC = 4， P 是边 AD 上一点 （除端点外） ，过三点 A、B、P 作O （1）指出圆心 O 的位置； （2）当 AP = 3 时，判断 CD 与O的位置关系； （3）当 CD 与O相切时，求 BC 被O截得的弦长 【作业9】 如图， 在直角梯形 ABCD 中， AD / BC，ABBC， AB = AD = 2，2 2DC ，点 P 在边 BC 上运动，若以点 D 为圆心、1 为半径作D，以 P 为圆心、PC 长为半径作P，当D与P相切时，求 CP 的长 【作业10】 如图， 扇形 OAB 的弦 AB = 18， 半径为 6 的C恰与 OA、 OB 和AB相切，D又与C、OA、OB 相切，求D的半径