中考整理初中考点重点 数学学科 题型五类型二.doc

（ ） 题背景 问 如图， 中， ° ， ， 的平分线交直线 于 ， 点 作 ， 直 过 交 线 于 请探究线段 与 的 数 量 关 系 （ 实上， 们可 以 延 长 与 直 线 相 交， 过 事我通三角形的全等等知识解决问题 ）结论： 段 与 的 数 量 关 系 是 （ 线请 直接写出结论） ；第 题图 （ ） 比探索 类 在（ ） ， 果把 改为 的外角 的 中 如 平分线， 他条件 均 不 变 （ 图 ） （ ） 的 结 论 其如， 中 请若请说明理由； 还成立吗？若成立， 写出证明过程； 不成立， （ ） 展延伸 拓 在（ ） ， 果 ¹ ， （ ， 中 如 且 ）其他条件 均 不 变 （ 图 ） 请 你 直 接 写 出 与 如， 的数量关系 结论： （ 含 的代数式表示） 用 （ 烟台改编） 问题发现 ' （） 在正方形 中， 点 分别从 、 两点同 动 、时出发， 相同的速度在直线 、 上移动 以 如图， 点 自 向 点 自 向 移动时， 当，连接 和 交于点 （ "" ， 填 或" " ； ¹） （ ） 展探究 拓 如图， 分别在边 、 的延长线上移动 当、 连 （） 明理由； 时， 接 和 ， 中 的 结 论 还 成 立 吗？ 请 说 （ ） 决问题 解 如图， 分别在边 、 上移动时， 接 当、 连 和 交于点 由于点 的移动， 得点 、使请若 试求出线段 的最小值 也 随 之 运 动 ， 你 画 出 点 运 动 路 径 的 草 图 ， 第 题图 （ 山西 分） 题学习： 方形折纸中的数学 ' 课 正动手操作： 图 ， 边 形 是 一 张 正 方 形 纸 如四 片， 将 正 方 形 对 折， 与 重 合， 先 使 折痕为 ， 这 个 正 方 形 展 平， 后 沿 直 线 折 把 然叠， 点落在 上， 应点为 使对 数学思考： 求 的度数； （） （ ）如 图 ， 图 的 基 础 上， 接 试 判 断 在连， 并解决问题： 与 的大小关系， 说明理由 （ ） 图， 以下步骤进行操作： 如 按第一步： 将 正 方 形 对 折， 与 重 先 使 合， 痕为 ， 这个正方形展平， 后继续对折， 折把 然使 与 重合， 痕为 ， 把这个正方形展 折再平， 和 相交于点 ； 设 第二步： 直线 折叠， 点落在 上， 应 沿使对 点为 ； 沿直线 折叠， 点落在 上， 再 使 对 应点为 ；第三步： ，分别与 相交于点 ， 接 设 ，连 ， ， ， 并第 题图 试判断四边形 的形状， 证明你的结论 （ 漳州 分） 读材料： 图， 中， ' 阅如在° ， 在 边上， 于 ， 点 点 于点 则 此结论不 ， ， （ 必证明， 直接应用） 可（ ） 解与应用 理 如图， 方形 的边长为 对角线 、 正 ， 相交于点 ， 在 边上， 于点 点 ， ， 于点 则 的值为； （ ） 比与推理 类 第 题图 如图， 形 的对角线 、 相交于点 ， 矩 点 在 边上， 交 于 ， ， 点 交 于点 求 的值； ， ， （ ） 展与延伸 拓 如图， 的半径为 是上的四 ，、 、 、 点， 点 的切线 ， 相交于点 ， 在 过， 点弦 上， 交 于点 交 于 ， 点 当 ° ， 是否为定 ，时 值？若是， 求出这个定值： 不是， 说明理由 请若请 （ 河 南 ） 图 ， 两 个 完 全 相 同 的 三 角 形 纸 ' 如将其， ° 片 和 重合放置， 中 ° 第 题图 （ ） 作发现 操 如图， 定 使 绕点 旋转 点 固， 当恰好落在 边上时， 空： 填线段 与 的位置关系是； 设 的面积为 ， 的面积为 ， 则 与 的数量关系是 （ ） 想论证 猜 当 绕点 旋转到图所示的位置时， 明猜 小想（） 与 的数量关系仍然成立， 尝试分别 中 并作出了 和中 、边上的高， 你证 请明小明的猜想 第 题图 （ ） 展探究 拓 已知°点 是其角平分线上一点， ， ， 交 于点 （ 图） 若在射线 如 上存在点 使 ， 直接写出相应 的 的长 ， 请獉獉獉獉 （ 盐城 分 ） 问 题 情 境 】 老 师 给 爱 好 学 习 ' 【张的小 军 和 小 俊 提 出 这 样 一 个 问 题：如 图 ，在 中， ， 为边 上的任一点， 点 过点 作 ， ， 足分别为 ， 点 垂 过 作 ， 足为 求证： 垂 ， 第 题图 小军的证明思路是： 图， 接 ， 与 如连由 面积之和等于的面积可以证得： 小俊的证明思路是： 图， 点 作 ， 如过 垂 足为 可以证得： ， ， ， 则 【 式探究】 图， 点 在 延长线上时， 变如当其余条件不变， 证： ； 求 请运用上述解答 中 所 积 累 的 经 验 和 方 法 完 成 下 列 两题： 【 论运用】 图 ， 矩 形 沿 折 叠， 结如将 使点 落在点 上、 落在点 处， 为折痕 点点 上的任一点， 点 作 ， ， 足 过 垂 分别为 ， 求 的值； 、 若 ， ， 【 移拓展】 是 一 个 航 模 的 截 面 示 意 图 四 迁图在边形 中， 为 边上的一点， ， ， 足分别为 且 · · ， 垂 、， 槡 ， ， 槡 ， 、 分别为 连 求 的周长之和 、 的中点， 接 、 ， 与 第 题图 试题演练 【 路分析】 延长 、 交于 点， 证明 是等腰三角 思 （） 先形， 根 据等腰 三角形 的性质 可得 然后 证 明 再 ， 可得 ， 而证出 （ ） 长 、 交于点 进 ； 延 先利用 证明 得出 ， 再 ， ， 则 ， 证明 根据相似三角形对应边的比相等及 ， 即可得出 （ ） （ ） 延长 、交于点 先利用 ； 同 ， ， 证明 得 出 ，则 再 证 明 ， ， 根据相似三角形对应边的比相等及 即可 ， 得出 解： （） 【 法提示】 由如下： 解理如解图， 长 、 交于 点 延 ， 直线 于 交 ， ° ， ， ， 平分 ， ， 第 题解图 ， ， 中， ， ° ， ° ， （°° ÷°° ） ， ， ° ， 在 和 中， ， ， （ ） ， ； （ ） 论 仍然成立 由如下： 结 理如解图， 长 、交于点 延 ， ，又 ， ° ， ） （ ， ， ° ， ，第 题解图 又 ° ， ， ， ， ； （） 【 法提示】 由如下： 解理如解图， 长 、交于点 延 ， ，又 ， ° ， ） （ ， ， 第 题解图 ° ， ，又 ° ， ， ， ， 故答案为 解： ； （） 【 法提示】 四边形 是正方形， 解 ， ° ， ， （ ） ； （ ） 立； 由如下： 和 中， 成 理在 ， ， （ ） ； （ ） 解图， 于点 在运动中保持 ° 如 由， 点 在运动中保持一段以 为直径的弧 设 的中点为 ， 接 交弧于点 此时 连，的长度最小 中， 槡 在 槡 槡， 【 路分 析】（ ） 是 的一 个内 第 题解图 槡 思 角， 以想到由直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 借 助 锐 角 所三角 函 数 值 求 出 的 度 数 由 等 边 三 角 形 、 方 形 的 性 质 ， （） 正求出 的度数， 根据等腰三角形及直角三角形两锐角互余 再的性质求得 的度数； 据折叠及平行线的性质求出 根 即 可 观 察 图 形 ， 据 正 方 形 的 性 质 可 知 四 边 形 的 角 平 （） 根 分线 ， 是猜想四边形可能是菱形或正方形， 是本题要 于 于探究的是 和 、 和 的关系， 对角线互相 ， 和 若平分则是菱形， 平 分 且 相 等 则 是 正 方 形 四 边 形 为 正 若即 方形 （ ） ： 解图， 对折可知， 解 如 由， 2 ° 2222222222222 （ 分） 四边形 为正方形， 又由折叠可知， 22222222 （ 分） 第 题解图 在 中， °222222222222222222 （ 分） 【 题多解】 折叠的轴对称性， 方 形 的 性 质 易 得 出 是 等 一由正 边三角形， 而求出 的度数 进 如解图， 接 ， 对折知， 垂直平分 ， 折 连由 由 叠知， 四边形 为正方形， 为等边三角形222222 （ 分） ° ， ×°° 2222222 （ 分） （ ） ： 22222222222222 （ 分） 解 如解图， 接 ， （ ） 连 同 中 为等边三角形，22222 （ 分） ° 四边形 为正方形， ° ° （° ） ° 第 题解图 °°° 22222 （ 分） 由（ ） ° 知 ， ， ° ×°° 由折叠知， 2222222222222222 （ 分） 【 题多解】由 图 形 的 轴 对 称 性 分 别 把 和 转 化 为 一 和 然 后 再 利 用 等 角 的 余 角 相 等 求 出 ， 如解图， 接 交 于点 由对折知，垂直平分 ， 连， 2222222222 （ 分） 四边形 为正方形， ° °由折叠知， ° ， ° 222222 （ 分） 又由折叠知 222 （ 分） （ ） 明： 解 图 ， 折 叠 和 正 方 形 证 如由 得， ° 由（） ： ， 知 ° ° 由对折知， ° ° ， 由折叠知， ， 22 2222222222222 （ 分） 第 题解图 由对折知， ° ， ， ， 22 （ 分） 同理可得， ， 对称性可知， 由 由两次对折可知， ， 四边形 为矩形222 （分） 由对折知， 于点 ， 点 于 四边形 为正方形222222222222 （分） 【 题多解】 得 一由 如解图， 接 由（ ） ， ， 连， 知 由折叠知， ， 由对折知， ° ， ， 又四边形 是正方形 2222222222222222222 （ 分） 以下同证法一222222222222222222 （分） 【 点突破】 题突破口在于 和 垂直关系， 有对角线垂 难本的 具直性 质 的 四 边 形 只 有 正 方 形 和 菱 形 ， 要 判 定 是 菱 形 还 需 对 角 线 互 而相平分， 判定是正方形 则 要 说 明 对 角 线 平 分 且 相 等， 以 本 题 实 要所际探究的是几条线段的长度关系 【 路分析】 根据正方形的性质证明在 中， ° 思 （） ， 后利用勾股定理， 接应用上面的结论 ； 然 直 （ ） 据矩形的性质可证明在 中， 用两组对边分 根 利 别平行可证明四边形 为平行四边形， 证明 ， 再 结合勾股定理可求出 的长后可得解； 连接 、 、 （） 、 利用切线的性质及同圆的半径相等和 ° 证明 可 为等边三角形再证明 得到比例式 ， ， ， 将两式相加可以得解 再 同理 解： 槡 ； 22222222222222222222 （ 分） （ ） 【 法提示】 正方形 的边长为 解 ， 槡 槡 槡 槡 正方形 ， 在 中， ° ， 点 在 边上， 于点 于点 ， ，直接运用上面的结论 槡 ； （ ） 矩形 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， ， ， 在 中， ° ， ， ， ， × 22222222222 （ 分） ； （ ） 如解图， 接 、 、 连 、 ， 为切线， 是半径， ° ， ° ° ， ， ， 为等边三角形， ， 同理 ， ， ， ， ， ， ， 第 题解图 ， 22222222222222 （分） ， 222222222222222222 （分） 【 路分析】 如解 图 、 ， °° 思 （） ， ， °固定 使 绕点 旋转， 点 恰好落在 ， ， 当 边上时， ， 中， °则 是等边 则 在 ， 三角形， °又 °则 ； ° ， ， ， ° °则 ° ， ， ， ， ° 则 是 的角平分线， 此 平分 ， 因 ， 的面积为 ， ， 是 中点， 的 则 点 面积为 ， ， 以 ； 则 所第 题解图 （ ） 据题意， 过 证 明 三 角 形 全 等， 而 得 出 阴 影 部 分 两 个 三 角 根 通从形等底等高， 而得出面积相等 的 结 论； 结 合 角 平 分 线 性 质、 进（） 等腰三角形性质， 过引辅助线， 造平行线得出的相似三角形， 用 通构运相似三角形对应边比值的关系， 合特殊锐角的三角函数知识求解 结解： ， ； （） （ ） 解图， 如 第 题解图 根据已知 °作 交 延长线于点 ， ， 则 °而 ° ， ， ° ， ， 于点 ， 则 ° ， 在 和 中， ， 则 ， ， （ ） 而 ， 和 等底等高， 以 和 面积 所相等， 的数量关系仍然成立 则 （ ） 长度是 槡 或槡 第 题解图 【 法提示】 解图、 ， 点 为端点， 长为半径在 上截 解如以 取 ， 于点 则可以证明 和 全等， 交 ， ， 又 ， 则 ， 在 和 中， ， （ ） ， ， 过点 引 交 于 ， 长 交 于点 以 为圆 延 ，心， 为半径画弧， 于 ， 接 、 ， 、 ， 交 连 如解图所示，是的角平分线， 交 于 ， 点 则 ° ， ° ° ， × × ， ， 槡 槡 ， ° 是等边三角形， ， ， 分别是线段 的三等分点 点 、 由于 ， 以 所 ， ， ×槡 故 ， 槡， 又由 ， 推 ×槡 易 ， 槡 ； 槡 槡 ，根据所作 槡槡 ， 槡 槡 ， 槡综合以上论述， 足题意的 长度是槡 或者是槡 满 解： 问题情境】 明： 接 ， 解图 【 证连如 ， ， ，且 ， · · · ， 222222222 （ 分） 【 题多解】 点 作 ， 足为 如解图 一过 垂 ， ， ， ， 第 题解图 °四边形 是矩形， ， ， ° ° ， ° ， ， ° ， ， ， ， 在 和 中， ， （ ） ， 【 式探究】 明： 接 ， 解图 变证连如 ， ， ， ， 且 · · · ，2222222 （ 分） ， 22222222222222222 （ 分） 【 题多解】 点 作 ， 足为 一过 垂 ，如解图 ， ， ， ° ，