初中数学九年级寒假班第2讲：方程与不等式（组）-学生版.docx

中考复习方程与不等式(组)知识结构模块一：整式方程知识精讲一、等式及其性质1、 如果，那么2、如果，那么；如果()，那么二、方程及相关概念1、未知数：用字母x、y等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数2、方程：含有未知数的等式叫做方程3、元：在方程中，所含的未知数又称为元4、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程5、项：在方程中，被“+”、“”号隔开的每一部分(包括这部分前面的“+”、“”号在内)称为一项；如在方程和中，x、2.5、都是方程中的一项6、系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，的系数为7、次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x、的次数都是18、常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，9、方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解三、 一元一次方程1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程3、解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化成()的形式；(5)两边同除以未知数的系数，得到方程的解4、含有字母系数的一元一次方程的解法：(1)含有字母系数的一元一次方程：在方程()中，x是未知数，a、b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数，我们称它为含有字母系数的一元一次方程(2)解法：(a、b)当方程的解是；当，方程的解为任意数；当，时，无解四、 二元一次方程1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集五、 二元一次方程组1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法4、加减消元法：通过两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法六、 三元一次方程组1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组2、解三元一次方程组的思想：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 消元 消元七、 一元二次方程1、式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程2、二次方程的一般形式是()其中叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数3、二次方程的常用解法(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法4、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程()的根的判别式为(1)一元二次方程()有两个不相等实数根，即(2)一元二次方程()有两个相等实数根，即(3)一元二次方程()无实数根八、 二元二次方程(组)1、二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程2、二元二次方程组：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组3、二元二次方程组的解法：代入消元法、加减消元法例题解析【例1】 (2014学年·奉贤区二模·第2题)二元一次方程的解的个数是( )A1个B2个C3个D无数个【例2】 (2015学年·闸北区二模·第4题)方程组的解是( )ABCD【例3】 (2015学年·虹口区二模·第10题)试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是_(写出一个符合条件的即可)【例4】 (2015学年·黄浦区二模·第12题)如果关于x的方程有一个解是，那么k =_【例5】 (2014学年·普陀区二模·第10题)一元二次方程根的判别式的值是_【例6】 (2015学年·金山区二模·第3题)如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m等于( )A4或0BC4D【例7】 (2015学年·松江区二模·第10题)关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_【例8】 (2015学年·闸北区二模·第3题)下列方程中，没有实数根的方程是( )ABCD【例9】 (2015学年·闸北区二模·第14题)某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元若设这个相同的增长率为x，那么可列出的方程是_【例10】 (2015学年·徐汇区二模·第20题)解方程组：【例11】 (2015学年·松江区二模·第20题)解方程组：【例12】 (2015学年·普陀区二模·第20题)解方程组：【例13】 (2015学年·静安区二模·第22题)某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵(1)问：甲、乙两种树木各有几棵？(2)如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保同时完成各自的任务？【例14】 (2014学年·松江区二模·第21题)某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？模块二：分式方程与无理方程知识精讲一、 分式方程1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程2、分式方程的解法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解3、增根：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根4、解分式方程的一般步骤：(1)方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程，求出整式方程的根；(3)检验有两种方法：将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解6、易错知识辨析：(1)去分母时，不要漏乘没有分母的项；(2)解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根(3)如何由增根求参数的值：将原方程化为整式方程；将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值7、分式方程组：由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组二、 无理方程1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、无理方程的解法：通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解3、解无理方程的一般步骤：(1)方程两边平方，化成整式方程；(2)解这个整式方程，求出整式方程的根；(3)检验：直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解例题解析【例15】 (2015学年·松江区二模·第14题)用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是_【例16】 (2014学年·闵行区二模·第3题)下列方程中，有实数根的方程是( )ABCD【例17】 (2014学年·金山区二模·第12题)方程的解是_【例18】 (1)(2015学年·徐汇区二模·第9题)方程的解是_(2)(2015学年·金山区二模·第9题)方程的根是_【例19】 (2015学年·徐汇区二模·第12题)建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务，如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是_【例20】 (2014学年·闵行区二模·第16题)某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为_【例21】 (2015学年·奉贤区二模·第20题)解方程：【例22】 (2014学年·杨浦区二模·第20题)解方程：【例23】 (2015学年·虹口区二模·第22题)社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三(1)班全体同学制作完成但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？【例24】 (2015学年·普陀区二模·第22题)自2004年5月1日起施行的中华人民共和国道路交通安全法实施条例中规定：超速行驶属违法行为为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时(即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时)以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路时的对话片断王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊”李师傅超速违法吗？为什么？模块三：一元一次不等式(组)知识精讲一、 不等式1、不等式的概念：用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式，叫做不等式2、不等式的性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变即：如果a>b，那么a + m>b + m；如果a<b，那么a + m <b + m3、不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变即：已知m> 0，如果a>b，那么am>bm(或)；如果a<b，那么am <bm(或)4、不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变即：已知m< 0，如果a>b，那么am<bm(或)；如果a<b，那么am >bm(或)二、 一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化成(或等)的形式(其中)；(5)两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集三、 一元一次不等式组1、 一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组 4、解一元一次不等式组的一般步骤：(1)求出不等式组中各个不等式的解集；(2)在数轴上表示各个不等式的解集；(3)确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集例题解析【例25】 (1)(2015学年·徐汇区二模·第1题)不等式组的解集是( )ABCD空集(2)(2015学年·奉贤区二模·第11题)不等式组的解集是_00【例26】 (2015学年·虹口区二模·第3题)不等式的解集在数轴上表示正确的是( )AB00CD【例27】 (2015学年·静安区二模·第2题)如果，那么下列不等式中一定成立的是( )ABCD【例28】 (2015学年·崇明县二模·第2题)下列说法不一定成立的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【例29】 (2014学年·崇明县二模·第3题)从下列不等式中选择一个与组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为，那么可以选择的不等式可以是( )ABCD【例30】 (2015学年·杨浦区二模·第20题)解不等式组：，并写出它的所有非负整数解随堂检测【习题1】 (2014学年·杨浦区二模·第1题)如果是方程的根，那么a的值是( )A0B2CD【习题2】 (2015学年·松江区二模·第11题)不等式组的解集为_【习题3】 (2015学年·浦东新区二模·第2题)已知一元二次方程，下列判断正确的是( )A该方程无实数解B该方程有两个相等的实数解C该方程有两个不相等的实数解D该方程解的情况不确定【习题4】 (2015学年·杨浦区二模·第9题)如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数m的值是_【习题5】 (2015学年·杨浦区二模·第2题)下列关于的方程一定有实数解的是( )ABCD【习题6】 (2015学年·静安区二模·第9题)方程的根是_【习题7】 (2014学年·浦东新区二模·第10题)已知分式方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_【习题8】 (2014学年·徐汇区二模·第13题)某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？若原计划每天销售x台则可得方程_【习题9】 (2014学年·浦东新区二模·第20题)解不等式组：，并写出它的非负整数解【习题10】 (2015学年·闸北区二模·第20题)解方程：【习题11】 (2015学年·闵行区二模·第20题)解方程：【习题12】 (2015学年·黄浦区二模·第20题)解方程：【习题13】 (2014学年·徐汇区二模·第20题)解方程组：【习题14】 (2014学年·浦东区二模·第22题)小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度课后作业【作业1】 (2015学年·闸北区二模·第9题)不等式组的解集是_【作业2】 (2014学年·闸北区二模·第3题)下列方程中，有实数根的是( )ABCD【作业3】 (2015学年·静安区二模·第11题)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是_【作业4】 (2015学年·闵行区二模·第11题)已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是_【作业5】 (2015学年·黄浦区二模·第10题)方程的根是_【作业6】 (2014学年·闸北区二模·第11题)方程的解是_【作业7】 (2015学年·松江区二模·第17题)某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是_【作业8】 (2014学年·松江区二模·第12题)用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为_【作业9】 (2014学年·静安区、青浦区二模·第20题)求不等式组的整数解【作业10】 (2015学年·浦东新区二模·第20题)解方程：【作业11】 (2015学年·金山区二模·第20题)解方程组：【作业12】 解方程：【作业13】 (2014学年·静安区、青浦区二模·第22题)甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件？15 / 15