初中数学八年级秋季班-第18讲：直角三角形的判定、性质和推论-马秋燕.docx

八年级秋季班直角三角形的全等判定及性质内容分析直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲1、 直角三角形全等的判定方法：（1） 直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2） 直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“HL”）例题解析【例1】 如图，D=C=90°，请添加一个条件，使得ABCBAD，并在括号内写出判定的依据。（1）AD=_()；BACD（2）DAB=_ ()【难度】【答案】【解析】ABCDEFGOH【例2】 已知：如图，EFAD，BCAD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有_对【难度】【答案】【解析】【例3】 下列命题中，正确的个数是()两条边分别相等的两个直角三角形全等；斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；斜边相等的两个等腰直角三角形全等A3B2C1D0【难度】【答案】【解析】【例4】 已知：如图，ACBC，ADBD，AD=BC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F， EABCDF求证：CE=DF【难度】【答案】【解析】ABCDE【例5】 如图，已知：RtABC中，ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，ABC中，ABBC，AD平分BAC，DFAC，ED=CD求证：AC =AE+2BEABCDEF【难度】【答案】【解析】【例7】 如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由ABCDEFGABCDEFG图2图1【难度】【答案】【解析】【例8】 在直角ABC中，AB=AC，BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BDl于点D，CEl于点E，若BD>CE，试问：（1） AD与CE的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试ABCDEl【难度】【答案】【解析】【例9】 如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E（1） 若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：ABACABCDE图2ABCDE（2） 若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由【难度】【答案】【解析】图1【例10】 如图，在ABC中，ACB=90°，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EFCD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：DE=EGABCDEFG【难度】【答案】【解析】模块二：直角三角形的性质知识精讲2、 两个性质：（1） 直角三角形的两个锐角互余；（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的例题解析ABCD【例11】 如图，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D： （1）若B=55°，则A=_； （2）若BA=10°，则B=_； （3）图中与A互余的角有_，与A相等的角有_【难度】【答案】【解析】ABCDMN【例12】 如图，已知，四边形ABCD中，ABC=ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点求证：MNBD【难度】【答案】【解析】ABCDE【例13】 如图，在RtABC中，C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设A=y，DFC=x，（1）求证：CDB=CEB；（2）用x的代数式表示y【难度】【答案】【解析】ABCDPF【例14】 如图中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，BF=DC，P是CF中 点 求证：（1）；（2）【难度】【答案】【解析】ABCDEFOM【例15】 如图，交于点O，且BD=BO，CA=CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，求证：【难度】【答案】【解析】【例16】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别是AD、BC的中点，若B与ABCDMNC互余，则MN与(BCAD)的关系是什么?【难度】【答案】【解析】【例17】 如图，已知在钝角ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点（1）求证：FDG=90°；BEFHDAGC（2）连结FG，试问FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由【难度】【答案】【解析】ABCDE12【例18】 如图，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，AD为腰CB上的中线，CEAD交AB于E求证：CDAEDB【难度】【答案】【解析】【例19】 如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF、CE，取AF、CE的中点M、N，连接MB、NB、NM（1） 若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABE=FBC=90°，如图1所示，则MBN是_三角形；（2） 若ABE和FBC中，BA=BE，BC=BF，且ABE=FBC=，如图2所示，则MBN是_三角形，且MBN=_；ABCMEFN图2ABCNEFM图1ABCEFNM图3（3） 若（2）中的ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明【难度】【答案】【解析】ABCDEFNHM【例20】 已知，如图，在ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M求证：MN是线段EF的中垂线【难度】【答案】【解析】模块三：直角三角形性质的推论知识精讲3、 推论：（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°例题解析【例21】 （1）ABC中，AB=AC=6，B=30°，则BC边上的高AD=_；（2）ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角BAC=_【难度】【答案】【解析】ABCDE【例22】 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC的度数为_【难度】【答案】【解析】ABCDNM【例23】 已知：如图，在ABC中，BA=BC，B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：【难度】【答案】【解析】【例24】 已知：如图，RtABC和RtABD中，DA=DB，ADB=90°，BC=AB，ACB=90°，DEAB，联结DC，求EDC的大小【难度】【答案】【解析】ABCD【例25】 已知如图，在直角ABC中，ACB=90°，A=30°，D为AB上一点，且BD =AB求证：CDAB 【难度】【答案】【解析】【例26】 已知等边ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，过点B作BGAD，垂足为G，（1） 求FG：BF的值；ABCDEFG（2） 若D、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由 【难度】【答案】【解析】【例27】 在ABC中，已知A=60°，BEAC于E，CFAB于F，点D是BC中点. （1）如果AB=AC，求证DEF为等边三角形；ABCDEFM（2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度【难度】【答案】【解析】【例28】 已知MAN，AC平分MAN，（1）在图1中，若MAN=120°，ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC. （2）在图2中，若MAN=120°，ABC+ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ABCDMNNABCDM【难度】【答案】【解析】随堂检测【习题1】 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A 两条直角边对应相等B 斜边一个锐角对应相等C 一条直角边和一条斜边对应相等D 一条边和一个角对应相等【难度】【答案】【解析】【习题2】 如图在ABC中，ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则DCE=_【难度】【答案】【解析】【习题3】 如图在ABC中，ACB=90°，CDAB于点D，A=30°，则AD =_ABABCD【难度】【答案】【解析】ABCDE【习题4】 如图，在直角ABC在，ACB=90°，AB=8cm，D为AB的中点，DEAC于E，A=30°，求BC、CD和DE的长【难度】【答案】【解析】ABCDEH【习题5】 如图，ABC中，ADBC于点D,BEAC于点E，交AD于点H，且AD=BD，AC=BH，连接CH求证：ABC=BCH【难度】【答案】【解析】ABCDEF【习题6】 如图，已知，在锐角三角形ABC中，ABC=2C，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，求证：BF=BD【难度】【答案】【解析】ACBEFD【习题7】 如图，在ABC中，BEAC于点E，CFAB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、DE（1） 求证：ED=DF；（2） 若DEF是等边三角形，则ABC应满足什么条件?【难度】【答案】【解析】【习题8】 如图，ADBC，且BDCD，BD = CD，AC = BC求证：AB = BOABDOC【难度】【答案】【解析】ABCDEG【习题9】 已知：如图在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE，DGCE，垂足为点G求证：AEC=3DCE【难度】【答案】【解析】ABCDFE【习题10】 如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的一点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，CFBE. 求AF：BF的值【难度】【答案】【解析】【习题11】 如图，在直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，以AB为边向外作等边三角形ABD，AEBD于点E，AE交CD于点M.（1） 线段DM与线段BC有怎样的数量关系?并证明；（2） 若ABC于ABD在AB的同侧，CD的延长线与AE的延长线交于点M，请在图2中画出ABD与点M；线段DM与BC仍有（1）中的数量关系吗?并证明ABCDME图1ABC图2【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A0B1C2D3【难度】【答案】【解析】【作业2】 （1）直角ABC中，C=90°，CDAB，点E是AB的中点，ACD=25°，则ECB=_；ABCE（2）直角ABC中，C=90°，CDAB，点E是AB的中点，DCE=10°，则B=_【难度】【答案】【解析】DABCDE【作业3】 如图，中，则=_，=_【难度】【答案】【解析】【作业4】 （1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_【难度】【答案】【解析】【作业5】 已知：ABBC，DCBC，点E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CDABCDE【难度】【答案】【解析】【作业6】 已知：如图，ABC中，B=40°，C=20°，DACA，求证：CD=2ABABCD【难度】【答案】【解析】ABCDE【作业7】 如图，已知：ABC中，AB=AC，A=60°，BD=CD，BEAC，DEBE，求证：4BE=AC.【难度】【答案】【解析】ABCDEF【作业8】 在等腰直角ABC中，D是斜边AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且AE=CF，联结DE、DF、EF，试判断DEF的形状，并加以证明【难度】【答案】【解析】ABCDMNO【作业9】 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90°，AC、BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点（1） 求证：MNBD；（2） 当BAC=15°，AC=10，OB=OM时，求MN的长【难度】【答案】【解析】【作业10】 已知：等腰直角ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D是线段BC上的一点，且BP=PD，过点D作AC边上的高DE，求证：PE=BOABCDPEO【难度】【答案】【解析】【作业11】 如图1，已知点D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点（1） 求证：BMD为等腰直角三角形；（2） 将ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；图1ABCDEMABCDE图2MB（3） 将ADE绕点A逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由【难度】【答案】【解析】21 / 21