数学《三角函数复习》ppt课件.ppt

三角函数三角函数 复习复习任意角任意角的概念的概念角度制与角度制与弧度制弧度制任意角的任意角的三角函数三角函数三角函数的三角函数的图象和性质图象和性质已知三角已知三角函数值求角函数值求角弧长与扇形弧长与扇形面积公式面积公式同角三角函数同角三角函数的基本关系式的基本关系式诱导诱导公式公式计算与化简、计算与化简、证明恒等式证明恒等式和角公式和角公式差角公式差角公式倍角公式倍角公式应用应用应用应用应用应 用应用知识网络结构图知识网络结构图 2、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。3、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：|360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制）（弧度制）原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴1、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为_，顺时针旋转为_。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。二、主要概念、公式、结论汇总正正负负 （1）、终边在x轴上的角的集合：（2）、终边在y轴上的角的集合：（3）、终边在象限平分线上的角的集合： 4、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。|,kkZ |,2kkZ |,42kkZ OABrr5、弧度的计算：|lr角度的符号由旋转角度的符号由旋转方向确定方向确定OABrrl26、角度与弧度的换算：7、扇形面积公式：12SlR8、任意角的三角函数： 定义：sinyrcosxrtanyxcscrys crexcotxy这六种函数统称三角函数180radradrad01745. 0180130.57)180(1radOABRl9、sincostan、在各象限的符号。xyxyxy+-+-sincostan10、同角三角函数的基本关系式：22sincos1sintancostancot1例1、已知角 的终边与函数 的图象重合，求 的六个三角函数值。)x(xy023例2、已知 为非零实数，用 表示tantansincos、。例3、已知：tan3,求（1） 4sin2cos5cos3sin（2）2sin2sincos11、正弦、余弦的诱导公式：对于 加减：2、322、对于 加减：例4、已知A、B、C为 的三个内角，求证：ABC（1）cos(2)cosABCA （2）3tantan44ABC 12、两角和与差的正弦、余弦、正切：():S():S():C():C()T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan注意： 、 的以及运用和差公式时要会()T()T如：(),2()()2()(),2()36与互余， + 与互余44:例3：已知 ，)4, 0(),43,4(,135)4cos(,53)4sin(且)sin(求解:)(2cos)sin()4()4cos()4sin()4sin()4cos()4cos(54)4cos()43,4(,53)4sin(且1312)4sin(),4, 0(,135)4cos(且6556)13125313554(上式应用应用：找出已知角与未知角之间的关系找出已知角与未知角之间的关系22sincossin()abab13、三角函数“合一”公式22cos()ab如：sin3cos2sin()2cos()36sincos2sin()2cos()44例5、求 的值1tan151tan1514、二倍角公式：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos121 2sin 22tantan21tan21 coscos2221 cossin2221 cos2sin221 cos2cos2降幂（扩角）公式降幂（扩角）公式升幂（缩角）公式升幂（缩角）公式17. 和差化积公式：和差化积公式：18. 积化和差公式：积化和差公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 sinsin2sincos22coscos2sinsin22 sinsin2cossin22coscos2coscos2216、升幂、降幂16、：例6、如果方程 的两根 的比是3：2，求p、q的值。20 xpxqtantan()4与17、：1、求出这个角的某个三角函数值； （）2、确定这个角的范围。例7、已知 都是锐角，且 求 的值。、 、111tan,tan,tan,25818、：主要是将式子化成的形式，再利用正弦函数与余弦函数的求解。例8、求函数 的值域2cossin cosyxxx有时还要运用到 的关系sincossincosxxxx与例例1 函数函数f(x)=Msin(x+ ) (0)在区间在区间a,b上是增函数，且上是增函数，且f(a)=-M f(b)=M，则，则g(x)=Mcos(x+ )在在a,b上（上（ ）（A）可以取到最大值）可以取到最大值M （B）是减函数）是减函数（C）是增函数）是增函数 （D）可以取最小值）可以取最小值-M（三）典例分析（三）典例分析AAOB1sin1r1sin11sin11sin2212S例例2 2弧度的圆心角所对弦长为弧度的圆心角所对弦长为2，则这个，则这个扇形的面积为扇形的面积为_。例例3 为第三象限角为第三象限角,且且 则则 =_。 （A） （B） （C） （D）322323232295cossin442sinA212cos412csc)312tan3(2 例例2 _例例3 _)10tan31 (40cos 例例4 _的值是，则，已知2tan02sin54sin例例4 f(x)=2acos2x+2 asinxcosx-a+b(a0)定义域为定义域为0, ，值域为，值域为-5,1，求，求a，b。32例例5 已知函数已知函数f(x)=sin2x+cosx+ a-(0 x )的最大值为的最大值为1，试求，试求a的值。的值。85232xxxm2sin)2cos()2cos(12353421xxm2sin)sin()2sin(12623xxm2cos2sin1212)(tan2sin(11212mmx1212m)3(3舍mm)2sin(1)(6xxfzkkk,36xxfmxx2sin)(22)2cos(12)2cos(13534m例例6 函数函数 的值域为的值域为 求求 值和值和 的单调增的单调增区间。区间。xxmxxxfcossin)65(sin)32(cos)(22),(2 ,amRxa)(xf解：解：三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性质定义域RR值 域-1，1-1，1周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性增函数22 ,22kk减函数232 ,22kk增函数2 ,2kk减函数2 ,2kko1、正弦、余弦函数的图象与性质、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数、函数 的图象（的图象（A0, 0 ) )sin(xAyxysin第一种变换第一种变换: 图象向左( ) 或向右( ) 平移 个单位 00|)sin(xy横坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍 纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长(A1 )或缩短( 0A1 )或缩短( 0A0,|0,0 |a|0)的最小的最小正周期为正周期为4，则，则等于（等于（D）（A）4 （B）2 （C） （D）5）函数函数y=sin2x+2cosx( x )的最的最大值和最小值分别是（大值和最小值分别是（B） （A）最大值为）最大值为 ，最小值为，最小值为- （B）最大值为）最大值为 ，最小值为，最小值为-2 （C）最大值为）最大值为2，最小值为，最小值为- （D）最大值为）最大值为2，最小值为，最小值为-22141334474741416）函数函数y=sin(2x+ )的图像的一条对称轴的图像的一条对称轴方程是（方程是（D）(A) x=- (B) x=- (C) x= (D) x=7）设设则有（则有（C） （A）abc （B）bca （C）cba （D）acb8）已知已知f(x)=xcosx-5sinx+2，若，若f(2)=a，则，则f(-2)等于（等于（D） （A）-a（B）2+a（C）2-a（D）4-a2348240sin187cot113tan22321,84cos6cos2cba9）若若0a1，在，在0,2上满足上满足sinxa的的x的范围是（的范围是（B）(A) 0,arcsina (B) arcsina, -arcsina(C) -arcsina, (D)arcsina, + arcsina10）函数函数y=lg sinx+ 的定义域是的定义域是（A）（A）x|2kx2k+ (kZ)（B）x|2kx2k+ (kZ)（C）x|2kx2k+ (kZ)（D）x|2kb，0 x ，-5f(x)1，则当，则当t-1,0时，时，g(t)=at2+bt-3的最小值为（的最小值为（C）（A）-15 （B）0 （C）-3 （D）-612）设函数设函数f(x)=sin2x-2 sinx-2的最大值的最大值和最小值分别为和最小值分别为M和和m，则有（，则有（B）（A）M=2 -1, m=-4（B）M=2 -1, m=-1-2（C）M=-2, m=-2-2（D）M=2 +1, m=-1-23221812222222二、填空题二、填空题13）已知已知|sin|= ,sin20,则则tan 的值是的值是_。14）15）函数函数y=2sin(2x+ )(x-,0)的单调的单调递减区间是递减区间是_。542_10cos310sin162或或-214365，16）已知函数）已知函数y=sinx+cosx，给出以下四个，给出以下四个命题：命题： 若若x0, ，则，则y(0, ； 直线直线x= 是函数是函数y=sinx+cosx图象的图象的一条对称轴；一条对称轴； 在区间在区间 , 上函数上函数y=sinx+cosx是是增函数；增函数； 函数函数y=sinx+cosx的图象可由的图象可由y= sinx的图象向右平移的图象向右平移 个单位而得到。其中所个单位而得到。其中所有正确命题的序号为有正确命题的序号为_。2244452417）求函数求函数y= 的最大值及此时的最大值及此时x的值。的值。解：解： 当当sinx=1 即即x=2k+ kZ时时 y大大=1xxxsin1cossin221sin2sin1)1)(sin1(2)1(2sin1cossin21sin2xxwxxwxxxxxy-10函数函数y=-acos2x- asin2x+2a+bx0, ，若函数的值域为，若函数的值域为-5,1，求常数，求常数a,b的值。的值。解：解：a0 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5321)2sin(22)2sin(22)2sin2cos(26216766627321xxbaxabaxxay19）已知函数已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(aR,a常数常数)。（1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x- , 时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求求a的值。的值。解：（解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期最小正周期T=2 （2）x - , x+ - , f(x)大大=2+a a=-16622666622332320）在在ABC中，中，a、b、c分别为角分别为角A、B、C的对边，的对边，4sin2 -cos2A= 。（1）求角）求角A的度数；的度数；（2）若）若a= ，b+c=3，求，求b和和c的值。的值。解：解：4cos2 -cos2A= 2(1+cosA)-2cos2A+1= cosA= A=60。 cosA= = b2+c2-a2=bc 又又b+c=3 bc=2 b=2 c=2 c=1 b=12CB2732A27272121bcacb2222或或21）已知已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos(x+ )- 。（1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函为偶函数。数。（3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当当= 时时 f(x)为偶函数。为偶函数。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665222）函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值的最小值为为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值。的最大值。解：解：f(x)=2(x- )2- 2-2a-1 -1x1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=- 2-a-1 当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a212a2a2a2a2a当当 -1 即即a2) 1 (a-2) - 2-2a-1= a2+4a+3=0 a=-1 此时此时 f(x)=2(x+ )2+ f(x)大大=52a2a2a212121