轨迹方程的求法及典型例题示范(含答案).doc
.*轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有：（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法* 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.二、练习例1：点P（3，0）是圆x2+y26x55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.例3：如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 例4：已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程例5：设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 例6：(08、山东文22)已知曲线：所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点若(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； 若是与椭圆的交点，求的面积的最小值解：(1)由题意得椭圆方程：1(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)，A()由设M(x，y)，由|MO|OA|(0)|MO|22|OA|2因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为yk，代入上式有：，由，当k0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为，（0）当k存在且k0时，|OA|2由，当且仅当45k254k2时，即k1时等号成立当；当k不存在时，综上所述，的面积的最小值为例7：（07、江西理21）设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；(2)过点作直线与双曲线的右支于两点，试确定的范围，使0，其中点为坐标原点解：(1)在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，由0，且在双曲线右支上，所以由知例8：（09、海南）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：（）设椭圆长半轴长及分别为a，c由已知得a4，c3椭圆C的方程为（2）设M（x，y），P（，）其中4，4，x有由得：故【下面是寻找关系式f（x，y），g（x，y）的过程】 又 式代入：并整理得：，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段例9：（09、重庆理）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点(1)若C、D的坐标分别是(0，3)、(0，3)，求的最大值； 21世纪教育网 (2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆上的点，点N是点M(椭圆上的点)在轴上的射影，点Q满足条件：，0求线段QB的中点P的轨迹方程解：(1)设椭圆方程为：（ab0）准线方程，椭圆方程为：所以：C、D是椭圆的两个焦点4，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号的最大值为4(2)设，N()，由，由0()()()()0记P点的坐标为(，)，因为P是的中点， 动点P的方程为： 例10：（09、安徽）已知椭圆1（ab0）的离心率为以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切（1）求a与b的值； （2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解：（1）e又圆心（0，0）到直线yx2的距离d半径b，2，3（2）（1，0）、（1，0），由题意可设P（1，t）（t0）.那么线段的中点为N（0，）的方程为：yt，设M()是所求轨迹上的任意点. 【下面求直线MN的方程，然后与直线的方程联立，求交点M的轨迹方程】 直线的斜率k，线段的中垂线MN的斜率所以：直线MN的方程为：yx由，消去参数t得：，即：，其轨迹为抛物线（除原点） 又解：由于（x，y），（x，y）0，消参数t得：（x0），其轨迹为抛物线（除原点）6(07湖南理20）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点【直接法求轨迹】（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；(2)在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由条件知，设，设，则，由的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（2）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时1当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时(1，2)(1，2)1故在轴上存在定点，使为常数例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.例3：如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。由，两式联立解得。再将其代入式并由p>0解得因为AMN是锐角三角形，所以，故舍去p=4,xA=1由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AEl1,ADl2，BFl2垂足分别为E、D、F设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)依题意有例4：已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是例5：设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OMAB，得k=由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=, y1y2=，由OAOB，得y1y2=x1x2所以=, b=4kp 故y=kx+b=k(x4p), 得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.|解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,则有 ,得y12y22=16p2x1x2 代入上式有y1y2=16p2 代入，得 代入，得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2 、代入上式，得x2+y24px=0(x0)当x1=x2时，ABx轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
