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.-期末考试试题 线性代数I一、填空题（15分，每题3分）1、= 。 2、若，线性相关，则= 。3、是2阶方阵，是3阶方阵，则= 。4、若是3阶方阵，且，均不可逆，则的特征值为 。5、二次型是正定二次型，则的取值范围是 。二、选择题（15分，每题3分）1、已知为维列向量，为阶单位阵，则 。A、 B、 C、 D、2、设是4阶方阵，的行列式，则中 。A、必有一列元素全为零 B、必有两列元素对应成比例C、必有一列向量是其余列向量的线性组合 D、任一列向量是其余列向量的线性组合3、设1是的特征值，则 。A、1是的特征值 B、2是的特征值C、2是的特征值 D、1是的特征值4、设向量组，, 的秩为，则此向量组中 。A、任意个向量线性无关 B、任意个向量线性相关C、任意个向量线性相关 D、任意个向量线性相关5、二次型对应的矩阵为 。A、 B、C、 D、三、计算行列式：（16分，每题8分）1、 2、四、（10分）求解矩阵方程五、（10分）已知向量组，, ，线性无关，其中，是数，试证向量组，线性无关。六、（12分）讨论为何值时，下列方程组无解，有解？并在有解时求出其通解。七、（12分）已知，求一个正交阵，使为对角阵，并写出此对角阵。八、（10分）用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换 期末考试试题答案及评分标准 线性代数I一、填空题：（15分，每题3分）1、10 2、6 3、 4、2，-1，1 5、（-2，1）二、选择题：（15分，每题3分）1、D 2、C 3、B 4、D 5、C三、计算行列式：（16分，每题8分）1、=160 .8分2、= .8分四、（10分）解：从而， .6分所以=。 .10分五、（10分）证明：设， .2分即， .4分从而有， .6分因为，, ，线性无关，所以， .8分得，故，线性无关。 .10分六、（12分）解：.3分时，无解； .5分时，有无穷组解； .7分等价方程组为：，令，得特解，.8分导出组：，得基础解系， .10分通解为：+，其中，为任意常数。 .12分七、（12分）解：=0，得特征值，。.2分 对，线性方程组为：，得基础解系：，单位化得；4分对，线性方程组为：，得基础解系：， .6分正交化得：， .7分单位化得：， ， .9分 ， 因此所求正交阵为.11分且 。 .12分八、（10分）解：= .2分令， ， .4分.6分故经可逆变换，.8分 可将二次型化为。 .10分期末考试试题 线性代数II一、 填空题（每题4分，共20分）1、 设为三阶方阵，且，则。2、 设为三阶方阵，且，则。3、 已知是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵必有一个特征值。4、 已知，则向量组（线性相关或线性无关）。5、 若二次型是正定的，那么应满足不等式。二、 选择题（每题4分，共20分）1、设为阶方阵，则的必要条件是（ ）（A）两行元素成比例 （B）必有一行为其余行的线性线性组合（C）中有一行元素全为零 （D）任一列为其余列的线性组合2、设A、B、C均为阶方阵，且，则必有（ ）（A） （B） （C） （D）3、若向量组线性无关；线性相关，则（ ）（A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示 （D）必不可由线性表示4、设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是( ）（A） （B） （C） （D）5、若，则有（ ）（A） （B） （C）对于相同的特征值，矩阵和有相同的特征向量（D）和均与同一个对角阵相似三、计算行列式（本题6分）四、（本题10分）已知，其中，求矩阵。五、（本题12分）问取何值时，下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解? ， 当方程组有无穷多解时求其通解。六、（本题14分）设矩阵，求可逆相似变换矩阵，使得为对角阵，并计算。七、（本题12分）设三元二次型（！）写出该二次型的矩阵表达式，并求其秩；（2）用配方法将该二次型化为标准形，并写出所作的实可逆线性变换。八、（本题6分）设阶方阵满足，试证明：与均可逆，并求其逆矩阵。期末考试试题 线性代数II评分标准一、 填空题（每题4分，共20分）1、4； 2、O； 3、； 4、线性无关； 5、二、选择题（每题4分，共20分）1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B三、计算（本题6分）= （2分） = （2分） = （2分） 四、（本题10分） （2分） （2分）由得 （分） （分）五、（本题12分） （4分） 当时，方程组无解； （2分）当且时，方程组有唯一解， （分）当时，方程组有无穷多解， （分），其中为任意实数 （分） 六、（本题14分）特征值； （分）属于的线性无关的特征向量为， （分）属于的线性无关的特征向量为 （分）由于，线性无关，所以，令，则有 （2分）则 （1分） （分）七、（本题12分） (1) （分）的秩为3 （分） (2) （分） 令线性变换，则可逆线性变换 （分）将二次型化为标准形 （分） 八、（本题6分）由得，则所以均可逆； （分） 且 （分） （分）期末考试试题 线性代数III一填空题（每题4分，共20分）1.设、均为三阶方阵，且，则。2、已知则 二选择题（每题4分，共20分）1、设为阶方阵，则的必要条件是（ ）（A）中必有一行（或一列）元素全为零 （B）中必有两行(或两列)元素成比例（C）中必有一行为其余各行的线性组合 （D）中任意一行为其余各行的线性组合2、设、都是阶可逆方阵，则下列结论正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）3、设A为3阶可逆方阵，且各行元素之和均为2，则（）.（A）必有特征值2 （B）必有特征值2（C）必有特征值-2 （D）必有特征值-2三、计算下列各题（本题28分）1、（本题8分）计算行列式的值（1）（2）2、（本题10分）解矩阵方程，其中，求矩阵。四、（本题12分）问为何值时，方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解？并在有无穷多组解时求其通解。五、（本题10分）设（1）确定； （2）求一个可逆矩阵，使 期末考试试题答案及评分标准课程名称：线性代数一填空题（每题3分，共15分）1、； 2、0； 3、，； 4、； 5、二、选择题（每题4分，共20分）三、计算题与证明题（本题30分）1、（本题7分）解： （3分） （7分）2、（本题8分）解： （3分） （6分） （8分） 四、（本题10分）解：增广矩阵为 （5分）特解为： （7分）对应齐次线性方程组基础解系为：， （9分）方程组的解为 （10分）五、（本题12分）解：1、矩阵的特征值为 （分）2、特征向量为， （9分） （11分） （12分）六、（本题13分） 1、二次型矩阵表达式为 （5分）2、原式 （10分）令，得所作的实可逆线性变换为 （13分）
