《小波分析及应用》PPT课件.ppt

内内 容容 简简 介介集合论上定义的三大空间：集合论上定义的三大空间：距离空间、赋范线性空间、距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。空间。相关概念及理论：相关概念及理论： 空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。 距离空间：距离空间：定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间；定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间； 定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间；定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间； 赋范线性空间：赋范线性空间：定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范线性空间；线性空间； 定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间；定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间； 如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的；如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的； Hilbert空间：空间：完备的内积空间就是完备的内积空间就是Hilbert空间。空间。距离空间的定义距离空间的定义设设R表示一个非空集合，若任意两元素表示一个非空集合，若任意两元素 ,都按一定的规则与一个都按一定的规则与一个实数实数 相对应，且相对应，且 满足以下三公理：满足以下三公理：（1） ，当且仅当：，当且仅当： 时等号成立；（非负性）时等号成立；（非负性）（2） ；（对称性）；（对称性）（3）对）对R中任意三元素中任意三元素 ，有：，有： （三角不等式）（三角不等式）则称则称 为为 和和 的距离，称的距离，称R为距离空间。为距离空间。yx,),(yx),(yx0),(yx),(),(xyyxzyx,),(),(),(zyyxzx),(yxxyyx 1.2 赋范线性空间定义赋范线性空间定义设设 为实数（或复数）线性空间，若任意的为实数（或复数）线性空间，若任意的 ，都有一个非负的，都有一个非负的实数实数 与之对应，且满足：与之对应，且满足：（1） ；（2） (齐性齐性);（3） （三角不等式）。（三角不等式）。则称则称 为为 的范数，称的范数，称 为线性赋范线性空间。为线性赋范线性空间。EExx00 xxxxKyxyxEyx,xxE1.3 Hilbert空间定义空间定义内积空间定义：内积空间定义： 设设 是数域（实或复），是数域（实或复）， 是是 上的线性空间。若对任上的线性空间。若对任意的意的 ，都有唯一的数，都有唯一的数 与之对应，且满足：与之对应，且满足：（1）（2）（3）（4） 且且 则称则称 为为 的内积，称的内积，称 为内积空间。其中（为内积空间。其中（1），（），（2）是对第一变元线性性；（是对第一变元线性性；（3）为共扼对称性；（）为共扼对称性；（4）为正定性。）为正定性。HibertHibert空间定义空间定义： 若内积空间若内积空间 按范数按范数 完备，则称完备，则称 为为Hibert空间。空间。KKUUUUyx,Kyx),(),(),(yxyxK),(),(),(yzyxyzxUz ),(),(xyyx0),(xx00),(xxxU),(yxyx,),(xxx 1.4 小波分析的数学基础小波分析的数学基础q 首先，小波变换以空间理论为基础的；首先，小波变换以空间理论为基础的；q 小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小波构造及运算规则都与波构造及运算规则都与HilbertHilbert空间理论密不可分；空间理论密不可分；q 小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。分析、数值分析、数理统计。FourierFourier变换：变换：18071807年由年由FourierFourier提出，时域到频域的域变换；提出，时域到频域的域变换；19091909年年A.HaarA.Haar提出提出HaarHaar函数系函数系，正交、对称、紧支撑，但不光滑；，正交、对称、紧支撑，但不光滑；19361936年年Littlewood-PaleyLittlewood-Paley提出对频率按提出对频率按 进行划分；进行划分；19461946年，年，GaberGaber提出提出窗口窗口FourierFourier变换变换；19481948年年ShannonShannon建立建立信息论信息论，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；19741974年，年，Guido WeissGuido Weiss和和R.Coifman R.Coifman 研究函数空间研究函数空间原子分解原子分解及重构；及重构；19811981年年Morlet Morlet 首先提出首先提出小波分析小波分析的概念；的概念；19841984年年J.MorletJ.Morlet和物理学家和物理学家A.GrossmanA.Grossman第一次提出第一次提出“WaveletWavelet”一词；一词；19851985年年MeyerMeyer证明了一维小波基的存在，证明了一维小波基的存在，19861986年国际上掀起小波研究的热潮；年国际上掀起小波研究的热潮；19871987年年MeyerMeyer和和MallatMallat合作提出合作提出多分辨分析多分辨分析的框架；的框架；19881988年年DebauchiesDebauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（构造出紧支集有限光滑小波函数（b b），发表著名长文；），发表著名长文；19901990年崔锦泰和王建忠构造了单正交年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小波基样条小波基；19921992年经典小波的基本理论已成熟，国内年经典小波的基本理论已成熟，国内19911991年发表第一篇小波论文。年发表第一篇小波论文。j22.1 Heisenberg 不确定原理不确定原理HeisenbergHeisenberg不确定原理限制了时频能量的同时集中！不确定原理限制了时频能量的同时集中！2Lf t HeisenbergHeisenberg不确定理：不确定理：如果如果 ，时间的根方差为，时间的根方差为 ，频率的根方差为频率的根方差为 4122t 则：则：21t 即即: :时时频局域化只能在均方意义下获得：频局域化只能在均方意义下获得： dtt21dttut222222t 这种局域化可表示为这种局域化可表示为Heisenberg Box:Heisenberg Box:2.2 傅立叶分析傅立叶分析 Fourier Fourier 变换把信号从时间域变到频率域，在时间域内难以观察的现象和规变换把信号从时间域变到频率域，在时间域内难以观察的现象和规律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续FourierFourier变换定义如下：变换定义如下：FT时频相平面图 timeAmplitude Fourier Fourier 变换的缺陷：变换的缺陷：在时域表示中不能直接利用信号的频域信息；在频域在时域表示中不能直接利用信号的频域信息；在频域表示中，也不能直接利用信号的时域信息表示中，也不能直接利用信号的时域信息, ,傅立叶分析没有时傅立叶分析没有时频局域化能力。频局域化能力。 def21tftfdtetffFtiti 2.3 窗口傅立叶分析窗口傅立叶分析 窗口窗口FourierFourier变换在变换在点附近局部地测量了频率为点附近局部地测量了频率为的正弦分量的正弦分量 ，使使FoureierFoureier在时域与频域内均有局域化功能。在时域与频域内均有局域化功能。tie dttgtfdtetgtf,Gf,i 连续窗口连续窗口FourierFourier变换如下：变换如下： ti,etgg 积分核：积分核： 窗口窗口FourierFourier变换的缺陷：变换的缺陷：一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。2.4 小波分析的时频特性小波分析的时频特性 在空间在空间 中小波函数中小波函数 是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数：是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数： RL2 ata21,a 0a,R,a 满足下述条件：满足下述条件： 1N,.0k,0dtttk （1 1）具有）具有k k阶消失矩：阶消失矩：（2 2）容许条件：）容许条件： dC*R2（3 3）稳定性条件：）稳定性条件：BaAj20 在信号频率降低时，尺度参数在信号频率降低时，尺度参数a a增大，小波的时窗变宽，同时频窗变窄；增大，小波的时窗变宽，同时频窗变窄； 在信号频率增高时，尺度参数在信号频率增高时，尺度参数a a减小，小波的时窗变窄，同时频窗变宽。减小，小波的时窗变窄，同时频窗变宽。FourierFourier变换的重要性质之一是其伸缩性。变换的重要性质之一是其伸缩性。 afaatfftf1,则：若：对于小波有：对于小波有： iaaeaaatat 21,21,taaatataat,1频窗宽时窗宽在某一尺度在某一尺度a a下小波的双窗口宽度如下：下小波的双窗口宽度如下： 小波基函数的窗口面积不随参数小波基函数的窗口面积不随参数 而变，改变而变，改变 对对 和和 的的伸展或收缩作用刚好相反，因此小波分析的时伸展或收缩作用刚好相反，因此小波分析的时频窗口大小可以自适应变化！频窗口大小可以自适应变化！ , aa t 2.5 小波时小波时频窗的自适应变化频窗的自适应变化2.6 小波分析的优越性小波分析的优越性 Fourier 变换：变换：时间到频率的域变换，没有时频局化功能，时间到频率的域变换，没有时频局化功能，可离散正交化，有快速算法可离散正交化，有快速算法FFTFFT。 窗口窗口Fourier变换：变换：时窗固定的时窗固定的FourierFourier变换，有时频局域变换，有时频局域化功能，但性能不好；不能离散正交化。化功能，但性能不好；不能离散正交化。 小波变换：小波变换：时窗时窗- -频窗可自适应变化的双窗口变换，时频频窗可自适应变化的双窗口变换，时频局域化能力强；有离散正交化（或双正交）有快速算法局域化能力强；有离散正交化（或双正交）有快速算法FWTFWT。 变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件！变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件！2.7 三种分析方法的一个比喻三种分析方法的一个比喻 我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦，而把三种分析我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦，而把三种分析方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖，则有如下的一个比喻：方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖，则有如下的一个比喻：n傅立叶分析：傅立叶分析：核函数是正弦波，这是一块很长很长的预制块（理论上核函数是正弦波，这是一块很长很长的预制块（理论上无限长），品种、规格均单一，只能用来建造类似长城这样的简单建筑，无限长），品种、规格均单一，只能用来建造类似长城这样的简单建筑，即不具备局域化能力，只能分析平稳信号。即不具备局域化能力，只能分析平稳信号。n窗口傅立叶分析：窗口傅立叶分析：核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波，它把傅立核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波，它把傅立叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头，品种仍然单一，规格增叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头，品种仍然单一，规格增加了，但在使用时只能用一个规格，可以建造不同大小的方形大厦。即加了，但在使用时只能用一个规格，可以建造不同大小的方形大厦。即初步具备局域化能力，可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。初步具备局域化能力，可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。n小波分析：小波分析：核函数是小波基，它能灵活伸缩变化，这是形状各一、大核函数是小波基，它能灵活伸缩变化，这是形状各一、大小不同，可按需求定制的形形色色的砖头，可谓种类、规格繁多，能建小不同，可按需求定制的形形色色的砖头，可谓种类、规格繁多，能建筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力，可以分析各种平稳筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力，可以分析各种平稳信号及非平稳随机信号。信号及非平稳随机信号。3.1 几点解释几点解释t（2）支撑区：）支撑区： 支撑区是函数或信号自变量的定义域，它是一个闭集，支撑区是函数或信号自变量的定义域，它是一个闭集，在这个集上信号或过程是非零的，在支撑区之外信号或过程迅速下降在这个集上信号或过程是非零的，在支撑区之外信号或过程迅速下降为零。为零。 （1）小波的涵义：）小波的涵义：从物理意义上，小波函数从物理意义上，小波函数 是指一类迅速衰减、是指一类迅速衰减、均值为零的波；从数学意义上又称为子波，因为小波族是一个称为母均值为零的波；从数学意义上又称为子波，因为小波族是一个称为母小波函数经过伸缩和平移而产生的，它们具有自相似的特征。小波函数经过伸缩和平移而产生的，它们具有自相似的特征。（3）几个约定：）几个约定：小波分析所涉及的函数空间是小波分析所涉及的函数空间是 ； RL2 t小波函数在时域记为：小波函数在时域记为： ，在频域记为：，在频域记为： ； 尺度函数在时域记为：尺度函数在时域记为： ，在频域记为：，在频域记为： 。 t 3.2 连续小波变换连续小波变换对于任意函数或信号对于任意函数或信号 ，其小波变换为：，其小波变换为： RLxf2 其逆变换为：其逆变换为： RRa,fdtattfa1dtttfa,W 22,1RbafadadtaWCtf3.3 二进小波二进小波 t 如果小波函数如果小波函数 满足稳定性条件：满足稳定性条件： t BaAj20则对于任意则对于任意j， 称为二进小波：称为二进小波： jttj2221,2 A/B愈接近于愈接近于1，稳定性越强，当，稳定性越强，当A=B时最稳定。与连时最稳定。与连续小波比不会损失基本信息，由于其正交性消除空间冗余信续小波比不会损失基本信息，由于其正交性消除空间冗余信息，变换结果更能反映信号本身的性质。息，变换结果更能反映信号本身的性质。 3.4 二进小波变换二进小波变换（Dyadic Wavelet Transform） 为了简化数值计算，尺度沿着二进序列为了简化数值计算，尺度沿着二进序列 被采样，这样被采样，这样就有了下面的二进小波变换。就有了下面的二进小波变换。 Zjj2 对于任意的函数对于任意的函数 ，其二进小波变换为：，其二进小波变换为： RLtf2 jjfdtttfWfRjj22221 其逆变换为：其逆变换为： kRdtWftfjj,22 tAtjj,2,21当当A=B时：时：当当A B时：时： tBAtjj,2,223.5 多分辨分析多分辨分析（Multiresolution Analysis） 上的一列闭线性子空间上的一列闭线性子空间 和函数和函数 共同共同称为多分辨分析，如果它们满足如下要求：称为多分辨分析，如果它们满足如下要求： RL2 ZkVk ; t （1）单调性：）单调性：1 kkVV（4）伸缩性：）伸缩性： 12 kkVxfVxf（5）构造性：）构造性： Zk ; kt RLVZkk2 （3）稠密性：）稠密性：（2）唯一性：）唯一性： ZkkV生成生成 的标准正交基。其中函数的标准正交基。其中函数 称为尺度函数称为尺度函数(Scale Function)。 t 0V3.6 小波的小波的Mallat统一构造方法统一构造方法3.6.1 尺度方程：尺度方程： 如果如果 和函数和函数 是一个多分辨分析，是一个多分辨分析，那么，必然存在一列那么，必然存在一列 系数，使得系数，使得: ZkVk ; t ZlZkhk2 ; kt2h2tZkk 上式称之为尺度方程。系数列上式称之为尺度方程。系数列 叫低通滤波系数。叫低通滤波系数。 ZlZkhk2 ; 3.6.2 小波构造：小波构造：（Y.Meyer and S.Mallat, 1988） Zkkkt2g2t 则有则有: 2jkZjkt , ; , ZjtSpanWjkk ; , kk1kWVV 令令 （ 为高通滤波器系数），为高通滤波器系数），则可构造小波函数如下：则可构造小波函数如下：Zkhgkkk,11kg3.7 尺度函数的低通滤波器特点尺度函数的低通滤波器特点BattleLemarie三次样条尺度函数及傅立叶变换三次样条尺度函数及傅立叶变换 尺度函数可看作为低通滤波器，其傅立叶变换的能量主尺度函数可看作为低通滤波器，其傅立叶变换的能量主要集中在要集中在 上。上。 ,3.8 小波函数的带通滤波器特点小波函数的带通滤波器特点Battle Lemarie三次样条小波及其傅立叶变换的模三次样条小波及其傅立叶变换的模 小波函数可看作为带通滤波器，其傅立叶变换的能小波函数可看作为带通滤波器，其傅立叶变换的能量主要集中在量主要集中在 上。上。 22, 3.9 正交小波的快速算法正交小波的快速算法Mallat算法算法小波分解：小波分解： phanapnhpanjjj2*21 pganapngpdjjnj2*21ajh2aj+1h2aj+2g2dj+1g2dj+2 pgdphandnpgnanphpajjjnjnj*221111小波重构：小波重构：aj+2h2aj+1g2dj+1dj+2h2ajg2二进正交小波可以看成尺度函数和小波函数基组成双通道正交滤波器组！二进正交小波可以看成尺度函数和小波函数基组成双通道正交滤波器组！3.10 小波分析应用的特性要求小波分析应用的特性要求 在各种不同的实际应用时，人们通常希望小波具有以下三条性质：在各种不同的实际应用时，人们通常希望小波具有以下三条性质： (1)对称性对称性: 对称性即线性相位，对称性保证小波的滤波特性有线性相对称性即线性相位，对称性保证小波的滤波特性有线性相移，不会造成信号的失真。从视觉的角度而言，人们对不对称的误差移，不会造成信号的失真。从视觉的角度而言，人们对不对称的误差比对对称性的误差更为敏感。比对对称性的误差更为敏感。 (2)正交性正交性: 正交性能更好地去除信号的相关性，在提高图像的压缩比正交性能更好地去除信号的相关性，在提高图像的压缩比和复原图像方面应用比较多。和复原图像方面应用比较多。(3)紧支撑紧支撑: 紧支集保证有优良的空间局部性质。在实际应用中，因为紧支集保证有优良的空间局部性质。在实际应用中，因为计算上的需要，也希望获得有限长滤波器，这就要求小波是紧支撑的。计算上的需要，也希望获得有限长滤波器，这就要求小波是紧支撑的。 除除Haar小波外，同时满足上述三条的二进小波是不存在的，二进小小波外，同时满足上述三条的二进小波是不存在的，二进小波的正交性和对称性是不相容的。波的正交性和对称性是不相容的。 3.11 正交小波的两个特例正交小波的两个特例(1) 光滑连续型小波光滑连续型小波 (LittlewoodPaley Wavelet ) tttt212sincos ttsint 性质：性质：没有消失矩，但它是任意连续的，且具有任意阶导数；在时域中正没有消失矩，但它是任意连续的，且具有任意阶导数；在时域中正交、非紧支，时域分辨率差；在频域中是紧支的，频率局部化特性较好。交、非紧支，时域分辨率差；在频域中是紧支的，频率局部化特性较好。LittlewoodPaley小波的时域与频域波形小波的时域与频域波形（2）突变离散型）突变离散型Haar Wavelet 其其它它01t21121t01th, 性质：性质：Haar小波是唯一具有紧支撑、对称性的正交小波。但它是不连续小波是唯一具有紧支撑、对称性的正交小波。但它是不连续的，且其导数也不连续，具有很好的时间分辨率，但频率分辨率差。的，且其导数也不连续，具有很好的时间分辨率，但频率分辨率差。Haar小波的时域与频域波形小波的时域与频域波形3.12 两种基本类型的二进小波两种基本类型的二进小波 由于小波的正交性与对称性是矛盾的，所以在构造小波由于小波的正交性与对称性是矛盾的，所以在构造小波基时，必须在二者之间做出取舍。基时，必须在二者之间做出取舍。 (1) (1) 紧支撑正交小波紧支撑正交小波: : 舍弃对称性就形成了紧支撑正交小舍弃对称性就形成了紧支撑正交小波，其典型代表是小波波，其典型代表是小波(Debauchies Wavelet)； (2) (2) 双正交小波双正交小波: : 放松正交性的要求，就得到双正交小放松正交性的要求，就得到双正交小波，主要有双正交样条小波（波，主要有双正交样条小波（Biorthogonal Wavelet)。3.13 常用小波及主要性能常用小波及主要性能DB2小波小波Daubechies致力于寻求紧支撑且具有某种光滑性的小波，她基于离散致力于寻求紧支撑且具有某种光滑性的小波，她基于离散时间滤波器组时间滤波器组, 间接构造出小波基间接构造出小波基, Daubechies小波看起来是小波看起来是Haar小波小波的光滑版。的光滑版。 性质：性质：没有显式表达式，具有紧支性、规范正交性等特点；除没有显式表达式，具有紧支性、规范正交性等特点；除DB1（即（即Haar基）外其它函数均不对称，也即没有线性相位，光滑性较差。基）外其它函数均不对称，也即没有线性相位，光滑性较差。（1）Daubechies 小波小波（2）Biorthogonal小波小波 构造两组小波（小波自身并不要求正交）形成双正交，进行信号的分解与重构造两组小波（小波自身并不要求正交）形成双正交，进行信号的分解与重构。在牺牲正交的条件下，获取了精确的紧支性和对称性，有利于图象处理；分构。在牺牲正交的条件下，获取了精确的紧支性和对称性，有利于图象处理；分解和重构采用不同长度的小波滤波器，使得分解小波系数少，有较高的消失矩，解和重构采用不同长度的小波滤波器，使得分解小波系数少，有较高的消失矩，对数据有较高的压缩能量；而重构对偶小波系数多，有较好的正则性，对数据重对数据有较高的压缩能量；而重构对偶小波系数多，有较好的正则性，对数据重构的精确度较高。构的精确度较高。Biorthogonal小波小波性质：性质： 紧支撑、双正交（非正交）样条小波是对称的，可以由有限长滤波器紧支撑、双正交（非正交）样条小波是对称的，可以由有限长滤波器（FIR）精确重构。在正交情况下，除）精确重构。在正交情况下，除Haar小波外，这是不可能实现的。小波外，这是不可能实现的。（3）Mexico Hat小波（亦称小波（亦称Bubble小波）小波）它是它是Gauss函数函数 的二阶导数，即：的二阶导数，即：et22ettt22412)1 (32)(Mexico Hat小波小波性质：性质：连续、对称、具有指数衰减和一阶、零阶消失矩；非正交（非双正连续、对称、具有指数衰减和一阶、零阶消失矩；非正交（非双正交）、非紧支；可用于图象边缘提取、视觉分析和基音检测等。交）、非紧支；可用于图象边缘提取、视觉分析和基音检测等。（4）几种小波的性能对比）几种小波的性能对比 名称名称 性能性能 morl mexh meyr haar dbN symN coifN BiorNr.Nd “粗糙” 无限正则 紧支撑正交 紧支撑双正交 对称 反对称 近似对称 任意消失矩数 对 消失矩 任意正则性 的存在 正交分析 双正交分析 精确重构 FIR 滤波器 连续变换 离散变换 快速算法 显式表达 3.14 M带小波算法带小波算法 二进小波变换不适于分析窄带宽的高频信号，并且二二进小波变换不适于分析窄带宽的高频信号，并且二进正交小波的正交性和线性相位特征是不相容的（进正交小波的正交性和线性相位特征是不相容的（HAAR小波除外），而这一点对于图像处理来说却是十分重要的。小波除外），而这一点对于图像处理来说却是十分重要的。所以有必要把二进小波变换推广到所以有必要把二进小波变换推广到M通道小波变换。在多通道小波变换。在多通道通道(M2)滤波器设计中，可同时实现正交性和线性相位。滤波器设计中，可同时实现正交性和线性相位。 M带小波是由带小波是由1个尺度函数和（个尺度函数和（M-1）个小波组成的）个小波组成的M通道通道滤波器组，它相对于二进小波有以下几个优点：滤波器组，它相对于二进小波有以下几个优点： 能量更集中；能量更集中； 对高频有更细的频带划分；对高频有更细的频带划分； M带正交小波的紧支性和线性相位是相容的。带正交小波的紧支性和线性相位是相容的。小波变换小波变换 在时频平面上，同时具有很好的时间和频率分辨能力，能在时频平面上，同时具有很好的时间和频率分辨能力，能够分辨多尺度特征信号的细节部分。够分辨多尺度特征信号的细节部分。小波降噪：小波降噪：信号和噪声由于具有不同的奇异性，它们的小波变换系数的信号和噪声由于具有不同的奇异性，它们的小波变换系数的传播特性是不同的，据此可以消除噪声，具体有硬阈值和软阈值法；传播特性是不同的，据此可以消除噪声，具体有硬阈值和软阈值法；边缘检测：边缘检测：利用二维小波的模极大（双正交样条小波）和零交叉利用二维小波的模极大（双正交样条小波）和零交叉（BubbleBubble小波）可以提取图象的边缘特征信息，小波函数的对称性（线小波）可以提取图象的边缘特征信息，小波函数的对称性（线性相位）和紧支撑是这类研究所必须的；性相位）和紧支撑是这类研究所必须的；数据压缩：数据压缩：利用小波变换的正交性可有效去除图像中的冗余信息，可以利用小波变换的正交性可有效去除图像中的冗余信息，可以进行图像数据的压缩。进行图像数据的压缩。下面以将介绍我们近几年在小波应用方面所做的一些工作：下面以将介绍我们近几年在小波应用方面所做的一些工作：q 焊接电弧小波分析仪简介焊接电弧小波分析仪简介q MAGMAG焊焊缝跟踪研究焊焊缝跟踪研究4.1 小波分析应用入门小波分析应用入门 阅读几本经典的书籍及著名的论文，见所附的参考文献，阅读几本经典的书籍及著名的论文，见所附的参考文献，对小波分析的基本理论脉络有较清晰的认识；对小波分析的基本理论脉络有较清晰的认识； 小波基已由国际上著名的数学家构造出来，常用小波及小波基已由国际上著名的数学家构造出来，常用小波及尺度函数的滤波器系数可由尺度函数的滤波器系数可由MATLAB的小波工具箱获得；的小波工具箱获得； 小波在降噪、边缘检测及数据压缩等方面的算法也可通小波在降噪、边缘检测及数据压缩等方面的算法也可通过过MATLAB小波工具箱给出仿真结果；小波工具箱给出仿真结果； 小波分解与重构等基本算法的小波分解与重构等基本算法的C语言程序可从公开出版语言程序可从公开出版的书籍及网上共享资源中获得。的书籍及网上共享资源中获得。4.2 小波降噪小波降噪焊接电弧小波分析仪焊接电弧小波分析仪参见参见“焊接电弧动态小波分析仪焊接电弧动态小波分析仪”部部分分4.3 小波图象处理小波图象处理MAG焊焊缝跟踪研究焊焊缝跟踪研究参见参见“基于小波变换的基于小波变换的MAGMAG焊图像处理焊图像处理及焊缝跟踪研究及焊缝跟踪研究”部分部分5. 主要参考文献主要参考文献1 1. . 杨福生杨福生. .小波变换的工程分析与应用小波变换的工程分析与应用M.M.北京：科学出版社，北京：科学出版社，1999.1999.2.2. I.Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992. I.Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992.3.3. S. Mallat, A wavelet Tour of Signal processing, Acadenic Press Limited, 1997 S. Mallat, A wavelet Tour of Signal processing, Acadenic Press Limited, 19974. 4. 崔锦泰崔锦泰 著，程正兴著，程正兴 译，小波分析导论，西安交通大学出版，译，小波分析导论，西安交通大学出版，19951995。5. 5. G. Strang, T.Q.Naguyen, Wavelets and filter banks, Wellesley-Cambridge G. Strang, T.Q.Naguyen, Wavelets and filter banks, Wellesley-Cambridge press,1996.press,1996.6.6. D.Marr, D.Marr, 视觉计算理论，科学出版社，视觉计算理论，科学出版社，7.7. D.Marr, E.Hildreth, Theory of Edge Detection, Proc. R. Soc. Londm B 207, 187- D.Marr, E.Hildreth, Theory of Edge Detection, Proc. R. Soc. Londm B 207, 187-217(1980).217(1980).8.8. D. L. Donoho, De-Noising by Soft-Thresholding. D. L. Donoho, De-Noising by Soft-Thresholding.http:/www-stat.stanford.edu/reports/donoho/http:/www-stat.stanford.edu/reports/donoho/9.9. I. Daubechies, Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Communication I. Daubechies, Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Communication on Pure and Applied Mthematics, Vol.XLI 909-986(1988).on Pure and Applied Mthematics, Vol.XLI 909-986(1988).10. 10. S.G.Mallat, A Theory Multisolution Signal Decomposition: The Wavelet S.G.Mallat, A Theory Multisolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation, IEEE Trans. PAMI-11 (7),1989:Representation, IEEE Trans. PAMI-11 (7),1989:674-693.674-693.11. 11. CannyCannyA Computational Approach to Edge detectionA Computational Approach to Edge detectionIEEE Trans. PAMI-8.1986IEEE Trans. PAMI-8.1986，VolVolPAMI-8PAMI-8， NoNo，6 6，NovNov，pp 679pp 67969869812. 12. P.J.Burt, E.H.Adelson, The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code, IEEE P.J.Burt, E.H.Adelson, The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code, IEEE Trans. Com-31, 1983:532-540.Trans. Com-31, 1983:532-540.13.13. Http:/ G.Strang, T.Q.Naguyen, Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge G.Strang, T.Q.Naguyen, Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press(1996).Press(1996).