线性代数题目及解析.doc
一. 判断题（正确打，错误打）1若不能由线性表示，则线性无关. ()解答：反例：取，则不能由线性表示，但线性相关.2. 如果可由唯一线性表示,则线性无关.() 解答：向量能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是； 所以，所以线性无关.3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.() 解答：正确结论： 向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数.4. 若向量组只有一个极大无关组，则线性无关. () 解答：反例：取，则向量组只有一个极大无关 组，但线性相关. 正确命题：若线性无关，则只有一个极大无关组.二. 单项选择题1.设向量组（1）:与向量组（2）:等价，则( A ).（A） 向量组（1）线性相关; （B）向量组（2）线性无关;（C）向量组（1）线性无关; （D）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以 ，所以向量组（1）线性相关.2. 3维向量组中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A）（A）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B）只有一个向量能由其余三个向量线性表示;（C）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以线性相关，而中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A）3. 设维向量组线性无关，则(B ). （A）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B）正确.注意（D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如线性无关，但线性相关.4. 下列命题错误的是（ ）（A）若维向量组中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B）若维向量组的秩小于，则此向量组线性相关；（C）若维向量组线性无关，也线性无关，则向量组，的秩为；（D）任何一组不全为零的数使，则向量组线性无关. 解答：选项（C）错误. 反例：设线性无关，则线性无关，但线性相关，它的秩=11+1.5.已知向量组线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) ; (B) ;(C) ; (D) . 解答：(A):; (B) ； (C) ：； (D) .三. 填空题1. 设维向量线性无关，则向量组的秩 2 . 解答：因为, 所以线性相关, (或者因为, 所以线性相关) 但线性无关, 所以. (设则, 因为线性无关, 所以, 所以 线性无关.) 2. 已知, 若由生成的向量空间的维数为2, 则 6 . 解答：因为由生成的向量空间的维数为2, 而线性无关, 所以可由唯一线性表示, 所以, 即, 解得. 3. 设向量组线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组，的秩= . 解答：因为线性无关，向量不能由它们线性表示，所以，线性无关，所以秩= . 4. 若向量组与向量组不等价， 则常数. 解答：如果线性无关，则两个向量组等价，所以应该是 线性相关，所以. 5. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量 组的极大无关组为. 解答：因为线性无关，所以线性无关，而线性相 关，所以向量组的极大无关组为. 四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1 , ,； 解答：因为线性相关，所以线性相关.2, ,； 解答：三个四维向量一定线性相关.3, , ； 解答：因为，所以线性无关.4，, . 解答：因为，, 线性无关， 所以，, 线性无关.五计算题1. 设，问：（1）为何值时，向量组线性无关；（2）为何值时，向量组线性相关，当线性相关时，将表示为的线性组合. 解答：（1）向量组线性无关当且仅当，所以； （2）向量组线性相关当且仅当，即，设，所以，解得，即.2. 设线性无关，问常数满足什么条件时，线性相关. 解答：设，即，因为线性无关，所以，当时，当时，由知，所以线性相关当且仅当.六证明题1.设向量组中任意向量都不能由线性表示，且，证明线性无关.证明 因为，不能由线性表示，所以也不能由线性表示（如果，则，所以能由线性表示，矛盾），所以线性无关，而不能由线性表示，所以线性无关，以此类推，由于有限，所以线性无关.2.已知向量组（），（），（）如果，证明向量组的秩为4.证明 因为，所以线性无关，所以线性无关，且不能由线性表示，而，所以可由线性表示，所以不能由线性表示，所以的秩为4.3已知,证明向量组与等价.证明： 因为，所以可由线性表示，又因为，所以也可由线性表示（或者直接由解得）.4.已知向量组线性无关，证明向量组 也线性无关.证明：记，那么可由线性表示，又因为 ，所以可由线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而线性无关，所以线性无关.（如果要解出的话，可以这样做：，所以，）5. 设维向量组（1）:的秩为；（2）：的秩为；（3）：的秩为.证明.证明： 不妨设是的一个无关组，是的一个无关组，则可由线性表示，所以的无关组可由线性表示，所以.6已知且线性无关, .证明向量组线性无关. 证明： 记 ， 因为 ，所以可由线性表示，二者等价，秩相等，所以线性无关.7若向量组线性相关，证明对任意的实数， 向量组也线性相关. 证明 如果中至少有一个为零，则线性相关.下面假设全不为零. 因为线性相关，所以存在不全为零的数使得，所以 ，由于不全为零，所以不全为零，所以向量组线性相关.
