解直角三角形练习情况总结复习资料讲义.doc

-!解直角三角形复习讲义知识要点：CAbcBa图(1)一、 直角三角形的元素（边与角）的对应关系。 Eg：在RtABC中，C=90得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c 锐角： B A 直角： C二、 直角三角形的相关性质：如图（1）：在RtABC中，C=901、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。 A+B=902、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）变形式子：BC2 =AB2- AC2，AC2 =AB2 -BC2等的应用。勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 若：BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2），则：ABC是直角三角形，且C=903、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4、 直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。若：在RtABC中，C=90，CDAB于点D则：ACDCBDABC 对应边成比例 6、射影定理：ACDABC AC2=ADABCBDABC BC2=BDABACDCBD CD2=ADDB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角A、B（A+B=90）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角A的正弦sinA=cosB 0sinA1 Sine sin锐角A的余弦cosA=sinB 0cosA1 Cosine cos锐角A的正切tanA=cotB tanA0 Tangent tan(或tg)锐角A的余切cotA=tanB cotA0 Cotangent cot(或 ctg、ctn) 注：对于锐角A的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。（2）同角三角函数的关系：平方关系： sin2A+cos2A =1 商数关系： tanA=，cotA= 倒数关系： tanA =，tanA cotA=1推广：同（锐）角三角函数之间的关系（正余交换）：sinA=cos（90A）, cosA=sin（90A）, tanA=cot（90A）, tanAcotA=1.（3）三角函数中常用的特殊函数值。函数名030456090sin01cos10tan01无穷大cot无穷大10锐角三角函数的变化情况：在090之间，锐角A的正弦值随着角度的增大而增大。在090之间，锐角A的余弦值随着角度的增大而减小。在090之间，锐角A的正切值随着角度的增大而增大。在090之间，锐角A的余切值随着角度的增大而减小。三、 解直角三角形的类型与解法：已知与解法三角形类型已知条件解法步骤RtABC，C=90计算边的口诀：有斜求对乘正弦有斜求邻乘余弦无斜求对乘正切无斜求邻乘余切两边两直角边（a，b）1、由tanA = 求A2、B90A3、c斜边c,直角边a1、由sinA = 求A2、B90A3、b一边一角直角边、一锐角锐角A、锐角A的邻边b1、B90A2、由tanA = abtanA3、由cosA = c=锐角A、锐角A的对边a1、B90A2、由cotA = bacotA3、由sinA = c=斜边c、锐角A1、B90A2、由sinA = a=csinA3、由cosA = b=ccosA有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin 或余弦cos）无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan 或余切cot）取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）四、 有关名词、术语的意义1、 铅垂线：重力线方向的直线。2、 水平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、 仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、 坡面的坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作i,即i=.5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i=tan a6、方向角：如右图，OA表示北偏东60方向 注意：东北方向表示北偏东45五、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。1、利用平行的太阳光线 2、利用标杆与量角仪 3、利用物理的光学知识与平面镜六、直角三角形在尺规作图中的完美体现（1）在数轴上表示无理数 （2）黄金分割七、解直角三角形的几种基本图形图形1cot30=， ABD=A，BD=AD=a， ， . 图形2cot30=， tan60=， . 图形3DE=AC=CD=a+x AC=BE=DE=x 可证BAD=BDA=30cot30= tan60= AB=BD=a， 例 、在ABC中，若|sinA1|(cosB)20，则C .解 由条件知，sinA10且cosB0 即 sinA1， A90o； cosB, B30o(B为锐角) 则 C60o.例2、 如图，在ABC中，C90o，AD是角平分线，且BAC60o，AD10，求AB的长分析 求线段AB的长，应当考虑解直角ABC，而从条件看RtABC中仅有BAC60o(或B30o)的条件，显然要创造条件，使它成为可解的直角三角形而RtACD中，AD10, DABBAC30o，所以它是可解的三角形因此可利用RtACD的可解创造出RtABC的条件 解 在RtACD中，AD10，DAC30o. ACADcos30o5.在RtABC中，B30o，AC5. AB2AC10.例3、 如图，D是ABC的边AB上的一点，且BD2AD，CD6，cosBCD,那么BC边上的高AE . 分析 由cosBCD,易知BCD30o.虽然CD6，但BCD不是直角三角形因此作DFBC于F，可得可解的直角CDF.解 作DFBC于F， cosBCD, BCD30o.在RtCDF中，CD6.DFCD3.又 DFAE，.则 AEDF.例4 已知ABC中，B45o，C30o，BC33，那么AB .解 作ADBC，垂足为D. 设BDx，则ADx，CDx.根据题意，得 xx33. 即 (1)x3(1) x3. 又ABBD， AB3.例5、 如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝高6米，坝长50米(1)求加宽部分横断面AFEB的面积；(2)完成这一工程需要多少方土？分析 求梯形AFEB的面积，关键是求出两底AF、BE的长坡度1:2的意义即tgABC，坡度1:2.5，即tgE.解 在RtABG中，BG2AG12（米） BEEHBH5(米)则 S梯形ABEF(25)621（米2）需要完成工程的土方量为 21501050（米3）答 横断面AFEB的面积为21米2；完成工程需要1050方土例6 在正方形ABCD中，F是CD上一点，AEAF,AE交CB的延长线于点E，连结EF交AB于点G. (1)求证：DFFCBGEC；(2)已知：当tDAF时，AEF的面积为10cm2，问当tgDAF时，AEF的面积是多少？ 分析 不难证得RtABERtADF.故DFBE.由EBGECF而证得(1)的结论 由AEAF，AEAF知SAEFAF210. 又，DF2AD2AF220.则AD3. 当时，DF2， AF226， 则 当tDAF时，SAEF13(cm2).解直角三角形测试题一:选择题 1、 中，C=90，AC=4，BC=3，的值为( )A、 B、 C、 D、 2、已知A +B = 90，且=，则的值为( )A、 B、 C、 D、 3、在菱形ABCD中，ABC=60 ， AC=4，则BD的长是( ) A、 B、 C、 D、 4、在中，C=90 ，=3，AC=10，则SABC 等于( )A B、00 C、 D、10 、 一人乘雪橇沿坡度为:的斜坡滑下，滑下距离（米）与时间t（秒）之间的关系为,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为( )A、 72米 B、36米 C、米 D、米 6、在中，C=90，A、B、C的对边分别为、三边，则下列式子一定成立的是( )A、 B、 C、 D、 7、若A为锐角，则A等于( ) A、 B、 C、 D、8、如果把的三边同时扩大倍，则的值( )A、不变 B、扩大倍 C、缩小倍 D、不确定 9、中，C=90，AC=，A的角平分线交BC于D，且AD=， 则的值为( ) A、 B、 C、 D、10、如图中，A D是B C上的高，C=30，BC= ，那么AD的长度为( )A、 B、1 C、 D、二：填空题(20分)11、如图P是的边OA上一点,P的坐标为(3,4), 则 。 12、等腰三角形的腰长为10cm，顶角为，此三角形面积为 。 13、已知方程两根为直角三角形的两直角边 ，则其最小角的余弦值为 。14、如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为=30，观测乙楼的底部俯角为=45，试用含、的三角函数式子表示乙楼的高 米。 15、在中，C=90 ，CD是AB边上的中线，BC=8，CD=5，则 。三：计算16、 计算18、在中，C=90 ，且，AB=3，求BC，AC及.19、已知，四边形ABCD中，ABC = ADB =，AB = 5，AD = 3，BC = 求，四边形ABCD的面积S四边形ABCD. ABC20、(8分)如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边上的一点，测得ABC = 300，ACB = 600，BC =40米，求A到岸边BC的距离是多少米？ （结果精确到1米）300甲乙AB21、(8分)如图，甲楼每层高都是3.1米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为300，两楼相距AB有多少米？（结果精确到0.1米）22、(8分)如图，RtABC是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡AB的长为13米，它的坡角为450，为了提高防洪能力，现将背水坡改造成坡比(AC:DC)为1:1.5的斜坡AD，求DB的长（精确到0.1米）DBCA23、(8分)如图，气象大厦离小伟家80米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是450，而大厦底部的俯角是300，求该大厦的高度（结果精确到0.1米）)42034024、(10分)如图，在300m高的峭壁上测得塔顶与塔基的俯角分别为30和60，求塔高多少米？300600300米(ABCD解直角三角形应用1如图，上午9时，一条船从A处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B望灯塔C，测得NAC30，NBC60，那么从B处到灯塔C的距离是多少海里？2如图，湖泊中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，然后自C处沿BC方向行100m至D点，又测得其顶部A的仰角为30，求建筑物AB的高(精确到0.01m，1.732) 3 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60方向上前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45方向上在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(1.73) 4 4.如图,太阳光线与地面成60角,一棵大树倾斜后与地面成30角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米). 5. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.6海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？7.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN=30,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.8.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为ADC=60,点B的仰角为BDC=45;在E处测得A的仰角为E=30,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).9.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45,测得条幅底端E的俯角为30,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米). 10.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.11.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60,树的底部B点的俯角为30, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?12.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.13.如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4， 1.7)14如图，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C的仰角为45，从地面B点测得C的仰角为60.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅锤平面上，求气球离地面的高度CD（结果保留根号）.15如图所示，北部湾海面上，一艘解放军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东60方向，且在B的北偏西45方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把渔民送到基地医院？（精确到0.1 h）16.如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别为AGF=60，AEG=30，已知测角仪器的高为CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB(答案保留根号).5.如图，RtABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)6.已知：梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，BD=BC=4，求梯形的面积.