求解函数定义域值域解析式讲义(精华版).doc
.*求解函数定义域、值域、解析式【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义在函数中，叫做自变量，的取值范围的集合A叫作函数的定义域；与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： 若已知的定义域为,则复合函数的定义域可由不等式解出； 若已知的定义域为，则函数的定义域，即为当时函数的值域。【例1】求下列函数的定义域（1） （2） （3）【例2】 求下列函数的定义域（1） ； （2）；（3）； （4）【当堂检测】1. 函数的定义域为（ ）A. -4,1 B. C. D. 2函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3.求下列函数的定义域（1） （2） （3）知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域 1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是指满足不等式的的取值集合。一般地，函数的定义域为，指的是，要求的定义域，就是求时的值域。 【例1】已知的定义域为，求 ； 的定义域。【例2】已知函数的定义域为，求的定义域。【例3】已知函数的定义域为，求的定义域。 【当堂检测】1、已知的定义域为，求的定义域。 2、已知的定义域为，求的定义域。3、已知函数的定义域为-2,3），求的定义域。知识点三 函数解析式求法1.待定系数法 当已知函数的类型时，要求函数的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方程（组）求解。如已知为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设（），将已知点的坐标代入得，解得此方程组得，故。【例1】 设，求。【例2】已知函数，为一次函数，且一次项系数大于0，若，求的解析式。【当堂检测】1、若，求一次函数的解析式。2、若是二次函数，且满足求。2.配凑法 已知的解析式，要求时，可从的解析式中拼凑出“”作为整体来表示，再将解析式两边的都用代替即可。如已知（此解析式中的= ），求时，可整理，用代替等号两边的，得。 【例3】 已知，求；【当堂检测】 1. 已知，求 2. 已知，求函数的解析式； 3.换元法 令，等价变换为用表示的解析式。然后求出的解析式，最后用代替等式两边所有的即可。如已知，令，则，所以，故。 【例4】 若，求。【当堂检测】 1. 已知，求2. 已知求的解析式。 3.已知函数，求函数的解析式。4.方程组法 当关系式中同时含有与或与时，常将原式中的用（或）代替，从而得到另一个同时含与或与的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出。如已知，求的解析式时，可将原式中的用代替，可得，解方程组得。【例5】 设，求的解析式。【当堂检测】 1.若求的解析式。 2. 已知，求的解析式。 5.特殊值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。至于取什么特殊值，根据题目特征而定。【例6】设是R上的函数，且满足，并且对任意实数有，求的解析式。知识点四 函数值域的求法【重点、难点】1. 观察法 通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域，求函数的值域。如求函数的值域，由得，再求倒数得，故其值域为。【例1】 求下列函数的值域：（1）； （2）2. 配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在自变量的取值范围内，求出二次函数的值域的方法，这就是配方法。【例2】求函数的值域。 3. 换元法通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。【例3】 求函数的值域。4. 分离常量法 将形如的函数分离常数，变形过程为，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域。【例4】 求函数的值域。5. 判别式法 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。【例5】 求函数的值域。【当堂检测】求下列函数的值域：（1） （2） （3） （4） （5）。知识点五 函数定义域、值域的逆向应用1. 函数定义域的逆向应用定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的范围。【例1】 （1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围。 （2）判断为何值时，函数关于的定义域为R。 2. 函数值域的逆向应用【例2】求使函数的值域为的的取值范围。 知识点六 数学思想方法 方法一 分类讨论思想【例1】 已知函数的定义域是R，求实数的取值范围。方法二 函数与方程思想 【例2】 求函数的值域。方法三 转化思想【例3】 求函数的值域。第二部分：【小试牛刀】 1. (全国考高)函数的定义域（ ） A. B. C. D. 2. (全国高考)函数的定义域（ ） A. B. C. D. 3.（上海高考）函数的定义域_. 4. (江西高考)函数的定义域_. 5.求下列函数的定义域： （1） （2）； （3） （4）6. 复合函数求定义域（1）已知函数的定义域为，求的定义域。（2）已知函数的定义域为（0,1），求的定义域。7. 已知，求函数的解析式。8.（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）设的定义域在（1，+）上的一个函数，且有，求的解析式。
