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中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数-知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：要点诠释：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3表示方法解析法；列表法；图象法.4画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义；使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义图象性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k0)，那么y叫做x的正比例函数（2）正比例函数y=kx（ k0)的图象： 过（0，0），（1，K）两点的一条直线 （3）正比例函数y=kx （k0)的性质 当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k0),那么y叫做x的一次函数（2）一次函数y=kx+b（k0)的图象 （3）一次函数y=kx+b（k0)的图象的性质一次函数ykxb的图象是经过(0，b)点和点的一条直线当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 (4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数ykxb(k，b为常数，k0)，当y0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线ykxb，确定它与x轴交点的横坐标二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0或axb0(a、b为常数，a0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围要点诠释： （1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与y2相交；y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；y1与y2平行；y1与y2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k0)或(k0)或xy=k(k0).（2）反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；比例系数；自变量的取值为一切非零实数；函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质： 反比例函数k的符号k>0k<0图像 性质x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x 的增大而减小.x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.（7）反比例函数的应用 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=. .(8)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数(0)，反比例函数，则 当时，两函数图象无交点； 当时，两函数图象有两个交点，坐标分别为(，)，(，)由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程组求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1已知：如图所示，（1）写出ABC三个顶点的坐标；（2）作出ABC关于x轴对称的ABC，并写出ABC三个顶点的坐标；（3）作出ABC关于y轴对称的ABC，并写出ABC三个顶点的坐标 【思路点拨】（1）直接根据图形写出ABC三个顶点的坐标；（2）找到ABC的各顶点关于x轴对称的对称点并顺次连接成图形；（3）找到ABC的各顶点关于y轴对称的对称点并顺次连接成图形【答案与解析】（1）ABC三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所画图形如下所示，ABC即为所求，ABC三个顶点的坐标分别为：A（4，-3），B（3，-1），C（1，-2）；（3）所画图形如下所示，ABC即为所求，ABC三个顶点的坐标分别为：A（-4，3），B（-3，1），C（-1，2） 【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键.举一反三：【变式】如图所示，ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设ABC的面积为S1，AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 【答案】选B（点B的平移是关键，平移后ABCB1，两个三角形等底等高）2(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，如果所作正方形的对角线都在y轴上，且的长度依次增加1个单位，顶点都在第一象限内(n1，且n为整数)，那么A1的纵坐标为_，用n的代数式表示的纵坐标为_；(2)若设的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式【思路点拨】作A1Dy轴于点D，可推出A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1= =2，A2的纵坐标= =4.5，则An的纵坐标为 【答案与解析】(1)2，；(2)A1的横坐标等于，A2的横坐标等于，A3的横坐标等于，A4的横坐标等于， 的横坐标等于，纵坐标等于 ， ，代入消去n+1，得 y关于x的解析式为，说明点A1，A2，A3，A4，都在抛物线上如图所示 【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点类型二、一次函数3（2015泰州）已知一次函数y=2x4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值【思路点拨】（1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d1+d2的值；（2）根据题意确定出d1+d2的范围，设P（m，2m4），表示出d1+d2，分类讨论m的范围，根据d1+d2=3求出m的值，即可确定出P的坐标；（3）设P（m，2m4），表示出d1与d2，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d2，代入d1+ad2=4，根据存在无数个点P求出a的值即可【答案与解析】解：（1）对于一次函数y=2x4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，4），P为AB的中点，P（1，2），则d1+d2=3；（2）d1+d22；设P（m，2m4），d1+d2=|m|+|2m4|，当0m2时，d1+d2=m+42m=4m=3，解得：m=1，此时P1（1，2）；当m2时，d1+d2=m+2m4=3，解得：m=，此时P2（，）；当m0时，不存在，综上，P的坐标为（1，2）或（，）；（3）设P（m，2m4），d1=|2m4|，d2=|m|，P在线段AB上，0m2，d1=42m，d2=m，d1+ad2=4，42m+am=4，即（a2）m=0，有无数个点，a=2【总结升华】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，直线CMx轴点B与点A关于原点对称，直线yx+b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD (1)求b的值和点D的坐标(2)设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标【答案】(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(-1，0) 因为直线yx+b(b为常数)经过点B，所以0-1+b，解得b1，所以直线为yx+1 因为点C的坐标为(0，4)，直线CMx轴，所以点D的纵坐标为4 因为直线yx+1与直线CM交于点D，当y4时，4x+1，解得x3，所以点D的坐标为(3，4)(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC4，CD3，所以OD5 因为点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，则分三种情况： 当PDPO时，有， 因为，所以，解得所以点P的坐标为(，0) 当PDOD时，PO2CD6， 所以点P的坐标为(6，0)当ODPO时，PO5， 所以点P的坐标为(5，0)类型三、反比例函数4如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tanBOA=（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长【思路点拨】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tanBOA= 即可求出AB的长度；（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度.【答案与解析】解：（1）点E（4，n）在边AB上，OA=4， 在RtAOB中，tanBOA=，AB=OA×tanBOA=4×=2.（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），点D为OB的中点，点D（2，1）.点D在反比例函数（k0）的图象上，解得k=2.反比例函数解析式为.又点E（4，n）在反比例函数图象上，.（3）如图，设点F（a，2），反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，解得a=1.CF=1.连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2t，在RtCGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，OG=t=.【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键举一反三：【高清课程名称： 反比例函数 高清ID号： 408332 关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式1】（2015枣庄）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b成立的x的取值范围；（3）求AOB的面积【答案】解：（1）点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x0）的图象上，m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）又点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，解得，则该一次函数的解析式为：y=2x+8；（2）根据图象可知使kx+b成立的x的取值范围是0x1或x3；（3）分别过点A、B作AEx轴，BCx轴，垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点令2x+8=0，得x=4，即D（4，0）A（1，6），B（3，2），AE=6，BC=2，SAOB=SAODSBOD=×4×6×4×2=8【变式2】已知双曲线和直线相交于点和点，且.求的值.【答案】由得 故 或. 又即，舍去，故所求的值为.类型四、函数综合应用5如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和轴、轴分别交于点A和点B，且OAOB1.这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（、），由点P向轴、轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F.（1）分别求出点E、F的坐标（用的代数式表示点E的坐标，用的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求OEF的面积（结果用含、的代数式表示）； （3）AOF与BOE是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；（4）当点P在曲线上移动时，OEF随之变动，指出在OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.【思路点拨】在证明三角形相似时，EBOOAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P（，）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键.【答案与解析】（1）点E（，），点F（，）（2） （3）AOF与BOE一定相似，下面给出证明OAOB1FAOEBOBEAF点P（，）是曲线上一点，即AF·BEOB·OA1AOFBOE （4）当点P在曲线上移动时，OEF中EOF一定等于45°，由（3）知，AFOBOE，于是由AFOBBOF及BOEBOFEOF EOFB45°.【总结升华】此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清ID号： 406069关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式1】如图所示，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A(0，0) B(,-) C(，) D(，)【答案】当AB与直线y-x垂直时，AB最短(如图所示) 直线y-x，AOB45°AOB是等腰直角三角形过B作BCx轴于C A(1，0)，OA1，此题选B【变式2】在同一坐标系中，一次函数y(1-k)x+2k+l与反比例函数的图象没有交点，则常数k的取值范围是_【答案】由题意知 两函数图象无交点， 6如图所示，点A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数的图象上(1)求m、k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式【思路点拨】（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；【答案与解析】 (1)由题意可知m(m+1)(m+3)(m-1)解得m3 A(3，4)，B(6，2) k4×312(2)存在两种情况，如图所示当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1) 四边形AN1M1B为平行四边形， 点A对应点N1，点B对应点M1 点A的横坐标为3，点B的纵坐标为2 线段N1M1可看做由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的 N1点的坐标为(0，4-2)，即N1(0，2)； M1点的坐标为(6-3，0)，即M1(3，0) 设直线M1N1的函数表达式为yk1x+2，把x3，y0代入，解得 直线M1N1的函数表达式为 当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2) ABN1M1，ABM2N2，ABN1M1，ABM2N2， N1M1M2N2，N1M1M2N2 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称 M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2) 设直线M2N2的函数表达式为，把x-3，y0代入，解得 直线M2N2的函数表达式为综上所述，直线MN的函数表达式为或【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用.