北京大学量子力学课件-第13讲ppt.ppt

第第 十十 三讲三讲 . 力学量力学量算符的算符的本征值和本征函数本征值和本征函数性质性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的相应不同本征值的本征函数是正交的nmmn)u,u( C.SchmitC.Schmit正交化方法正交化方法 如果一个本征值如果一个本征值An对应对应S个线性无关的本征个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过过Schmit正交化方法正交化方法来实现正交归一化来实现正交归一化 。 取取 使使 ； 取取 ，显然，保证显然，保证 ，且，且 。同样有同样有 )(n)(nc111 111 ),()(n)(n),(c)(n)(n)(n)(n)(n211222 021 ),()(n)(n122 ),()(n)(n 这必然有这必然有 ，且，且 ),(),(c)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n322311333 03231 ),(),()(n)(n)(n)(n133 ),()(n)(n D. 测量结果的几率测量结果的几率 在在 中测量力学量中测量力学量 取值取值 的几率为的几率为 E. 直接可观测的力学量的本征函数构成直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。一完备组。 如如 是力学量是力学量 的本征函数组，则任的本征函数组，则任一波函数可以以一波函数可以以 展开展开 AnA 2121nnnn),(),(),(c n An . .连续谱本征函数连续谱本征函数“归一化归一化” （1 1）连续谱本征函数）连续谱本征函数“归一化归一化” 连续谱正交归一化的本征函数连续谱正交归一化的本征函数 应应使其有使其有 nnnc )(),( “正交归一正交归一”的动量本征函数为的动量本征函数为 “正交归一正交归一”的坐标本征函数的坐标本征函数ikxke21)x( )kk(dxe21x)kk( i )xx()x(x 而由而由由这可见（如由这可见（如 已归一化）已归一化）， 为测量为测量 取值在区域取值在区域 中的几率中的几率。 (2) (2) 函数函数 A. A. 函数的定义和表示函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而是函数不是一般意义下的函数，而是 一分布。但习惯上仍将它看作一函数。一分布。但习惯上仍将它看作一函数。dx)x()x(* dc2)x( dc2 d 其重要性和意义在积分中体现出来；其重要性和意义在积分中体现出来； 它可用一函数的极限来定义。它可用一函数的极限来定义。 ab 0 x0 x0)x( ba0000 x)b, a (0 x)b, a ()x(fdx)xx()x(f 事实上事实上 0 x00 x1)x(U)x(U)x( )ax()ax()ax(U)ax(Ulim)x(0a )x(Flima0a我们已一些我们已一些表示式（作为函数参量极限）表示式（作为函数参量极限）220 xlim1 xLxsinlim1L 2LLxLxcos1lim1)x( 2LLxcosLlim2 2x0e1lim2xieilim)x( B. 函数的性质函数的性质 它们在积分中出现时，左边表示可被右它们在积分中出现时，左边表示可被右 边表示代替。边表示代替。 推论：如有方程推论：如有方程AB，则，则 )x()x( )x(a1)ax( 0)x(x )x(cxBxA 例例 所以所以 ， 由于由于 对于对于 a, ba, b都大于零或都小于零，两式相等；都大于零或都小于零，两式相等； 但但a0a0或或a0, b0, b1，即有简并。无妨设，即有简并。无妨设 的本征函数组的本征函数组 为为 （这也是一完备组）。将（这也是一完备组）。将 展开展开B) r (mu) s (nm, r) r (msmnr) s (nuc ) s (nn) s (nAAr) r (msmnrmn)uc(Ar) r (msmnrm)uc(A这表明，这表明， 是它们的共同本征函数。是它们的共同本征函数。 r) r (msmnrr) r (msmnrucBA)ucA(Br) r (msmnrm)ucA(Br) r (msmnrnr) r (msmnrucAucAr) r (msmnruc 它们是完备的（对所有它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对集合）。因对任一波函数任一波函数s ,nns) s (nd s ,nr ,m) r (msmnrnsucdm, s ,nr) r (msmnrns)uc(d（3）角动量的共同本征函数组）角动量的共同本征函数组球谐函数球谐函数 因因 ，它们有共同本征函数组。，它们有共同本征函数组。 A本征值：本征值： 设：设： 是它们的共同本征函数，则是它们的共同本征函数，则 0L,Lz2 LL,LzLL,Lzlmulm2llm2uuL lmlmzumuL 固定固定 时，时，m 有上，下限。有上，下限。 由于，由于， 2y2x2z2LLLL2lm 2/1lm LLLLLzzlm22llm2z2u)m(u)LL( l 称称 为降算符为降算符 。 同理同理 m) 1m()2m() 3m( LlmlmzlmzuL) 1m(u)L(LuLLlmlmzlmzuL) 1m(u)L(LuLLlmulmuLlm2u)L(lm3u)L(称称 为升算符（对为升算符（对 而言）而言）。 由于，由于， 固定时，固定时，m 有上，下限。有上，下限。若设若设 为上限，为上限， 为下限，则为下限，则LzLm) 1m()2m() 3m(lmulmuLlm2u)L(lm3u)L(l mm0uLlm0uLlm 为上限，为上限， 为下限，为下限，0uLLlm0uLLlm0u)mm(u)LLL(lm22llmz2z2 0u)mm(u)LLL(lm22llmz2z2 mm1mm) 1m(m) 1m(mll mm 所以，只能取所以，只能取 的本征值可取的本征值可取 的的本征值可取本征值可取 lmm2l) 1l ( l zLl ,) 1l ( ,)2l (, 0 ,)2l( ,) 1l( ,l2L 即，取即，取 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。当然，自由粒子的角动量同样是量子化的当然，自由粒子的角动量同样是量子化的。 B本征函数本征函数 lmlmumui , 3 , 2 , 1 , 0l mlml于是有解于是有解根据根据 ，所以，所以而而 ，即得，即得0eALuLil) (llll0)(A)cotldd(ell) 1l ( i llsin1ddsin)cotldd()coti(eLi imlm) , (lme ) (Au现求归一化系数现求归一化系数0201l221ddsincsincAl) (ll1)!1l 2() ! l (2) 1(c221l2l22所以，归一化的本征函数所以，归一化的本征函数显然，显然， 现先讨论现先讨论 的归一化问题，然后给出的归一化问题，然后给出 的具体形式。的具体形式。 若若 是归一化的，是归一化的，则则 illll)(llesin)!l(! l)(u412211illml) , (lmesin)L( culmulmulmu lm1lmuLuduL)uL(lm*lmduLLulm*lm22mm) 1l ( l lm1lmuL) 1ml)(ml (1u现求归一化的波函数现求归一化的波函数)coti(eLi illllesinLcuL illiesin)coti(ec ) 1l ( ilesin)cotldd(c 所以，所以， ) 1l ( illlesin)sinddsin1(c ) 1l ( il2l1llesinddsin1) 1(1l 2cu )l ( illillesinddsin)coti(e)(lcuL12211112 l2l) 1l () 1l ()2l ( i2sinddsin1)sinddsin1(e) 1(1l 2c以此类推以此类推 )2l ( il2)1l (22llesinddsin1ddsin1) 1(21) 1l 2(l 2cu 1mmllmsin1) 1()ml (21) 1ml () 1l 2(l 2cu iml2mlesinddsin1ddsin1dd iml2mlmllesin)cosdd(sin1)!ml ()!ml (4) 1l 2(! l2) 1( 于是得于是得 的共同本征函数组的共同本征函数组-球谐函数球谐函数 称为缔合勒让德函数（称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。）。zL,L2 immlmlme )(cosP)!ml ()!ml ()l()(Y4121 lmlmlmlmlsin)cosdd(sin)!ml ()!ml ()l(! l)()(cosP21412211 当当 给定，也就是给定，也就是 的本征值给的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数定，那就唯一地确定了本征函数 。 其性质：其性质： 1. 1. 正交归一正交归一 2 2封闭性封闭性 z2L,L),(Ylm mmd),(Y),(Yl lml*lm )()(sin1),(Y),(Y0llmlm*lmlm m, l 3 所以，所以， )(cosP)!ml ()!ml () 1()(cosPmlmml 0m immlmmle )(cosP)!ml ()!ml (4) 1l 2() 1(Y immle )(cosP)!ml ()!ml (4) 1l 2(*lmmmlY) 1(Y 因此，因此， 4. 4. 宇称宇称 即即 5.5.递推关系递推关系 *lmmmlY) 1(Y , rr ，l) 1(1lmlmY) 1ml)(ml (YL1lmlmY) 1ml)(ml (YLml1m1lmY (4) 力学量的完全集力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，量子力学描述与经典描述大不一样，在量在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？状态描述完全确定呢？ 设：设： 是力学量所对应的算符，并且对易是力学量所对应的算符，并且对易 如如 是是 的本征函数。的本征函数。 B,A)x(uaA