《分部积分法2》PPT课件.ppt

4.5 分部积分法分部积分法14.5 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式例例 题题小结小结 思考题思考题 作业作业integration by parts第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4.5 分部积分法分部积分法2 xxxde解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.vuvuuv )(vuuvvu )( xvu d vud分部积分公式分部积分公式 xxdarcsin特点特点 被积函数是两个不同函数的乘积被积函数是两个不同函数的乘积.)()(xvvxuu 及及设函数设函数具有连续导数具有连续导数.uv xvu d uvuvd 两边求不定两边求不定积分积分一、一、分部积分公式分部积分公式 xxxdln 4.5 分部积分法分部积分法3 恰当选取恰当选取u和和dv是一个关键是一个关键,v要易求要易求;uvuvvudd 分部积分公式分部积分公式选取选取u和和dv的一般原则是的一般原则是: .dd易易求求比比vuuv(1)(2) 4.5 分部积分法分部积分法4,cos xu 例例 .dcos xxx求求解解 xxxdcos xxcos22显然显然,vu d,xu xxvdcosd xxxdcosxxsin .cossinCxxx 法一法一法二法二,ddxxv 二、例二、例 题题,22xv ,ddxu xvsin xxdsin xxxdsin22uvuvvudd 选择不当选择不当, 积分更难进行积分更难进行.,dsindxxu 4.5 分部积分法分部积分法5例例 求求.de2 xxx解解,2xu xvxded xxxde2 xx e2.)ee(2e2Cxxxxx (再次使用分部积分法再次使用分部积分法), xu xvxded ,d2dxxu xxxde2uvuvvudd xve 4.5 分部积分法分部积分法6,de )(,dcos)(,dsin)(xxPxaxxPxaxxPkxnnn , 为常数为常数其中其中akuuu次多项式次多项式为为nxPn)( 4.5 分部积分法分部积分法7例例 求求.darctan xxx解解,arctanxu 22xv xxxdarctan xxarctan22 xxarctan22.)arctan(21arctan22Cxxxx ,d11d2xxu xxvdd uvuvvudd xxxd11222 xxd)111(212 ,xu xxvdarctand ,ddxu v 4.5 分部积分法分部积分法8例例 求求.dln3 xxx解解,ln xu xxvdd3 xxxdln3 xx ln414.161ln4144Cxxx 44xv xxud1d 化简型化简型 xx d413uvuvvudd 4.5 分部积分法分部积分法9,darctan)(,darcsin)(xxxPxxxPnn xxxPndln)( uuu注注利用利用,2cotarcarctan xx可把可把,darcsin)(xxxPn 的积分的积分,darccos)(xxxPn 化为化为xxxPndcotarc)( xxxPndarctan)( ,2arccosarcsin xx 4.5 分部积分法分部积分法10例例 求求.dsine xxx解解 xxxdsine xxdesin xxxxxdcosesine xxxxdecossine xxsine xxxxxxdsine)cos(sine xxxdsine.)cos(sin2eCxxx 注意循环形式注意循环形式uudv )(sindexxu )cosdecose (xxxxudv 应用分部积分法时应用分部积分法时,可不明显地写出如何选可不明显地写出如何选取取u、dv, 而直接套用公式而直接套用公式. (对较简单的情况对较简单的情况) xxsine 4.5 分部积分法分部积分法11均为常数均为常数其中其中bak,的选取可随意的选取可随意vu d,注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u,d)cos(e,d)sin(exbaxxbaxkxkx 4.5 分部积分法分部积分法12例例 求求.d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxxxd1)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)cos(ln)sin(ln xx d)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx udvtx ln或令或令 循环型循环型 xxxxd)cos(ln)sin(lnuvd分部积分法分部积分法 4.5 分部积分法分部积分法13 使用分部积分法的关键是正确地选取使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为因为“幂三指幂三指”好积好积, 分部积分法分部积分法把被积函数视为两个函数的乘积把被积函数视为两个函数的乘积, 按按“反对幂三指反对幂三指”的顺序的顺序, 前者为前者为 ,u.dv后者为后者为常用的方法常用的方法:它自己简单它自己简单.)小结小结,u.dv “反对反对”的导数比的导数比 4.5 分部积分法分部积分法14.d)(1,sin)(sin2xxfxxxxxf 求求设设考研数学三考研数学三, 6分分解解 令令,sin2xt 则有则有,sintx ,arcsin)(tttf xxx于是于是 xxfxxd)(1)d(1x xxxd1arcsin xx1arcsin xarcsin2 x 1dxxarcsin12 xd.2arcsin12Cxxx ,arcsintx xx1112在积分过程中常常兼用各种积分法在积分过程中常常兼用各种积分法. 4.5 分部积分法分部积分法15曾用换元积分做过曾用换元积分做过, 现可用分部积分做现可用分部积分做!例例xxad22 uxxaxxaxd22222 22xax 22xax.arcsin22d22222Caxaxaxxxa xxaaxad22222 xxad22axa arcsin2 4.5 分部积分法分部积分法16dvu 利用分部积分法可以得到一些递推公式利用分部积分法可以得到一些递推公式:例例 试证递推公式试证递推公式 nnnaxxnanaxxnaaxx)(d212)(21)(d222222122), 2 , 1( n 证证,d)(122xaxInn 设设由分部积分法得由分部积分法得xaxxnxaxxInnnd)(2)()(12222 4.5 分部积分法分部积分法17xaxxnaxxInnnd)(2)(122222 xaxnaxxnnd)(2)(12222 naxx)(222x naxx)(22由此推出由此推出.212)(2122221nnnInanaxxnaI ), 2 , 1( n nnI2122 nIna2a 2a xaxnnd)(1222xaxnand)(121222 4.5 分部积分法分部积分法18 利用这个递推公式及公式利用这个递推公式及公式 xaxId1221nnnInanaxxnaI22221212)(21 xaxId)(12222 ), 2 , 1( n 递推型递推型如如 22221axxaCaxa arctan2121 n递推型递推型xxxxnndcos,dsin 如如 递推公式递推公式, 虽然积分没有具体求出来虽然积分没有具体求出来, 但每但每用一次公式用一次公式n就降低一次至两次就降低一次至两次, 连续应用连续应用. 就可以求出每个积分就可以求出每个积分In .Caxa arctan1 4.5 分部积分法分部积分法19定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式设设u(x), v(x)在区间在区间a, b上有上有连续的导数连续的导数,则则 vuduv uvd由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法abbaab及及N-L公式公式.对于定积分对于定积分, 有类似的分部积分公式有类似的分部积分公式. 4.5 分部积分法分部积分法20例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin. 334 uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(3022 11 xd)arctan(xx 30 301xx 4.5 分部积分法分部积分法21解解 10dsinelimxnxxn考研数学考研数学(二二), 填空题填空题, 4分分原式原式=)d(x e0 10sinlimnxn dcosesine lim1010 xnxnnxxxn dcosesine lim101xnxnnxn dsinecosesinelim102101xnxnnxnnxxn dsinecosesinelim10211xnxnnnnnxn 10dsinelimxnxxn11cossine1lim22nnnnnnn . 0 或先不定积分的分部积分再定积分或先不定积分的分部积分再定积分. 4.5 分部积分法分部积分法22例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx . 2ln31 考研数学考研数学(一一)计算计算5分分原式原式=u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx211131 4.5 分部积分法分部积分法23解解 2113de1xxx考研数学考研数学(一一)填空填空4分分原式原式= dx1 2121d1e1xxxx 211e1xxxt1 tttde 211分部积分分部积分ttde211 dee211211tttt .2e 2e 4.5 分部积分法分部积分法24例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f 102d)(21xxfx无法直接求出无法直接求出f (x),因为因为ttsin没有初等原函数没有初等原函数,分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,所以用所以用分部积分法分部积分法做做.u 10)(xf21选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为u. 21dsin)(xtttxf 110)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 4.5 分部积分法分部积分法25 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x ).11(cos21 )1(21f 102d)(21xxfx 10d)(xxxf, 0)1( f)(xf xx2sin2 注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算. 4.5 分部积分法分部积分法26例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设,sin1xun ,dsindxxv xnun 2sin)1(d ,cos xv 00 xxxxInnndcosdsin22 2020d)(cosd)(sinxxfxxfn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数,22143231 nnnn,3254231 nnnn,dcosxx nI201cossinxxn J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出. xxxnndcossin)1(2022 4.5 分部积分法分部积分法27x2sin1 0)1( n21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止 20dsinxxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 200dxI 201dsinxxI因为因为,2, 1 nI201cossinxxn 2 nn换成换成xxxnndcossin)1(2022 xxnInndsin)1(202 4.5 分部积分法分部积分法28所以所以,21 nnInnI 4231nInnnn02143231Innnn 22143231 nnnn21 nnInnI 4231nInnnn13254231Innnn 13254231 nnnn,12 nnInnI4223 nnInnI当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时, 4.5 分部积分法分部积分法29例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsinxxxxInnn ,3254231,22143231nnnnnnnnn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用. 注注 54 7632 1 65 87 43 21 2 xxxxdcosdsin207207109 4.5 分部积分法分部积分法30例例 xxxd42202 解解,sin2tx 令令 原式原式tttd)sin(sin162042 . 用公式用公式tcos2 n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn0 2 t2sin402ttxdcos2d ttdcos2 4.5 分部积分法分部积分法31考研数学考研数学(一一)计算计算11分分如图如图, 曲线曲线C的方程为的方程为 y = f (x), 点点(3, 2)是它的是它的一个拐点一个拐点, 直线直线 l1与与l2分别是曲线分别是曲线C在点在点(0, 0)与与(3, 2)处的切线处的切线, 其交点为其交点为(2, 4). 设函数设函数f (x)具有三阶连续具有三阶连续导数导数, 计算定积分计算定积分 302.d)()(xxfxxyxO312412342l1lC)(xfy 解解 302d)()(xxfxx 30d)()12(xxfx302)()(xfxx 2分分 30d)()12(xxfx4分分30)()12(xfx 30d)(2xxf6分分分部积分分部积分 4.5 分部积分法分部积分法32考研数学考研数学(一一)计算计算11分分如图如图, 曲线曲线C的方程为的方程为 y = f (x), 点点(3, 2)是它的是它的一个拐点一个拐点, 直线直线 l1与与l2分别是曲线分别是曲线C在点在点(0, 0)与与(3, 2)处的切线处的切线, 其交点为其交点为(2, 4). 设函数设函数f (x)具有三阶连续具有三阶连续导数导数, 计算定积分计算定积分 302.d)()(xxfxxyxO312412342l1lC)(xfy 30)()12(xfx 30d)(2xxf6分分 30d)(2xxf2)2(7 8分分16 30)(2xf 416 .20 11分分 4.5 分部积分法分部积分法33xx dln)1(ee1 计算计算解解 xx dlnee1用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式.e22 e11xxdlnxxdln e1 4.5 分部积分法分部积分法34.43 解解x4sin则则xxxd)tan1(sine4 xxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 221434 xxtansin4是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数, 原式原式e e 2 22n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn由于被积函数以由于被积函数以 为周期为周期,xxxd)tan1(sin)2(2ee4 计算计算xxxd)tan1(sin2e4 xxxd)tan1(sinee4 周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等. 4.5 分部积分法分部积分法35分部积分公式分部积分公式1. 原则原则: :2. 经验经验:3. 题目题目类型类型 :化简型化简型; 循环型循环型; 递推型递推型.三、小结三、小结v要易求要易求; uvd vud比比易求易求.“反对幂三指反对幂三指”的顺序的顺序, 前为前为u, 后为后为dv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd uvuvvudd 4.5 分部积分法分部积分法36 xxfxd)( )(dxfx Cxxfx2ed)(2e2)(xxxf xxfxd)( xxfxxfd)()(2e22xx .e2Cx 两边同时对两边同时对x求导求导, 得得分部积分分部积分解解思考题思考题1已知已知f (x)的一个原函数为的一个原函数为,e2x .d)( xxfx求求 xxfxfxd)()(因为因为所以所以 4.5 分部积分法分部积分法37思考题思考题2解解 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf.d)2(, 5)2(, 3)2(10 xxfxff求求, 1)0(,1 , 0)( fxf且且上连续上连续在在设设 4.5 分部积分法分部积分法38作业作业习题习题4.5(1224.5(122页页) )