2022年一中高一上学期期中考试数学试卷含解析 .pdf

优秀资料欢迎下载2016-2017 学年上海市青浦一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3 分，共 36 分）1不等式 | x+3| 1的解集是2已知 a，bR，则“ a1，b1” 是“ a+b2” 的条件3已知集合A= x|N*，xZ ，用列举法表示为4命题 “ 设 x，yZ，若 x，y 是奇数，则x+y 是偶数 ” 的等价命题是5设全集U= 1，3，5，7，集合 M= 1，| a5| ，CUM= 5，7，则 a 的值为6已知 1ab2，则 ab 的范围是7已知 x，yR+，且 x+4y=1，则 x?y 的最大值为8设 x0，则的最小值为9已知集合A= x| x23x10=0 ，B= x| mx1=0 ，且 AB=A ，则实数 m 的值是10若不等式（ab）x+a+2b0 的解是 x，则不等式axb 的解为11已知 a0，若不等式 | x4|+| x3| a在实数集 R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是12非空集合G 关于运算满足：（1）对任意a，bG，都有 a+bG；（2）存在 eG 使得对于一切aG 都有 ae=ea=a，则称 G 是关于运算的融洽集，现有下列集合与运算： G 是非负整数集，：实数的加法； G 是偶数集，：实数的乘法； G 是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法； G= x| x=a+b，a，bQ ，：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）二、选择题（每小题3 分，共 12 分）13三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“ （）” 的几何解释A如果 a b，bc，那么 ac B如果 ab0，那么 a2b2C对任意实数a和 b，有 a2+b22ab，当且仅当a=b 时等号成立D如果 a b，c0 那么 acbc 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载14已知 a，b，c 满足 cba且 ac0，则下列选项中不一定能成立的是（）Aabac Bc（ba）0 Ccb2ca2Dac（ac） 0 15设实数 x， y 为任意的正数， 且+=1，求使 m2x+y 恒成立的m 的取值范围是 （）A （，8B （ ，8）C （8，+）D 8，+）16设 x 表示不超过x 的最大整数 （例如： 5.5 =5， 一 5.5 =6） ，则不等式 x25 x+ 60 的解集为（）A （2，3）B 2，4）C 2，3D （2，3三、解答题（满分52 分）17 （8 分）已知集合A= x| x2mx+m219=0 ，B=x| x25x+6=0 ，C= 2，4 ，若 AB，AC=，求实数 m 的值18 （10 分）若集合A= x| ax23x+2=0，aR有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围19 （10 分）已知命题甲：关于x 的不等式 x2+（a1）x+a20 的解集为空集；命题乙：方程 x2+ax（ a4）=0 有两个不相等的实根（1）若甲，乙都是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若甲，乙中有且只有一个是假命题，求实数a 的取值范围20 （12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？21 （12 分）已知集合M= x| x24x+30 ，N= x| x3| 1 （1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算，使MN= x| 1x2；（3）若有 P= x| ，按（ 2）的运算，求出（NM） P2016-2017 学年上海市青浦一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3 分，共 36 分）1 （ 2015 秋?上海校级期中）不等式| x+3| 1 的解集是（，4）（ 2，+）【考点】 绝对值不等式的解法【专题】 不等式的解法及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载【分析】 直接转化绝对值不等式，求解即可【解答】 解：不等式 | x+3| 1 等价于 x+31 或 x+3 1，解得 x（ ，4）（ 2，+） 故答案为：（ ， 4）（ 2，+） 【点评】 本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力2 （ 2016 秋?青浦区校级期中）已知a，bR，则“ a1，b1” 是“ a+b2” 的充分不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】 对应思想；转化法；简易逻辑【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可【解答】 解：若 a1，b1，则 a+b2，是充分条件，若 a+b2，则推不出a1，b1，比如： a=0，b=3 也可以，故答案为：充分不必要【点评】 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题3 （2016 秋?青浦区校级期中）已知集合A= x|N*，xZ ，用列举法表示为1，2，3，4 【考点】 集合的表示法【专题】 计算题；集合【分析】 利用已知条件，化简求解即可【解答】 解：集合 A= x|N*，xZ ，可知，=2，=3，=6，则 x=1，2，3，4集合 A= x|N*，xZ = 1，2，3，4故答案为： 1，2，3，4【点评】 本题考查集合的表示方法，是基础题4 （2016 秋?青浦区校级期中）命题“ 设 x，yZ，若 x，y 是奇数，则x+y 是偶数 ” 的等价命题是设 x，yZ，若 x+y 不是偶数，则x，y 不都是奇数【考点】 命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系【专题】 转化思想；定义法；简易逻辑【分析】 原命题与其逆否命题的真假性相同，为等价命题，根据原命题写出逆否命题，可得答案【解答】 解：原命题与其逆否命题的真假性相同，为等价命题，故命题 “ 设 x，yZ，若 x，y 是奇数，则x+y 是偶数 ” 的等价命题是：“ 设 x，yZ，若 x+y不是偶数，则x，y 不都是奇数 “ ；故答案为：设x，yZ，若 x+y 不是偶数，则x，y 不都是奇数【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题及其真假关系，难度不大，属于基础题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载5 （ 2010?河西区一模）设全集U=1，3，5，7，集合 M= 1，| a5| ，CUM= 5，7，则a 的值为2 或 8【考点】 补集及其运算【专题】 计算题【分析】题目给出了全集U= 1， 3， 5， 7 ， 给出了全集的子集M 及 M 的补集，由 M （CUM）=U 可求 a的值【解答】 解：由 U= 1，3，5，7 ，且 CUM= 5，7，所以， M= 1，3 ，又集合 M= 1，| a5| ，所以 | a5| =3所以，实数a 的值为 2 或 8故答案为： 2 或 8 【点评】 本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题6 （ 2016 秋?青浦区校级期中）已知1ab2，则 ab 的范围是3ab0【考点】 不等式的基本性质【专题】 转化思想；转化法；不等式【分析】 根据不等式的基本性质，可得2b1，进而 3ab2，结合 ab，则 ab0，可得答案【解答】 解： 1ab2，ab0，2b1， 3ab2，综上可得： 3ab0；故答案为： 3ab0 【点评】 本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题7 （ 2007?上海）已知x，yR+，且 x+4y=1，则 x?y 的最大值为【考点】 基本不等式【专题】 计算题【分析】 变形为 x 与 4y 的乘积，利用基本不等式求最大值【解答】 解：，当且仅当x=4y=时取等号故应填【点评】 考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型8 （ 2016 秋?青浦区校级期中）设x0，则的最小值为21【考点】 基本不等式【专题】 转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载【分析】 可令 t=x+1（t1） ，则=t+1，再由基本不等式可得最小值【解答】 解：由 x0，可得 x+11，可令 t=x+1（t1） ，即 x=t1，则=t+121=21当且仅当t=，即 x=1，取得最小值故答案为： 21【点评】 本题考查函数最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题9（2016 秋?青浦区校级期中） 已知集合 A= x| x23x10=0， B= x| mx1=0， 且 AB=A ，则实数 m 的值是0 或或【考点】 集合的包含关系判断及应用【专题】 定义法；集合【分析】 求出集合 A 的元素，根据AB=A ，建立条件关系即可求实数m 的值【解答】 解：由题意：集合A= x| x23x10=0 =2，5，集合 B= x| mx1=0，AB=A ，B? A 当 B=?时，满足题意，此时方程mx1=0 无解，解得： m=0当 C?时，此时方程mx1=0 有解， x=，要使B?A，则满足或，解得：m=或m=综上可得：实数m 的值： 0 或或故答案为： 0 或或【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础属于基础题10 （2015 秋?上海校级期中）若不等式（ab）x+a+2b0 的解是 x，则不等式axb的解为 x| x 1 【考点】 其他不等式的解法【专题】 不等式的解法及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载【分析】 由题意可得ab，=，求得=1，a0，从而求得不等式axb 的解集【解答】 解：由于不等式（ab）x+a+2b0 的解是， ab，=，求得= 1，a0，故不等式axb，即 x=1，即x 1，故答案为： x| x 1 【点评】 本题主要考查一次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题11 （2015 秋?上海校级期中）已知a0，若不等式 | x4|+| x3| a 在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是（1，+）【考点】 绝对值不等式的解法【专题】 不等式的解法及应用【分析】 法一：利用绝对值不等式的性质：| a|+| b| | ab|（当且仅当a 与 b 同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让 a大于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a 的取值范围法二：由绝对值的几何意义知| x4|+| x3| 表示实数轴上的点到3 和到 4两点的距离之和，故范围可求出，由题意a 大于| x4|+| x3| 的最小值即可【解答】 解：法一： | x4|+| x3| | x4+3x| =1，| x4|+| x3| 的最小值为1，又不等式 | x4|+| x3| a的解集不是空集，a1法二：由绝对值的几何意义知| x4|+| x3| 表示实数轴上的点到3 和到 4两点的距离之和，故| x4|+| x3| 1，由题意，不等式| x4|+| x13| a 在实数集上的解不为空集，只要 a（ | x4|+| x13| ）min即可，即 a1，故答案为：（ 1，+）【点评】 本题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向12 （2016 秋?青浦区校级期中）非空集合G 关于运算满足：（1）对任意a，bG，都有 a+bG；（2）存在 eG 使得对于一切aG 都有 ae=ea=a，则称 G 是关于运算的融洽集，现有下列集合与运算： G 是非负整数集，：实数的加法； G 是偶数集，：实数的乘法； G 是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法； G= x| x=a+b，a，bQ ，：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【考点】 元素与集合关系的判断名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载【专题】 新定义；集合思想；集合【分析】 逐一验证几个选项是否分别满足“ 融洽集 ” 的两个条件，若两个条件都满足，是“ 融洽集 ” ，有一个不满足，则不是“ 融洽集 ” 【解答】 解： 对于任意非负整数a，b 知道： a+b 仍为非负整数，所以abG；取 e=0，及任意非负整数a，则 a+0=0+a=a，因此 G 对于为整数的加法运算来说是“ 融洽集 ” ； 对于任意偶数a，b 知道： a+b 仍为偶数，故有a+bG；但是不存在eG，使对一切aG 都有 ae=ea=a，故 的 G 不是“ 融洽集 ” 对于 G=二次三项式 ，若 a、bG 时，a，b 的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故 G 不是和谐集，故 不正确； G= x| x=a+b，a，bQ，设 x1=a+b，x2=c+d，则设 x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合 G，取 e=1，a1=1a=a，因此 G 对于实数的乘法运算来说是“ 融洽集 ” ，故 中的 G 是“ 融洽集 ” 故答案为 【点评】 本题考查了对新定义“ 融洽集 ” 理解能力，及对有关知识的掌握情况关键是看所给的数集是否满足“ 融洽集 ” 的两个条件二、选择题（每小题3 分，共 12 分）13 （2016 秋?青浦区校级期中）三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“ （）” 的几何解释A如果 a b，bc，那么 ac B如果 ab0，那么 a2b2C对任意实数a和 b，有 a2+b22ab，当且仅当a=b 时等号成立D如果 a b，c0 那么 acbc 【考点】 基本不等式【专题】 不等式的解法及应用【分析】 可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为 c（c2=a2+b2） ，可得外围的正方形的面积为c2，也就是 a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和 b，有a2+b22ab，即可得出【解答】 解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2） ，则外围的正方形的面积为c2，也就是 a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a 和 b，有 a2+b22ab，当且仅当a=b 时等号成立故选： C【点评】 本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题14 （2016 秋?青浦区校级期中）已知a，b，c 满足 cba 且 ac0，则下列选项中不一定能成立的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载Aabac Bc（ba）0 Ccb2ca2Dac（ac） 0 【考点】 命题的真假判断与应用【专题】 探究型；定义法；不等式【分析】 根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案【解答】 解： cba且 ac0，故 c0，a0，abac 一定成立，又 ba0，c（ba） 0 一定成立，b2与 a2的大小无法确定，故 cb2ca2不一定成立，ac0，ac（ac）0 一定成立，故选： C 【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，实数的性质，难度不大，属于基础题15 （2016 秋?青浦区校级期中）设实数x，y 为任意的正数，且+=1，求使 m2x+y 恒成立的 m 的取值范围是（）A （，8B （ ，8）C （8，+）D 8，+）【考点】 基本不等式【专题】 转化思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】 不等式 2x+ym 恒成立 ? （2x+y）minm利用 “ 乘 1 法” 和基本不等式的性质即可得出【解答】 解： x0，y0 且+=1，2x+y=（ 2x+y） （+）=4+4+2=8，当且仅当y=2x=4 时取等号不等式2x+ym 恒成立 ? （2x+y）minmm（ ，8 ，故选： A【点评】 本题考查了 “ 乘 1 法” 和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题16 （2010?浦东新区校级模拟）设 x 表示不超过x 的最大整数（例如： 5.5 =5， 一 5.5 =6） ，则不等式 x25 x+ 60 的解集为（）A （2，3）B 2，4）C 2，3D （2，3【考点】 一元二次不等式的应用【专题】 计算题；压轴题【分析】 先将 x 看成整体，利用不等式 x25 x+ 60 求出 x 的范围，然后根据新定义 x 表示不超过x 的最大整数，得到x 的范围【解答】 解：不等式 x25 x+ 60 可化为：（ x 2） （ x 3） 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载解得： 2 x 3，所以解集为2 x 3，根据 x 表示不超过x 的最大整数得不等式的解集为：2x4 故选 B【点评】 考查学生理解新定义的能力，一元二次不等式，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查整体思想、化归与转化思想属于基础题三、解答题（满分52 分）17（ 8 分）（2015 秋?上海校级期中） 已知集合 A= x| x2mx+m219=0， B=x| x25x+6=0，C=2， 4，若 AB，AC=，求实数 m 的值【考点】 交集及其运算【专题】 集合【分析】 由 A，B，C，以及 A B，A C=，确定出 m 的值即可【解答】 解：由 B 中方程变形得： （x2） （x3）=0，解得： x=2 或 x=3，即 B=2，3，A= x| x2mx+m219=0，C=2， 4，且 AB，AC=，将 x=3 代入集合 A 中方程得： m22m10=0，即（ m5） （m+2）=0，解得： m=5 或 m=2，当 m=5 时， A= x| x25x+6=0= 2，3 ，此时 AC=2，不合题意，舍去；当 m=2 时， A= x| x2+2x15=0 = 3， 5 ，满足题意，则 m 的值为 2【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键18 （10 分） （2016 秋?青浦区校级期中）若集合 A= x| ax23x+2=0，aR有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围【考点】 子集与真子集【专题】 集合思想；转化法；集合【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零【解答】 解：因为集合A= x| ax23x+2=0 的子集只有两个，所以 A 中只含一个元素当 a=0 时， A= ；当 a0 时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式=98a=0 得 a=，综上，当a=0 或 a=时，集合 A 只有一个元素故答案为： 0 或【点评】 解题时容易漏掉a0 的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载19 （10 分） （2016 秋?青浦区校级期中）已知命题甲：关于x 的不等式x2+（a1）x+a20的解集为空集；命题乙：方程x2+ax（a4）=0 有两个不相等的实根（1）若甲，乙都是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若甲，乙中有且只有一个是假命题，求实数a 的取值范围【考点】 命题的真假判断与应用【专题】 转化思想；转化法；简易逻辑【分析】 命题甲：；命题乙： a 4，a2；进而可得： （1）甲，乙都是真命题，（2）甲，乙中有且只有一个是假命题，的实数a 的取值范围【解答】 解：命题甲：由不等式x2+（a1）x+a20 的解集为空集，得 =（a1）24a20 （ 1 分）解得：（1 分）命题乙：由方程有两个不相等的实根得=2a2+4（a4） 0， （1分）解得： a 4，a2； （1 分）（1）甲，乙都是真命题的条件是a（ ， 4）（ 2，+）（2 分）（2）甲，乙中有且只有一个是假命题的条件是，或，故（4 分）【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题的真假判断，二次不等式的解法，方程根的个数及其判断，难度中档20 （12 分） （2016 秋?青浦区校级期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？【考点】 基本不等式在最值问题中的应用【专题】 应用题；函数思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】（1）设矩形栏目宽度为xcm，高为，利用两栏的面积之和为18000cm2，建立方程，即可写出矩形广告面积S（x）的表达式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 优秀资料欢迎下载（2）根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值根据等号成立的条件确定广告的高和宽【解答】 解： （1）设矩形栏目宽度为xcm，高为（2 分）（4 分）（2）根据题意得：等号成立的条件是：x=75，y=120 （2 分）答：当广告的高为75cm，宽为 120cm 时，矩形广告的面积最小（1 分）【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练21 （12 分） （2015 秋?上海校级期中）已知集合M= x| x24x+30 ，N=x| x3| 1 （1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算，使MN= x| 1x2；（3）若有 P= x| ，按（ 2）的运算，求出（NM） P【考点】 子集与交集、并集运算的转换【专题】 计算题；集合【分析】（1）利用不等式的解法，求出集合M，N；（2）MN 中的元素都在M 中但不在 N 中；（3）P= x| =（2.5，3.5，按（ 2）的运算，即可求出（NM）P【解答】 解： （1）M= x| x24x+30 = x| 1x3，N=x| x3| 1 = x| 2x4 （2）MN 中的元素都在M 中但不在 N 中，定义 MN=x| xM 且 x?N（3）P= x| =（2.5，3.5 ，NM= x| 3x4，（ NM） P= x| 3x4【点评】 本题考查集合的运算，考查学生解不等式的能力，属于中档题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -