2022年一次函数知识点总结与典型例题,推荐文档 .pdf

1 一次函数知识点总结与典型例题知识点一：变量、常量及函数定义函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为是 x 的函数。【注：判断y 是否为 x 的函数，只要看x 取值确定的时候，y 是否有唯一确定的值与之对应】例 1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ D ）A. 21yx B. 21yx C. 1yxx D. 22yx例 2、下列各图中表示y是x的函数图像的是（ D ）知识点二、自变量取值范围：当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。例 1、函数31xy的自变量x的取值范围是例 2、函数3xy的自变量x的取值范围是例 3、函数22)x（y的自变量x的取值范围是知识点三、阅读函数图像【注：阅读函数图像时必须先弄清楚x、y 各表示什么】例 1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9 点离开家， 15 点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3）返回时平均速度是多少？解;（ 1) 小强到离家最远的地方需要12小时：此时离家30km. （ 2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是1510.5=hkm/710(3 ）返回时平均速度是30（ 15-13 ）=15km/h 知识点四、一次函数和正比例函数的定义1、 正比例函数定义：一般地，形如y=kx(k 是常数， k0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 . 【注：正比例函数一般形式 y=kx k 0 x 的指数为 1】2、 一次函数定义：一般地，形如y=kxb(k,b是常数， k0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数 . 当 b=0 时，y=kxb 即 y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【注：一次函数一般形式 y=kx+b k 0 x 指数为 1 b 取任意实数】例 1 函数2(1)1kykxk是一次函数，则k 值为 k=1 . 例 2 函数是12()mymm x正比例函数，则m值为 m=-2 。x y O Ax y O Bx y O Dx y O C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 XYAPOB知识点五：专题1-一一次函数y=kx+b 中 k、b 的作用k- 决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k0 直线经过第一、 三象限， y 随 x 的增大而增大； k0 直线经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减小。b- 决定了直线与y 轴交点的位置 :b 0 直线与 y 轴的正半轴相交； b0 直线与 y 轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。例 1、已知一次函数y=mx+n-2 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ D ）A.m0,n 2 B. m0,n 2 C. m0,n 2 D. m0,n 2 例 2、如果,0,0 bcab那么一次函数0cbyax的图像的大致形状是（ A ）知识点六：专题2-一一次函数图像的交点问题一次函数 y=kx+b 与 x 轴的交点 -令 y=0，则 kx+b=0，解出 x 即为直线与x 轴的交点的横坐标。一次函数 y=kx+b 与 y 轴的交点 -令 x=0，则 y=b, 即直线与 y 轴交点坐标为（0，b）两个一次函数y=k1x+b1与 y=k2x+b2的交点 -联立 y=k1x+b1 组成关于 x、y 的二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标y=k2x+b2例 1、一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是（2，0），与 y 轴交点坐标是 (0,4) 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4 例 2、两直线 y=2x-1 与 y=x+1 的交点坐标为（ D ）A （ 2，3）B （2， 3）C （ 2， 3）D （2，3）知识点七：专题3-一一次函数解析式的确定待定系数法确定一次函数解析式-先设出一次函数解析式为y=kx+b 只需两个点的坐标代入建立k 与 b 的二元一次方程组解出 k、b 即可。例 1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P（-2, 2） ，一次函数与x 轴、 y 轴交与 A、B两点，且 B（0，6）（1）求两个函数的解析式（2）求 AOP的面积解;(1) 设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k1x+b 把 p(-2,2)代入 y=kx，得 -2k=2 k=-1 正比例函数解析式为：y=-x 把 p(-2,2) B(0,6)代入 y= y=k1x+b，得 -2 k1+b=2 k1=2 b=6 b=6 一次函数解析式为：y=2x+6 (2) 令 y=0, 则 2x+6 =0 x=-3 A(-3 ，0) OA=3 AOP的面积 =OBOA21=6321=9 例 2、 求与直线 y=-2x+3 平行，且经过（2，-2）的直线的解析式。解:设直线的解析式为y=kx+b 直线与 y=-2x+3 平行k=-2 把（ 2，-2）代入 y=-2x+b, 得-2 2+b=-2 b=2 设直线的解析式为y=-2x+2 知识点八：专题4-一一次函数与方程方程组一次函数与一元一次方程-一次函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+b=0 的解一次函数与二元一次方程组-两个一次函数y=k1x+b1与 y=k2x+b2的交点坐标即为二元一次方程组 y=k1x+b1 的解。y=k2x+b2例 1、一次函数y=kxb 的图象如图所示，则方程kx+b=0 的解为（ C ）Ax=2 B y=2 Cx=-1 Dy=-1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 例 2、若函数y=x+b和y=ax+3 的图象交于点P，则关于x、y的方程组3axybxy的解为 _ 知识点九：专题5-一一次函数与不等式一次函数值大于（小于）0-由直线与 x 轴交点的横坐标数形结合分析。两个一次函数的大小-由两条直线的交点向x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。例 1、如图，直线 y=kx+b(k 0）与x轴交于点（ 3,0 ） ，关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是（）A3xB3xC0 xD0 x例 2、如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3), 则不等式2xax+4的解集为 ( ) A3x2 Bx3 Dx3知识点十：专题6-一一一次函数的平移与翻折一次函数的平移-口诀“上加下减，左加右减”【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x 上加减】一次函数的翻折-沿 x 轴翻折将y 换成“ -y ”, 沿 y 轴翻折将 x 换成“ -x ”例 1、直线143xy向下平移 2 个单位，再向左平移1 个单位得到直线4743xy例 2、直线 y= -3x+7关于 x 轴对称的直线解析式为y=3x-7 ; 关于 y 轴对称的直线解析式为y=3x+7 知识点十一：专题7-一一一次函数的应用例 1、 【新疆 2014 年中考试题】 如图 1 所示， 在 A，B两地之间有汽车站C站，客车由 A地驶往 C站，货车由B地驶往 A地两车同时出发，匀速行驶图 2 是客车、货车离C站飞路 程 y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象（1）填空： A，B两地相距千米；（2）求两小时后，货车离C站的路程 y2与行驶时间x 之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？解： （ 1）填空： A，B两地相距 420 千米；（2）由图可知货车的速度为602=30 千米 / 小时，货车到达A地一共需要2+36030=14 小时，设 y2=kx+b，代入点（ 2，0） 、 （14，360）得，解得，所以 y2=30 x60；（3）设 y1=mx+n ，代入点（ 6，0） 、 （0，360）得解得，所以 y1=60 x+360 由 y1=y2得 30 x60=60 x+360 解得 x=答：客、货两车经过小时相遇名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 例 2、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售甲店标价477 元克，按标价出售，不优惠乙店标价530 元克，但若买的铂金饰品重量超过3 克，则超出部分可打八折出售 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式； 李阿姨要买一条重量不少于4 克且不超过10 克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？解： （1）y甲=477x y乙= 530 x (x3) 即： y乙= 530 x (x3) 5303+5300.8 （ x-3 ） (x3) 424x+318 (x3) (2) 当 y甲= y乙时， 477 x=424x+318 x=6 即：买该种铂金饰品重量为6 克时甲乙两商店一样。当 y甲y乙时， 477 x 424x+318 x6 即：买该种铂金饰品重量在4x6 时到甲商店购买最合算当 y甲y乙时， 477 x 424x+318 x6 即：买该种铂金饰品重量在6x10 时到乙商店购买最合算例 3、 【新疆 2012 年中考试题】库尔勒某乡A，B 两村盛产香梨， A 村有香梨 200 吨， B村有香梨 300 吨，现将这些香梨运到C ，D两个冷藏仓库。已知 C仓库可储存240 吨，D仓库可储存260 吨，从 A村运往 C，D 两处的费用分别为每吨40元和 45 元；从 B村运往 C，D两处的费用分别为每吨25 元和 32 元。设从 A村运往 C仓库的香梨为x吨， A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为Ay元，By元。（1）请填写下表，并求出Ay，By与x之间的函数 关系式；（2）当x为何值时， A村的运费较少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。解： （ 1）填写如下：C D 总计A x 吨（200 x）吨200 吨B （240 x）吨（60+x）吨300 吨总计240 吨260 吨500 吨由题意得： yA=40 x+45（200 x）=5x+9000；yB=25（240 x）+32（60+x）=7x+7920；（2）对于 yA=5x+9000（0 x200），k= 50，此一次函数为减函数，则当 x=200 吨时， yA 最小，其最小值为 5200+9000=8000 （元）；（3）设两村的运费之和为W （0 x200） ，则 W=yA+yB= 5x+9000+7x+7920=2x+16920，k=2 0，此一次函数为增函数，则当 x=0 时， W 有最小值， W 最小值为 16920 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -