2022年第十四讲两角和与差的三角函数及二倍角公式 .pdf

学习好资料欢迎下载第十四讲：两角和与差的三角函数及二倍角公式考向预览1、熟记两角和与差的三角函数及二倍角公式，掌握公式的特征并能灵活运用，能根据问题情境准确选用公式进行三角函数的简单恒等变形，掌握三角函数求值的基本题型与求解方法。2、综合运用三角公式进行三角变换，常用的变换：变换角度、变换名称、变换解析式结构。考点盘清1、两角和与差的三角函数公式:)sin(。)cos()tan(2、二倍角公式：2sin2tan。22sincos2cos= 3、辅助角公式：)sin(cossin22baba，( 其中角的终边过点P（a,b ） ,abtan-，（). 若点 P在第一象限 , 则取锐角；若点 P在第二象限 ,则取钝角；若点P在第三象限 , 则取负钝角；若点P在第四象限 , 则取负锐角。4、三角变换的基本题型化简、求值、证明（1）化简：三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：所含函数和角的名类或种类最少；各项的次数尽可能地低；出现的项数最少；一般应使分母和根号不含三角函数式；对能求出具体数值的，要求出值依据三角函数式的结构，常采用的三角变换方法有：异名化同名、异次化同次、高次降次、异角化同角。（2）求值：常见的有给值求角、给角求值、给值求值。课前演练1.cos(4530 )的值为 ( ) A.22B.32C.234D.2642.已知 (2，)，sin 35，则 tan( 4)等于 ( ) A.17B7C17D7 3.(2011上海卷 )函数 y2sinxcosx 的最大值为5. 4.已知 cos( 6) sin 4 35，则 sin( 76)的值是 ( ) ()3给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明常用方法：从左推到右；从右推到左证明；左右互推名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A2 35B.235C45D.455.定义运算aba2abb2，则 sin6cos6( ) A1234B1234C134D1346.(2012永州模拟 )若 f(sinx)3cos2x，则 f(cosx)( ) A3cos2xB3sin2xC3cos2xD3sin2x7.若1tanx1tanx2013，则1cos2xtan2x 的值为2013. 8.已知 tan( )25，tan( 4)14，那么 tan( 4)的值是322. 9.已知 (2，)，化简 21sin 22cos 。 2sin2. 高频考点一给角求值或化简【例 1】(1)化简1sin cos sin2cos222cos(0 ) ；(2)计算 tan12 tan18 33tan12 tan18 的值【点评】 对于给角求值 (化简 )问题，往往所给角都是非特殊角，基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子，分母出现公约数进行约分求值练习：若270 360 ，则三角函数式12121212cos2 的化简结果是 ( ) Asin2B sin2Ccos2D cos2二给值求值【例 2】若 sin(34 )513，cos(4 )35，且 0 4 34 ，求 cos( )的值【点评】 对于给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值， 关键在于 “变角 ”使“所求角 ”变为“已知角 ”；若角所在象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的灵活应用，如 ( )， 22， 2 2等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载练习：已知cos 17，cos( )1314，且 0 2. (1)求 tan2的值； (2)求角 的值三给值求角【例 3】(1)已知 cos 17，cos( )1314，且 0 2，求 的值；(2)已知 、 、 (0，2)，sin sin sin ，cos cos cos ，求 的值【点评】 给值求角问题， 一般都需先求出待求角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 (2，2)，则求 sin或 tan ；若 (0，)，则求 cos或 tan ，避免增角四通过恒等变形后的求值问题【例 4】(2011 广东卷 )已知函数 f(x)2sin(13x6)， xR. (1)求 f(0)的值； (2)设 ， 0，2，f(3 2)1013，f(3 2) 65，求 sin( )的值【点评】 对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的联系五解综合问题【例 5】已知2x0，sinxcosx15. (1)求 sinxcosx 的值； (2)求3sin2x22sinx2cosx2cos2x2tanx1tanx的值【点评】 (1)由 sinxcosx 的值，求 sinxcosx 的值是常规问题，对于较复杂的问题，可通过解方程组：sinxcosx？或 sinxcosx？sin2x cos2x1求出 sinx、cosx 的值后再进行解决(2)切化弦、平方、降次、活用公式是化简、求值常用的方法练习：已知sin2 35， (54，32)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1)求 cos的值； (2)求满足 sin( x)sin( x)2cos 1010的锐角 x. 【点评】 三角函数化简一般先看角的变换，再需三角函数名称的变换，然后是幂及解析式结构的变换，思路为：统一函数名称，一般有弦化切与切化弦；统一角度，即涉及单角、倍角、半角、等角时，可根据具体情况由倍角公式及其变形将角化为同一个角；统一次数，即式子中各项的次数大小不一时，可考虑升幂或降幂，使各项次数统一方法提炼123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：同角三角函数关系 可实现函数名称的转化诱导公式及和、差、倍角的三角函数 可以实现角的形式的转化倍角公式及其变形公式 可实现三角函数的升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化122()2()()22准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时应注意角之间的差别是的整数倍时仍可运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形，最后运用诱导公式实现目标解决角的变换常见途径有：，等对公式会 “ 正用 ”“ 逆用 ”“ 变形用 ” 22123cos212sin2tantantan()(1tantan)4coscos常见变换公式有：，等三角函数求值的常见题型有两类：给角求值和给式求值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -