2022年第四章图形的相似 .pdf
名师推荐精心整理学习必备第四章图形的相似一成比例线段1. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n, 那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n , 或写成nmBA. 2. 成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于c 与 d 的比 , 即dcba, 那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例线段, 简称比例线段 . 注意点 : a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍；由于线段a、b 的长度都是正数, 所以 k 是正数；比与所选线段的长度单位无关, 求出时两条线段的长度单位要一致. （2）比例的基本性质: 若dcba, 则 ad=bc； 若 ad=bc, 则dbcadcba或合比 性质 :如果dcba，那么ddcbba；等比性质：如果nmdcba（0ndb） ，那么ndbmcaba注意： 若没有“ b+d+n0”这个条件，需分类讨论.二. 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图 1，1l/2l/3l，则EFBCDEAB. 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例. 定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例. 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 .三. 黄金分割如图 , 点 C 把线段 AB分成两条线段AC和 BC,如果ACBCABAC, 那么称线段AB被点 C黄金分割, 点 C 叫做线段AB的黄金分割点 ,AC 与 AB的比叫做黄金比，一条线段有两个黄金分割点.215ABAC：0.618:1 ；ABBC253名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备四相似多边形一般地 , 形状相同的图形称为相似图形. 1. 概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 . 2. 性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方 . （3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似. （两个条件缺一不可）五三角形的相似（ “”不需分类讨论， “相似”需分类讨论）1. 探索三角形相似的条件相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边( 或两边的延长线) 相交的直线 , 所截得的三角形与原三角形相似. 两角对应相等；两边对应成比例,且夹角相等；三边对应成比例. 一个锐角对应相等；两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例. 2. 相似三角形的判定定理的证明3. 利用相似三角形测高（3 种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法 1: 可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高. （2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度. （3）利用反射名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备运用方法3：光线的入射角等于反射角. 4. 相似三角形的性质（1）对应角相等、 对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. （2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意 : 证两个相似三角形, 与证两个全等三角形一样, 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. （3）性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5. 图形的位似：位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比. 位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）. 位似图形的画法：（1）画出基本图形；（2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形. 例题： 如图，已知 ABC和点 O.以 O为位似中心，求作ABC的位似图形，并把ABC的边长扩大到原来的两倍. 注意： 给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图. 位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k. 例如： 点 A(x,y) 的对应点为A，则A点的坐标可以这样确定xA =xAk，yA =yAk 即 A （kx,ky ）或 xA =xA(-k)，yA =yA(-k) 即 A （-kx,-ky）例 题 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 四 边 形ABCD 的 四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心 ,相似比为21的位似名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备图形 . 题：ABC三个顶点坐标分别为A(2,3) ，B(2,1) ，C(6,2) ，以点 O为位似中心， 相似比为2，将 ABC放大，点 A的对应点A的坐标为 _ 总结： 至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似. （1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称 : 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转 : 绕原点旋转180 度（中心对称） ：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似 : 以原点为位似中心，相似比为k 的位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
