2022年线性空间习题解答终稿 .pdf

第六章线性空间习题解答P267.1 设,MNMNM MNN证明:证明: 一方面.MNM另一方面 , 由于MM,NM得.NMM2 证明: (1)()()(LMNMLNM. (2)()()(LMNMLNM证明 : (1) .),(LNxMxLNMx且则设即.MxNxMx或且Lx且. 于是有)()(LMNMx. 另一方面 , 因为)(, )(LNMLMLNMNM, 所以)()()(LNMLMNM. (2) 一方面 , )(,)(LMLNMNMLNM, 所以)()()(LMNMLNM. 另一方面 , .),()(LMxNMxLMNMx且则若).(,LNMxMx则若xLxNxMx所以且则.,.LN总之有)()()(),(LNMLMNMLNMx所以. 3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于 n(n 1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设 A 是 n n实矩阵 , A 的实系数多项式 f(A)的全体 , 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角 )矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 : ),(),(),(2121212211aabbaababa, )2)1(,(),(211111akkkbkabak. (6) 平面上全体向量 ,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k=0. (7) 集合与加法同 (6), 数量乘法为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - k= . (8) 全体正实数 R+, 加法和数量乘法定义为 : ab=ab, ka=ak. (1) 否. ,因为 2 个 n 次多项式相加不一定是n 次多项式 . 取 f(x)=xn, g(x)=xn-1. 则f(x)+g(x)=-1 不再是 n 次多项式 .(2) 是. 因为集合)(|)(xRxfAfV作为 n级实矩阵全体的子集 , 关于矩阵的加法和数量乘法封闭 . (3) 是. 因为实对称 (反对称 ,上三角 )矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称 ,上三角)矩阵. (4) 否. 设|V为平面上不平行的向量, =(a,b) 0. 取 =(a+1,b), =(a-1, b), 则, V, 但是, + V. (5) 证明: 10显然 V非空. 02 2 个代数运算封闭 . 03先设Rtkbarbaba,),(),(),(332221及2121211231212312312312323123122323123(1 )(,)( 2 ) ()( (), ()(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(,(). . . .()() ,()(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aabba araaabba abaaaaaabbba araaabbbba aaaa12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,).()(),()()(0,0)01(5)1(1,11 (1 1)(,)2aaa bbba aa aa arabaa baabaababaaabaa b的负为21112211111(6)()(,(1)211.(, (1)(1)() )22klklalbl laklak lbk kak kla2111(1(1)2klaklbklalk=（kla1,klb1+211(1)2klka=kl(7)(k+l)=（ （k+1）a1,(k+l)b1+211()(1)2klkla=(k+1)a1,(k+l)b1+22211(2)2klklkl a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 221111111111(,(1)() (1)22kalakbk kabl lakalakl(8)2121212121212121()(,)( (), (1)() )2kkaa bba ak aak bba ak kaa22121122121211(,(1)(1)(1)22kakakbk kakbk kaka ak ka a2221211221211(,(1)(1)()22kakakbk kakbk kak a a2212122211(,(1)(1)22ka kbk kaka kbk ka满足 3,故 V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义 3 之(5): 1100，但这里。取即得矛盾。(7)0,2.(1 1).1.1.0,不做成。违反分配律，则会有矛盾(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R+ P=R ab=abkkaa) 证明: 1. V 非空且关于,封闭.2. 任取 a,b,c, ,Rk lR(1) ab=ba=ba(2) (ab)c=(ab)c=a(bc)= a(bc)(3) 零元 0=1, a0=a1=a(4) 负元-a=1a,a(-a)=a1a=1=0. (5) 1 a=a1=a (6) k (l a)=k (a1)=(a1)k=alk=(lk)a(7) (k+l)a=a(k+l)=akal=akal=k ala(8) k(ab)=k (ab)=(ab)k=akbk= akbk= kakb 故 R+关于做成 R 上的向量空间 . 4. 在线性空间中 , 证明: (1) k0=0. (2) ()kkk. 证明: (1) 设是线性空间的任一个向量 , 由零向量的性质+0= , 再由分配律 : k( +0)=k = k +k0, 所以 k0=0. (2) 由(1)得 k( +()=k0=0=k +k(), 得 k()= k . 所以k()=k( +()=k + k(- )=k k . 5. 证明: 在实函数空间中 , 0, cos2t, cos2t是线性相关的 . 证明: cos2t=2cos2t 1, 所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1 2cos2t cos2t=0. 21.cos,cos2tt线性相关6. 如果是 f1,f2,f3线性空间 Px中的三个互素的多项式 , 但是其中任意两个都不互素, 证明它们线性无关 .证:123122321(,)1,(,)1,(,)1,(,)1,fffffffff设112233( )( )( )0,a f xa fxa fx不妨 设10a, 则)()()(3132121xfaaxfaaxf.由 于 (23,ff )=d(x) 1, 那 么d(x) 整 除23,ff 的 组 合 , 故1( ) |( ),d xfx于 是 有123() | () ,() ,() )dxfxfxfx, 与123(,)1fff矛盾!7. 在 P4中, 求 在4321,下的坐标 . (1) 1 , 1 , 2, 1,1 , 1, 1, 1,1,1 , 1, 1,1, 1, 1, 1,1 ,1 , 1, 14321. (2) 1 ,0,0 , 0,1, 1,1 ,0,0, 0, 1, 1,1, 3, 1, 2,1 ,0, 1 , 14321. 解: (1) 设4321,eeee是单位坐标向量 , 1111111111111111A, 则Aeeee),(),(43214321. 1121),(1121),(143214321Aeeee, 所以 在4321,下的坐标是41,41,41,45. (2) 同理解得所以在4321,下的坐标是 (1,0, 1,0). 8求下列线性空间的维数与一组基. (1) 数域 P是的空间n nP. (2) n nP中的全体对称 ( 反对称, 上三角 )矩阵作成的数域P上的线性空间 . (3) 第 3 题的(8)中的空间 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - (4) 实数域上由矩阵A 的全体实多项式组成的空间, 其中20000001A. 解: (1)n nP的一组是2, .1,2,.,ijEi jnn共有个( 矩阵)元素 . 它 们 线 性 无 关 , ,10()0, ,0nijijijiji ja EAai j a.且 任 何,1(),nn nijijiji jBbPBb E则, 所以2dim, ,1,2,.,n nijPnEi jn它的一个基是. (2)n nP中全体对称矩阵集合S(P), 它的一个基是,ijjiEEij1dim()(1)2S Pn nn nP中全体反对称矩阵集合K(P), 它的一个基是,ijjiEEij1dim( )(1)2K Pn n. n nP中全体上( ),ijU TEij三角矩阵集合它的一个基是1dim( )(1)2U Tn n. n nP中全体真下( ),ijDTE ij三角矩阵集合它的一个基是1dim( )(1)2D Tn n(3) 对于第 2 题之(8)中的空间 R+, 这是一个一维的线性空间, 事实上 , 我们可以取其中的一个数 e(无理数 ), 则 e 1, 且对于任意的 a R+, 去 k=lna, 有a=k e=elna. 即 a 可由 e线性表出 .(4) 解：因为3=1, 所以22234111.11AAE. 故对任意的设2012 ,nnfxR xfxaa xa xa x , 则2036147258fAaaaEaaaAaaaA故2210AbAbEbAf. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - E,A,A2可表示 V 中所有元素。如果21220000 xyzxEyAzAxyzxyE系数行列式222111130,01xyz所以只有零解. 即，E、A、2A线性无关，由定理1, dimV=3, 它的一个基是 E, A, 2A.9. 在P4中, 求由基4321,到基4321,的过渡矩阵 , 并求向量 在所指基下的坐标 .(1)123412341,0,0,0 ,0,1,0,0 ,0,0,1,0 ,0,0,0,1 ,x x x x12342,1 , 1,1 ,0.3.1.05.3.2.1 ,6.6.1.3 ,(2) 1234(1,2, 1,0)(1, 1,1,1)( 1,2,1,1)( 1, 1,0,1), 1234(2,1,0,1)(0.1,2,2)( 2,1,1,2)(1,3,1,2), (1,0,0,0). (3) 12341,1,1,11,1, 1, 1 ,1, 1,1, 11, 1, 1,1 . 12341, 1, 0 , 1 ,2 , 1, 3, 1 ,1, 1, 0 , 0 ,1,1,1, 1. 求12341,0,0,1,在下的坐标 . 解(1) 设过渡矩阵是 A, 即(4321,)=(4321,)A, 所以3101121163316502A. 在4321,下的坐标为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - .2726319127732003127233194271911131944321432114321xxxxxxxxAxxxx(2) 求由求由基4321,到基4321,的过渡矩阵 , 并求 在1234,下的坐标. 解: (4321,)=(4321,eeee)A, (4321,)=(4321,eeee)B, 所以(4321,)=(4321,eeee)B= (4321,)A1B=(4321,)T.求得过渡矩阵是0100111010111001T, 在1234,下的坐标为133,132,135,135. (3) 与(2)类似,得到基4321,到基4321,的过渡矩阵为410414141043414321414141214743T. 在4321,下的坐标为).23,4 ,21,2(10继第 9 题1）求一非零向量 ，它在基4321,与4321,下有相同的坐标. 解: 由条件可知 , 应该求向量 使得 =4433221144332211xxxxxxxx. 即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - =(4321,)4321xxxx=(4321,)4321xxxx. (44332211,)4321xxxx=0, 求得4321xxxx=kkkk.11. 证明实数域作为自身上的线性空间与第3 题之(8)中的空间同构 . 证明: 已知第 3 题之(8)中的空间是一个一维的线性空间. 实数域作为自身上的线性空间元素一维的 . 事实上 , 1就是它的一组基 ,任何向量 a R 都可由 1 线性表出 : a=a 1. 由定理 12, 同一个数域上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相同, 所以这两个空间同构 . 12设 V1, V2都是线性空间 V 的子空间且 V1? V2, 证明如果21dimdimVV, 则21VV. 证明: 取的 V1基: r,.,21, 则r,.,21 V2, 由于21dimdimVV,得r,.,21也是 V2的基. 得21VV. 13. 设 An nP, (1) 证明全体与 A 可交换的矩阵组成n nP的一个子空间 . 记作 C(A).(2) 当 A=E 时, 求 C(A). (3) 当12.An时, 求 C(A)的维数和一组基 . 解: (1) 0C A. kP, AYXYAXAAYAXYXAACYX,A k XkA XkX AXk A. ACkXYX, C（A）是n nP的一个子空间 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - (2) ,n nxpXEEXXC E有故nnnnPCECEP但,()n nAEC AC EP当时. (3) 设 X=(xij) C(A), 由于12.An, 由 AX=XA, 得nnnnnnnnnnnnnxxxnxxxnxxxnxnxnxxxxxxx212222111211212222111211222222. 于是有 ixij=jxij, (i-j)xij=0, 当 i j, xij=0. X 是对角形矩阵 .11,22,nnE EE线性无关 , 是 C(A)的一个基 , 故dimC(A)=n. 14. 设33,213010001PA求中全体与 A 可交换的矩阵所成子空间的维数好一组基. 解: 因为BEA113000000100010001213010001, E与任何矩阵乘积可交换, 所以只需求 X 使得 BX=XB. 设ifchebgdaBXihgfedcbaX333000000,=XB=iiifffccc333, 得 c=0, f=0. 且iifcihebigda3333, 03033ihebigda为含有 7 个未知量具有两个方程的齐次线性方程组 , 取 a,b,d,e,i为自由未知量 .12345, , , ,a b d e i依次取得C(A)的一组基 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 113000000010010000001001000030000010003000001. dimC(A)=5. 15. 设0321rccdc, 且,031cc证明rLL. 证明 : 3231131232131,0,0ccccrrccccrccdccc. 所以向量组, 和 , 可以相互线性表出 , 等价的向量组生成相同的子空间, 所以rLL. 16. 在 P4中, 求4321,生成的子空间的基与维数. (1) (1,1,1,1).),(-1,1,-3,0(1,2,0,1),(2,1,3,1),4321解: 1000100001101111111012200110111111110311102113124321.,.0000100001101111421为 极 大 无 关 组421,是该子空间的一组基, 该子空间的维数是3.解法 2. (4321,)=000013000010111113102630001011111111130311211112. 得421,是该子空间的一组基, 该子空间的维数是3.(2) 0000000000211312005300420021131213511354131113124321214321,2,秩是一个极大无关组 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 214321, 2,dim L是它的一个基 . 17. 在 P4中,确定有齐次方程组0111353033304523432143214321xxxxxxxxxxxx确定的解空间的基与维数. 解: A=03734000381035321774830830523113413533135230379200038109101. R(A)=2, 基础解系含 4-2=2 个向量，可为90212,09241解空间的维数为2，基底一个是90212,09241. 18. 求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间的交的基与维数. (1)(-1,1,1,1)(1,2,1,0)21 , (1,-1,3,7)(2,-1,0,1)21. 解: 设212211,LVLV，. 若设.0,241322112413221121xxxxxxxxrVVr即则1234123412423420203070 xxxxxxxxxxxxxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1121112121110353110302220117011710121001011101040026001300260000有非零解如13414321xxxx即.1322dim, 3,R212121VV所以它的一个基是4, 3 ,2, 5r. (2) (1,0,1,1)(1,1,0,0)21, (0,1,1,0)(0,0,1,1)21. 解：由于这 4 个向量线性无关 , 所以两个子空间的交为 0. (3) )(-1,0,1,-1(3,1,1,1)(1,2,-1,-2321, )(-1,2,-7,3)(2,5,-6,-521.由302024102121110111132121321秩为 3. 3d i m1V, 2dim2V设.0,24132211251433221121xxxxxxxxxrVVr即则则得035207602520235432154321542154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxR4,21321, 145dim, 4dim2121VVVV故. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 取方程组一个非零解0, 1 ,2, 1, 3,54321xxxxx即213211,23VVr是一个所求的基 . 19. 设 V1， V2分别是齐次线性方程组nnxxxxxx21210与的解空间 , 21VVPn. 证明: 由于线性方程组021nxxx的系数矩阵的秩为1，所以解空间 V1是 n-1 维的. nxxx21的系数矩阵nn)1(11111111的秩为 n-1, 所以解空间 V2是一维的 . dimV1+dimV2=n. 对任意的2121),.,(VVaaan, 有02121nnaaaaaa且,得=0. 所以021VV. 所以21VVPn. 20. 如果212111211121,VVVVVVVVVV那么. 证法 1. 设,.,021221212111121211VVVVVV由于12111VVV及1211V1, 得).(0,0112112V再考虑到12111VVV, 故.00000. 0,0212111211向量有唯一分解式于是21211VVVV证法 2. 2121121dimdimdimdimdimdimVVVVVV且.0,0,0,021221111211121121VVVVVVVVVVV所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 0)(21211VVV, 0)(21112VVV, 0)(12112VVV. 即21211VVVV. 21. 证明：每一个n 维线性空间都可以表示n 个一维子空间的直和. 证明: 设n,21是该线性空间的一组基 , 令 Wi=L(i), i=1,2,n. 设 0 向量的表达式为 0= nkkk2211, 由于n,21线性无关得 : 021nkkk, 且表达式唯一 . 因此nWWWV21. 22. 证明siiV1是直和的充要条件是.011ijjiVV证 明: 必 要性 . 若 故若siiV1为直 和, 则0),.,2, 1(1sijjjiVVsi, 所以.011ijjiVV充分性 . 若12121,0,0sisiisiVV不是直和 , 有不全为且. 设121,kss为中第一个不为 0 的向量 , 则112110()kkkjKjVW显然若 k=120000,0,0121kS矛盾而又0kkkkWVV 从而与已知矛盾，故SsiiVVVV12123. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R3. (1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间? (2) 设有过原点的三条直线, 这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1, L2, L3, 问 L1+L2, L1+L2,+L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来. (3) 就用该三维空间的例子来说明若U,V,X,Y 是子空间，满足 U+VX，X? Y，是否一定有 Y = Y U + Y V. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解答: (1) 当平面经过原点是线性子空间. 当平面不经过原点则不是 . (2) L1+L2:(a) 直线L1与L2重合时 (共线) ，是L1+L2一维子空间；(b) 直线 L1与L2不重合时 ( 不共线 )， L1+ L2是二维子空间.L1+L2+L3: (a) 共线当321,LLL, 生成直线 . (b) ,321共面但不共线当LLL生成平面 . (c) 321,LLL当两两不共面 , 生成空间 R3. (3) 不一定成立 . 令过原点的两条不同直线L1，L2分别构成一维子空间U和V，XUV是二维子空间， 在L1，L21决定的平面上，过原点的另一条不与L1，L2相同的直线 L3构成一维子空间Y，显然Y? X, YU = 0, Y V = 0, 因此(Y U)(Y V) = 0 故Y = (Y U)(Y V) 并不成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 第六章补充题 P.271 1. (1) 证明在nxP中, 多项式.,.,2, 1),()()(111niaxaxaxaxfniii是一组基 , 其中 a1,a2, , an是互不相同的数 .(2) 在(1) 中取 a1,a2, , an是全部的 n 次单位根 , 求由基 1，x, x2,xn-1到 f1,f2,fn的过渡矩阵 . 证明: 设12().nfxxaxaxa, 则iiaxxfxf, 并且ikafki0,()iiijjifaaa0. 如果 n=1,则1( )1fx显然(0)线性无关 . 当 n2，若12( ),( ),( )nfxfxfx 线性相关 , 不妨设)()()(221xfkxfkxfnn, 则 在1ax处 , 右 边 恒 为0, 左 边 为1112()()0njjf aaa, 矛 盾 . 12( ),( ),.,( )nf xfxfx 为nxP中 n个线性无关的向量 , 而 dimPx=n, 从而结论成立.(2)设 n 次本原单位根为, 则全体 n 次单位根为 1 , , 2, , n-1. 于是有 : ,1111221nnnxxxxxxf,112232122nnnnnnxxxxxxf.11212321nnnnnnxxxxxxf11111111),., 1(),.,(12343232211221nnnnnnnnnxxxfff. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 过渡矩阵111111111234323221nnnnnnnT. 2. 设n,21是 n 维线性空间 V 的一组基 , A 是一个 n s矩阵, 1212,snA, 证明).(),.,(dim21ARLs证明: 设使得和则存在可逆矩阵QPrAR,)(000rEPAQ. 所以1212,snA121212000,000000rrrnnnEEEPQr rrQr rrQ=12( ,.,0,.,0)rr rrQ.因为 Q 是可逆矩阵 , 所以向量组r2121,.,.,与向量组s等价. 在考虑到n,21线性无关 , P可逆, n,.,21向量组线性无关 , 所以其部分组r,.,21向量组线性无关 . 因而121212dim,srrLdim L r rrr rrrA秩秩. 3. 设),.,(21nxxxf是一个秩为 n 的二次型 , 证明存在 Rn的一个) |(21sn维的子空间 V1(其中 s为符号差 ), 使得对任一121),.,(Vxxxn, 有),.,(21nxxxf=0. 证明: 由条件fnf,秩的符号差为 S，那么 f 的正掼性指数2snp, snqf21的 负 惯 性 指 数. 存在非退化线性替换X=CY，使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - nppnnyyyyyygxxf22121211. 不妨假设 s 0, 即 p q. 取 n 维向量 Y=(y1,y2,yn)如下: 111p=(1,0,0,1,0,0)T, 222p=(0,1,0,0,1,0)T, qpqq=(0,0,1,0,1)T. 则1ng yy， ，在这些点处的值为均0. 且q,21是) |(21sn个线性无关的向量 , 如果令 V2=L(q,21), 则 dimV2=q=) |(21sn. 对于任意的 Z=(z1,z2,zn) V2, 设 Z=qqbbb2211, 则1,ng yy在 Z 的值为 0. 令),(211qCCCLV, 则 dimV1=q, 且 f 在 V1上取 0 值. Z=qqbbb2211=(b1,bq,0,0p,-b1,-bq) V2, 0)(2212212211qqqqbbbbbbbg. 对于 X=(x1,x2,xn) V1, 存在 YV2使得 X=CY, 所以 f(X)=f(CY)=g(Y)=0 4. 设 V1,V2是线性空间 V 的两个非平凡的子空间 , 证明在 V 中存在使V1, 且V2. 证明: 证法 1. .,122121，结论显然成立或若已知VVVVVVVV若1221VVVV且, 取1221,VVVV, 所以也矛盾若矛盾若.;2211VVVV.,21即为所求VV证法 2：取12,VV, 考虑lk 和. 若11VlVk且, 则(k-l)V1. 当 k l 时得矛盾 . 所以至多存在一个数k使得1Vk. 若cbVcVb且且,22, 则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22,)()()(VcbVbccbbc得由, 矛盾. 所以所以至多存在一个数 b 使得2Vb. 综上, 取 a k, a b, 21,VaVa. 5. 设 V1,V2,Vs是线性空间 V 的 s个非平凡的子空间 , 证明在 V 中存在使得不属于它们之中的任一个. 证明: 对非平凡子空间的个数s 作数学归纳法 . 当 s=1 时, 结论显然成立 . 当2s时, 命题已证 . 假设对于 s=k 时命题成立 . 考虑 s=k+1 时，121,kkV VV V皆为 V 的非平凡了空间 . 由归纳假设已经存在kiVi,.,2, 1,. 取1kV. 由上题 , 对于每一个 Vi, i=1,2,k, 至多存在一个 bi使得1kiiiVbVb且. 取lb1,b2,bk, 则.1,.,2, 1,kkiVbii名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -