2022年线段最值问题专题汇编 .pdf

线段最值问题专题类型一线段的最大、最小值1. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到 A B C，M是 BC的中点，P 是 AB的中点，连接 PM.若 BC2， BAC30 ， 则线段 PM 的最大值是 () A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第 1 题图B【解析】 在 Rt ABC 中， BC2， A30 ， AB4，根据旋转的性质，得AB 4，如解图，连接CP，P 是 AB的中点， CP2，又 M 是 BC 的中点， CM1，由三角形的三边关系，得CMCPPM，当 M、 C、P 三点共线时， PM 最大，此时， PMMCCP1 23. 第 1 题解图2. 如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上， AB8，CBA30 ，点 D 在线段 AB 上运动，点 E与点 D关于 AC对称， DFDE于点 D并交 EC的延长线于点 F.则线段 EF的最小值为 () A. 4 3 B. 2 3 C. 12 D. 2 6第 2 题图A【解析】 点 E 与点 D 关于 AC 对称， E CDE，又 DF DE， E F90 ， CDE CDF90 ， F CDF, CDCFCE, EF2CD，当 CD 最小时， EF 最小，这时 CDAB, AB8, CBA30 ，AC 4，BC 4 3，用面积法得CDACCBAB4438 2 3， EF 的最小值为EF2CD43. 3. 如图，正方形ABCD 的边长为 4，E 为正方形外一个动点，AED45 ，P 为 AB 中点，线段 PE 的最小值是 () A. 22 B. 21 C. 2 21 D. 2 22 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第 3 题图D【解析】 如解图，连接AC，BD 交于点 O, 当 E、P、O 共线时， PEOEOP 最小，四边形ABCD 是正方形， ABC ADC90 ，ABBC4， ACD45 ， AC42，ABBC, PEAB, PEBC, P 为 AB 中点，O 为 AC 的中点，OP12BC2， OC12AC22， AED45 ACD, A、C、 E、D 四点共圆， ADC 90 ， AC 为直径， O 为圆心，OEOC2 2， PEOEOP22 2, 即线段 PE 的最小值是222. 第 3 题解图4. 如图，在 RtABC 中，C90 ，AC6，BC8，点 F 在边 AC 上，并且 CF2，点 E 为边 BC 上的动点，将 CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 _第 4 题图65【解析】 如解图，当点E 在 BC 上运动时， PF 的长固定不变，即PFCF2.点 P 在以点 F 为圆心，以2 为半径的圆上运动过点F 作 FH AB 交 F 于点 P，垂足为点H，此时 PH 最短则 AFH ABC，FHBCAFAB.由已知得AF4，ABAC2BC210，FH8410，即 FH 165.P 到 AB 距离的最小值PHFH FP165265. 第 4 题解图类型二线段和的最小值5. 如图所示，正方形ABCD 的面积为 18， ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为() A. 3 B. 9 2C. 6 D. 3 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第 5 题图D【解析】 设 BE 与 AC 交于点 P，如解图，连接BD、PD.点 B 与 D 关于 AC 对称， PDPB， PDPEP BPEBE 时最小 正方形ABCD 的面积为18，AB 3 2.又 ABE 是等边三角形， BEAB32.故所求最小值为 3 2. 第 5 题解图6. 如图，矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AECG，BFDH，则四边形 EFGH 周长的最小值为 () A. 5 5 B. 10 5 C. 10 3 D. 15 3 第 6 题图B【解析】 作点 E 关于 BC 的对称点E，连接 E G 交 BC 于点 F，此时四边形EFGH 周长取最小值， 过点 G 作 GGAB于点 G ，如解图 AECG，BEBE， EG AB10， GG AD5， EGEG2GG2 5 5，C四边形EFGH2EG105. 第 6 题解图7. 如图，AB 是O 的直径， AB6，点 M 在O 上，MBA20，N 是MA的中点， P是直径 AB 上的一动点，若 AN1，则PMN 周长的最小值为 () A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第 7 题图B【解析】 如解图， 过 N 作 NN AB，交 AB 于 G，交 O 于 N ，连接 MN交 AB 于 P ，连接 NN，ON，ON，MN，OM， NGNG， N、N关于 AB 对称， MN与 AB 的交点 P 即为 PMN 周长最小时的点，N 是弧 MA 的中点，AON NOA MON20 ， MON 60 ， MON 为等边三角形，MN OM12AB3， PMN 周长的最小值为314. 第 7 题解图8. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC6，BC8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CEEF 的最小值为 () A. 403B. 154C. 245D. 6 第 8 题图C【解析】 如解图，过C 作 CGAD 交 AB 于 G，过 G 作 GFAC 于 F ，交 AD 于 E， AD 平分 CAB，点 C 与点 G 关于 AD 对称， ECE G， ECEFFG 即 GF为 CEEF 的最小值在RtABC 中， ACB90 ，AC 6，BC 8，由勾股定理得AB10，由对称性可知，AGAC6， GF AC，BC AC， GF BC，GFBCAGAB610，解得 GF 245.CEEF 的最小值为245. 第 8 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -