2022年中考数学第二轮专题突破能力提升专题集训等腰三角形探究试题 .pdf

1 专题集训 10 等腰三角形探究一、选择题1如图，点 A的坐标为 (0 ，1) ，点 B是 x 轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC ，使 BAC 90，设点B的横坐标为x，点 C的纵坐标为y，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是( A ) 【解析】如图，作ADx轴，作CDAD于点D，由已知可得，OBx，OA1，AOB90，BAC90，ABAC，点C的纵坐标是y，ADx轴，DAOAOB180，DAO90，OABBADBADDAC90，OABDAC，可证OABDAC(AAS)，OBCD，点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离 1，yx1(x0) 故选 A. 2如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2. 若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有( D ) A1 个B 2 个C3个D3 个以上【解析】如图，在OA，OB上截取OEOFOP，作MPN60. OP平分AOB，EOPPOF60，OPOEOF，OPE，OPF是等边三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60，EPMOPN，可证PEMPON(ASA)，PMPN，MPN60，POM是等边三角形， 只要MPN60，PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个二、填空题3正方形ABCD的边长是 4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若PBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 是等腰三角形，则腰长为_25或52或652_【解析】如图，取E为C，则PBPC25；在AB上取E使PEEB，如图，设AEx，(4x)2x24，解得x32，使PE52；在BP上取中点M，如图，作MEPB交DC于E. 设ECx， 由PEBE知 42x222(4x)2， 解得x12， PE22（ 412）2652. 4如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D(P，D两点不重合 ) 两点间的最短距离为 _232_【解析】如图，连结AC，BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P. 此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，四边形ABCD是菱形，ABC60，ABBCCDAD，ABCADC60，ABC，ADC是等边三角形，BODO32323，BD2BO23，PD最小值BDBP232. 三、解答题5如图，已知点A(1，2) 是反比例函数ykx图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，求点P的坐标解：反比例函数ykx图象关于原点对称，A，B两点关于O对称，O为AB的中点，且B( 1，2) ，当PAB为等腰三角形时有PAAB或PBAB，设P点坐标为 (x，0) ，A(1，2) ，B( 1， 2) ， AB1（1）22（2）225，PA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 （x1）222，PB（x1）2（2）2，当PAAB时，则有（x1）22225，解得x3或5， 此时P点坐标为 ( 3，0) 或(5，0) ； 当PBAB时， 则有（x1）2（2）225，解得x3或5，此时P点坐标为 (3，0) 或( 5，0) 综上可知P点的坐标为 ( 3，0)或 (5，0) 或(3，0) 或(5，0) 6如图，抛物线yax2bxc的图象与x轴交于A( 1，0) ，B(3，0) 两点，与y轴交于点C(0， 3) ，顶点为D. (1) 求此抛物线的解析式；(2) 探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由解： (1)抛物线yax2bxc的图象与x轴交于A( 1，0) ，B(3，0) 两点，与y轴交于点C(0，3) ，a3（1）2b3（1）c0，a3323bc0，c3，解得a1，b2，c3，即此抛物线的解析式是yx22x3；(2) 存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形，设 点P的 坐 标 为 (1，y) ， 当PAPD时 ，（11）2（0y）2（11）2（4y）2，解得y32，即点P的坐标为 (1，32) ；当DADP时，（11）20（4）2 （11）2（4y）2，解得y42 5，即点P的坐标为 (1，42 5) 或(1，42 5) ；当ADAP时，（11）20（4）2 （11）2（0y）2，解得y4，即点P的坐标是 (1，4) 或(1，4) ，当点P为(1，4) 时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为 (1，32) 或(1，425) 或(1，425) 或(1，4) 7在等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE90，且点D在直线MN上( 不与点A重合 ) ，如图 1，DE与AC交于点P，易证：BDDP.( 无需写证明过程) (1) 在图 2 中，DE与CA的延长线交于点P，BDDP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2) 在图 3 中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 ( 这是边文，请据需要手工删加) 解：(1)BDDP成立，证明：如图2，过点D作DF MN，交AB的延长线与点F，则ADF为等腰直角三角形， DADF.1ADB90，ADB290，12.在BDF与PDA中，12，DFDA，DFBDAP45，BDFPDA(ASA) ，BDDP(2)BDDP.证明：如图3，过点D作DF MN，交BA的延长线于点F，则ADF为等腰直角三角形， DADF.在BDF与PDA中，FPAD45，DFDA，BDFPDA，BDFPDA(ASA) ，BDDP( 这是边文，请据需要手工删加) 8如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B(5 ，3) ，抛物线y35x2bxc经过A，C两点，与x轴的另一个交点是点D，连结BD. (1) 求抛物线的解析式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 (2) 点P从点D出发，以每秒1 个单位长度的速度沿DB匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1 个单位长度的速度沿BAD匀速运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有符合条件t的值解： (1)矩形ABCD，B(5，3) ，A(5，0) ，C(0，3) 点A(5，0)，C(0，3)在抛物线y35x2bxc上，353255bc0，c3，解得b185，c3， 抛物线的解析式为y35x2185x3(2)在RtABD中，AB3，AD4，则BD5，sinABD45，cosABD35.以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：若PDPQ，如答图1，此时有PDPQBQt，过点Q作QE BD于点E，则BEPE，BEBQ2cosB35t，QEBQ2sinB45t，DEt35t85t，由勾股定理得DQ2DE2QE2AD2AQ2，即(85t)2(45t)242(3t)2， 整理得11t230t1250，解得t2511或t5( 舍去 ) ，t2511；若PDDQ，如答图2，此时PDt，DQABADt7t，t7t，t72；若PQDQ，如答图3，PDt，BP5t；DQ7t，PQ7t，AQ4(7t)t3，过点P作PF AB于点F，则PFPB2sinB(5t)345445t，BFPB2cosB(5t)335335t，AFABBF3(335t)35t.过点P作PE AD于点E，则四边形PEAF为矩形，PEAF35t，AEPF445t，EQAQAE(t3) (445t)95t7.在RtPQE中，由勾股定理得EQ2PE2PQ2，即 (95t7)2(35t)2(7t)2，整理得13t256t0，解得t0( 舍去 )或t5613，t5613.综上所述，当t2511，t72或t5613时，以D，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 P，Q为顶点的三角形是等腰三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -