2022年人教版八年级数学上册《全等三角形的综合、角平分线》讲义 .pdf

第 1 页 共 37 页第 7 讲全等三角形的综合、角平分线第一部分知识梳理知识点一：全等三角形的综合 平移全等型 对称全等型 旋转全等型知识点二：角平分线的性质、角平分线上的点到角的两边的距离相等；、到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、 涉及对称的模型， 一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 37 页知识点三：角平分线的作法角平分线的作法（尺规作图） 以点 O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于 C 、D 两点； 分别以 C、D为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P； 过点 P作射线 OP，射线 OP即为所求第二部分考点精讲精练考点 1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B 间的距离，先在过B点的 AB的垂线 L上取两点 C、D，使 CD=BC ，再在过 D 点的垂线上取点E ，使 A、C、E在一条直线上， ED=AB这时， 测 ED的长就得 AB得长， 判定ACB ECD的理由是（）A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、 N 的距离，如果PQO NMO，则只需测出其长度的线段是（B）APO BPQ CMO DMQ （1）（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 37 页3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B 处打开，墙壁厚是 35cm，点 B与点 O 的垂直距离 AB长是 20cm，在点 O 处作一直线平行于地面，在直线上截取 OC=35cm ， 过 C作 OC的垂线， 在垂线上截取 CD=20cm ，连接 OD，然后，沿着 D0 的方向打孔，结果钻头正好从点B 处打出这是什么道理？4、1805 年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点 O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0 处，让士兵丈量他所站立位置B与 0 点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军 试问：法军能命中目标吗？请说明理由用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 37 页5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图 ，先在平地取一个可直接到达A，B 的点 C，再连接 AC ，BC ，并分别延长 AC至 D，BC至 E，使 DC=AC ，EC=BC ，最后测出 DE的长即为 A，B 的距离乙：如图 ，先过点 B 作 AB的垂线 BF ，再在 BF上取 C，D 两点，使 BC=CD ，接着过点 D 作 BD的垂线 DE ，交 AC的延长线于点 E，则测出 DE的长即为 A，B的距离丙：如图 ，过点 B 作 BDAB，再由点 D 观测，在 AB的延长线上取一点C，使BDC= BDA ，这时只要测出 BC的长即为 A，B 的距离（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有_；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 37 页2、证两次全等相关问题1、已知 : 如图,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD,F 为垂足 , 求证:CF=DF. 2、已知：如图， AB=CD ，BC=DA ，AE=CF 求证： BF=DE 3、如图， AB=AD ，BC=DE ，且 BAAC，DAAE，你能证明 AM=AN吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 37 页3、探索两线段的关系问题1、如图所示，已知 AE AB，AFAC ，AE=AB ，AF=AC. 求证：（1）EC=BF ；（2）EC BF. 2、已知：如图， ABC中，ADBC于 D，E是 AD上一点， BE的延长线交 AC于 F，若 BD=AD ，DE=DC 。求证： BFAC 。3、如图：BE AC，CF AB，BM=AC ，CN=AB 求证： （1）AM=AN； （2）AMAN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 37 页4、探索三线段的数量关系问题1、 在ABC中， ACB=90 ， AC=BC ， 直线 MN 经过点 C ， 且 ADMN 于 D， BE MN于 E。（1）当直线MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证： ADC CEB ；DE=AD+BE ；（2）当直线 MN 绕点 C旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD-BE ；（3）当直线 MN 绕点 C旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。2、 已知： 如图，在四边形 ABCD中， AC平分BAD ， CE AB于 E， 且B+D=180 ，求证： AE=AD+BE 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 37 页3、四边形 ABCD中，AC 平分BAD ，CE AB 于 E，ADC+ B=180 ，求证：2AE=AB+AD 5、构造全等三角形问题1、如图，在 ABC中，BD=DC ，1=2，求证： AD平分BAC 2、如图，已知 ACBD，EA、EB分别平分 CAB和DBA ，CD过点 E，则 AB与AC+BD相等吗？请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 37 页3、已知：如图， AD是ABC的中线，求证： AB+AC 2AD4、如图， RtABC中，BAC=90 ，ADBC于 D，BG平分ABC ，EF BC ，交AC于 F，求证： AE=CF 考点 2、角平分线的性质例 1、如图，在 RtABC中，A=90 ，ABC的平分线 BD交 AC于点 D，AD=3，BC=10 ，则BDC的面积是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 37 页例 2、 三角形 ABC中， A=60 ， 则内角 B， C的角平分线相交所成的角为。例 3、如图，在ABC中，A=45 ，C=75 ，BD是ABC的角平分线， 则BDC的度数为（）A60B70C75D105例 4、根据 “ 角平分线上的点到这个角两边的距离相等” 来观察下图：（1）已知 OM 是AOB的平分线， P是 OM 上的一点，且 PE OA，PF OB垂足分别为 E F， 那么 = 这是根据 “” 可得POE POF而得到的（2）如图， ABC中，C=90 ，AC=BC ，AD 平分CAB交 BC于 D，DEAB，垂足为 E，AB=6cm ，则DEB的周长为 cm例 5、如图， D、E、F分别是 ABC的三条边上的点， CE=BF ，DCE和DBF的面积相等求证： AD平分BAC 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 37 页例 6、如图，ABC中，A=60 ，ACB的平分线 CD和ABC的平分线 BE交于点 G求证： GE=GD 举一反三：1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A 三条中线的交点 B 三条高的交点C 三条边的垂直平分线的交点 D 三条角平分线的交点2、如图， RtABC中，CD是斜边 AB上的高，角平分线AE交 CD于 H，EF AB于 F，则下列结论中不正确的是（）ACH=HD BACD= B CCH=CE=EF DAC=AF 3、已知：如图， ABCD ，O 为BAC 、ACD的平分线的交点， OE AC于点 E，若两平行线间的距离为6，则 OE= （2）（3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 12 页 共 37 页4、已知：在等腰 RtABC中，AC=BC C=90 ，AD 平分BAC ，DE AB于点 E，AB=15cm ，（1）求证： BD+DE=AC （2）求DBE的周长5、如图，已知 ABC的周长是 22，OB、OC分别平分 ABC和ACB ，ODBC于 D，且 OD=3，ABC的面积是多少？6、如图， ABC中，ACB=90 ，AD平分BAC ，DE AB交 AB于点 E，点 F是AC上一点， FDC= CAB 求证： CF=BE ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 13 页 共 37 页第三部分课堂小测1、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在AOB的边 OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N 重合，得到AOB的平分线 OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 2、如图所示， DE AB，DFAC，AE AF，则下列结论成立的是（）ABDCD BDE DF CBC DABAC 3、如图，在ABC中，C=90 ，BD平分ABC ，交 AC于点 D；若 DC=3 ，AB=8，则ABD的面积是（）A3 B10 C12 D16 （1）（2）（3）4、如图， OP是AOB的平分线， PC OA于点 C，PC=2 ，点 D 是边 OB 上一动点，则 PD长度最小为5、已知AD 平分 BAC ，DEAB，AB=60，AC=50 ，ABC 的面积是330，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 14 页 共 37 页DE= 6、如图 BD是ABC的一条角平分线， AB=8，BC=4 ，且 SABC=24，则DBC的面积是（4）（5）（6）7、 小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在AOB的两边分别取 OC=OD ，再分别以 C、D 为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为 P，作射线 OP ，则OP就是AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释8、已知：如图， AD平分BAC ，DEAB，DFAC ，DB=DC ，求证： ABC是等腰三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 15 页 共 37 页9、已知：如图所示， AQ，BM，CN是ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点10、小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若 AC=AD ，BC=BD ，则ACB与ADB有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点 E，连接 CE 、DE ，则有 CE=DE ，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第 2题类似的结论请你帮他画出图形，并写出结论，不要求说明理由（如图3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 16 页 共 37 页第四部分提高训练1、如图AB=AE ，ABAE ，AD=AC ADAC ， 点 M 为 BC的中点，求证：DE=2AM2、如图，AC平分BAD，CMAB，且 AB+AD=2AM ，证明：ADC+ ABC 90。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 17 页 共 37 页第五部分课后作业1、如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去玻璃店A、带 去，B、带 去C 、带 去D、都带去2、如图，ABC的外角 CBD和BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（）A.点 F在 BC边的垂直平分线上 B点 F在BAC的平分线上C BCF是等腰三角形 DBCF是直角三角形3、如图，在 ABC中，C=90 ，AD平分BAC ，DE AB于 E,DE=5 ，BD=2CD,则 BC= （）A.20 B.15 C.10 D.5 （1）（2）（3）4、如图，四边形 ABCD中，AC垂直平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是（）AAB=AD BAC平分BCD CAB=BD DBEC DEC 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 18 页 共 37 页5、如图，点 O是ABC的两条角平分线的交点，若BOC 118 ，则A 的大小是。6、如图，在ABC中，C是直角， AD平分BAC ，交 BC于点 D。如果 AB8，CD 2，那么 ABD的面积等于。（4）（5）（6） 7、 如图ABC中， C=90 ， AD平分BAC ， DE AB于 E， 给出下列结论：DC=DE；DA 平分CDE ；DE 平分ADB；BE+AC=AB ； BAC= BDE 其中正确的是（写序号）8、如图，等边 ABC中，在顶点 A、C处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以同样速度由 A 向 B 和由 C向 A 爬行，经过 t 秒后，他们分别到达D、E处请问两只蚂蚁在爬行过程中，（1）BE与 CD有何数量关系，为什么？（2）DC与 BE所成的 BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求出 BFC 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 19 页 共 37 页9、 如图，OC是AOB的角平分线，P是 OC上一点PDOA交 OA于 D，PE OB交 OB于 E，F是 OC上的另一点，连接DF ，EF 求证： DF=EF 10、如图，已知点D 为等腰直角 ABC 内一点， CAD = CBD = 15，E 为 AD 延长线上的一点 . 且 CE=CA. (1)、求证： DE平分BDC ；(2)、若点 M 在 DE上，且 DC=DM. 求证： ME=BD. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 20 页 共 37 页第 7 讲全等三角形的综合、角平分线第二部分考点精讲精练考点 1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、B2、B3、4、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 21 页 共 37 页因此，按照 BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处；如果拿破仑站在O 处，只需转过身来仍可用帽舌边缘视线法测出河岸两边的距离5、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 22 页 共 37 页2、证两次全等相关问题1、2、证明： ABC和CDA中，AB=CD ，BC=DA ，AC=CA ，ABC CDA ，ACB= CAD 在BCF和DAE中，BC=DA ，ACB= CAD ，CF=AE ，BCF DAE ，BF=DE 3、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 23 页 共 37 页3、探索两线段的关系问题1、2、3、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 24 页 共 37 页4、探索三线段的数量关系问题1、证明：（ 1） ADC= ACB=90 ，1+2=3+2=90 ，1=3 又AC=BC ，ADC= CEB=90 ，ADC CEB ； ADC CEB ，CE=AD ，CD=BE ，DE=CE+CD=AD+BE （2）ACB= CEB=90 ，1+2=CBE+ 2=90 ，1=CBE 又AC=BC ，ADC= CEB=90 ，ACD CBE ，CE=AD ，CD=BE ，DE=CE-CD=AD-BE；（3）当 MN 旋转到图 3 的位置时， AD、DE 、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 25 页 共 37 页ACB= CEB=90 ，ACD+ BCE= CBE+ BCE=90 ，ACD= CBE ，又AC=BC ，ADC= CEB=90 ，ACD CBE ，AD=CE ，CD=BE ，DE=CD-CE=BE-AD。2、B+D=180 ，3+4=180 ，4=B，CM=CB ，CE AB，ME=EB （等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），AE=AM+ME ，AE=AD+BE 3、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 26 页 共 37 页证明：过 C作 CF AD 于 F，AC平分BAD，FAC= EAC ，CE AB，CF AD，DFC= CEB=90 ，AFC AEC ，AF=AE ，CF=CE ，ADC+ B=180 FDC= EBC ，FDC EBC DF=EB ，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE 2AE=AB+AD 5、构造全等三角形问题1、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 27 页 共 37 页2、3、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 28 页 共 37 页证明：如图延长 AD到 P使 DP=AD, 连接 BP,PC AP=2AD.1) D为ABC的 BC边中线BD=DC AD=DP ，BDP= ADC( 对顶角）BDP ADC(SAS) AC=BP .2) 在ABP中，AB+BPAP （两边之和大于第三边）由 1）、2）得到 AB+AC2AD 4、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 29 页 共 37 页考点 2、角平分线的性质例 1、 15 例 2、 60 和 120 。例 3、C 例 4、例 5、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 30 页 共 37 页例 6、举一反三：1、D2、A 3、3 4、解：（ 1）AD平分BAC ，DE AB，C=90 ，CD=DE ，BC=BD+CD=BD+DE，AC=BC ，AC=BD+DE ；（2）CD=DE ，AD=AD ，C=AED=90 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 31 页 共 37 页ACD AED ，AC=AE ，AC=BD+DE ，BD+DE=AE ，BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm5、6、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 32 页 共 37 页第三部分课堂小测1、A 2、B 3、C 4、 2 5、6 6、8 7、8、9、证明：设 BM，CN交于点 P，过点 P作 PDAB，PE BC ，PF AC ，垂足分别为：D，E，F，BM 平分ABC ，CN平分ACB ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 33 页 共 37 页PD=PE ，PE=PF ，PD=PF ，AP平分BAC ，即 AQ，BM，CN交于一点 P10、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 33 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 34 页 共 37 页第四部分提高训练1、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 34 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 35 页 共 37 页2、解答：解：过点 C作 CNAD，交 AD的延长线于点 N，AC平分BAD，CMAB，CN AD，CM=CN ，在 RtACMRtACN中，RtACMRtACN，AM=AN，又AB+AD=2AM ，BM=DN，在 RtBCM与 RtDCN，RtBCMRtDCN （SAS ），ABC= CDN ，ADC+ ABC= ADC+ CDN=180 ，ADC+ ABC 90 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 35 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 36 页 共 37 页第五部分课后作业1、C 2、B3、B 4、C 5、56 。6、8。7、 8、9、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 36 页，共 37 页 - - - - - - - - - 第 37 页 共 37 页10、解： (1)在等腰直角 ABC中，CAD= CBD= 15 ，BAD= ABD= 45 -15 = 30 ，. BD= AD , BDC ADC, DCA= DCB=45 . 由BDM = ABD+ BAD = 30+30 = 60 ，EDC= DAC+ DCA= 15 +45 = 60 ，BDM=EDC ，DE平分BDC. (2)如图.连接 MC. DC=DM ，且MDC= 60 ，MDC是等边三角形 . 即 CM=CD. 又EMC=180 -DMC = 180 - 60 = 120；ADC= 180-MDC= 180 -60 = 120，EMC= ADC. 又CE=CA ，DAC = CEM =15 ，ADC EMC, ME=AD= DB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 37 页，共 37 页 - - - - - - - - -