2022年自主招生专题讲座三角函数 .pdf

1 2016 年自主招生专题讲座三角函数第一部分：考点清单一、高考部分1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、3.正弦定理、余弦定理、二、自招部分1. 射影定理BcCbacoscos2.积化和差、和差化积公式（你知道吗？）3.反三角函数4. 补充结论：（1）三倍角公式：3sin_ . 3cos_ . （2）若20，则tansin(你能证吗 ). （3）函数xxysin在),0(上为减函数；函数xxytan在)2,0(上为增函数 . （4）面积公式：记ABC中，角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，外接圆、内切圆半径分别为R,r，半周长为2cbap.21112sinsinsin(sinsinsin)2224ABCabcabcSahbhchrpRABCrRABCR=)()(cpbpapp(海伦公式 )第二部分：高考题真题对接1三角函数图象变换例 1.【2015湖南，理 9】将函数( )sin 2f xx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数( )g x的图像，若对满足12()()2f xg x的1x ，2x ，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.6【答案】 D. 2三角变换公式（注意升降次公式）例 2.【2015湖北，理 12】函数2( )4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx的零点个数为【答案】 2 3三角恒等变换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 例 3.（1） 【2015重庆，理 9】若tan2 tan5，则3cos()10sin()5（）A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】 C （2） 【2015江苏， 8】已知 tan2，1tan7，则tan的值为 _. 【答案】 3 （3）.【2015 四川，理 12】75sin15sin. 【答案】62. 4.解三角形例 4.（1） 【2015 新课标 1，理 16】在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75 ，BC=2，则 AB 的取值范围是. 【答案】 （62 ，6+2 ）（2）.【2015 湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm. 【答案】6100（3）.【2015 重庆，理 13】在 ABC 中，B=120o，AB=2 ，A 的角平分线 AD=3 ,则AC=_. 【答案】6例 5.【2015 新课标 2，理 17】ABC中，D是 BC 上的点，AD平分BAC ，ABD面积是ADC 面积的 2 倍() 求sinsinBC；()若1AD，22DC，求BD和 AC 的长【答案】 ()12；()1例 6. 【2015安徽，理 16】 在ABC中，3,6,3 24AABAC,点 D 在 BC 边上，ADBD，求AD的长. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 【答案】105、三角等式证明例 7.【2015四川，理 19】 如图， A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 . （1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180 ,6,3,4,5,ACABBCCDADo求 tantantantan2222ABCD的值. 【答案】 （1）切化弦；（2）4 103. 第三部分：自招真题讲解一、三角函数的求值与化简例 1.（04 同济）设是第二象限角，3sin5，则57sin(2 )8答案：177 225 42 2例 2.（01 复旦）1sec50cot10答案：3例 3 （10 清华）求444sin 10sin 50sin 70 的值 . 答案：98变式：22sin 10cos 40sin10 cos40答案：34例4. （11 卓约 2）2.已知sin 2()sin2 ,rn则tan()tan()( ) A. 11nnB. 1nnC .1nnD.11nn答案： D ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 例 5.（13 华约）已知51coscos31sinsinyxyx，求)sin(),cos(yxyx。答案：10815cos(),sin()22517xyxy例 6（ 13 北约）对于任意的，求2cos154cos66coscos326的值答案：10例 7 （12 卓越）函数cos()2sinyR的值域是 _. 答案：33,33例 8（11 华约 4）若222coscos3ABAB，则的最小值和最大值分别为( ) 33A.1,221 3B.,2 233C.1,12212D,122答案： B 例 9 （12 华约）三角式1cos0 cos1+1cos1 cos21cos88 cos89化简为（）A.cot1 csc1B. tan1 csc1C. cot1 s c1eD. tan1 s c1e答案： A 二、三角形中的三角函数例10 （ 13 卓 越 ） 在ABC中 ， 三 个 内 角A、B、C所 对 边 分 别 为a、b、c 已 知()(sinsin)()sinacACabB （1）求角C的大小；（2）求sinsinAB的最大值答案：（ 1）3C，（ 2）max3(sinsin)4AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 A B C D E 例 11 （ 12 北约）设,A B C 为边长为1 的正三角形三边上各一点，求222ABBCCA 的最小值 . 答案：34例 12（12 北约 4）如果锐角ABC的外接圆圆心为O，求 O 到三角形三边的距离比。答案：:cos: cos:cosabcdddABC. 例 13 （12 华约）ABC 中，角A，B， C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin1cos22ABC . （1）求 C 的大小；（2）若22222cba ，求 cos2cos2AB 的值 . 答案：23，34例 14 （12 华约 13）已知锐角ABC，BE 垂直 AC 于 E，CD 垂直 AB 于 D，BC=25,CE=7,BD=15,若 BE，CD 交于点 H，连接 DE，以 DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F，求 AF 的长度。答案：9例 15（11 卓约 12）12.在ABC中 ,2,ABAC AD是角A的平分线 ,且ADkAC. (1)求 k 的取值范围 ; (2)若1ABCS,问 k 为何值时 , BC 最短 ? 答案：403k，3例 16 （11 北约 4）ABC 的三边, ,a b c 满足2abc .求证：60C. 答案：利用余弦定理及均值定理可以证明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 例 17 （11 华约 11）已知ABC 不是直角三角形. （1）证明： tantantantantantanABCABC ；（2）若ta nta n3tan1tanBCCA，且 sin2 ,sin2 ,sin2ABC 的倒数成等差数列，求cos2AC的值 . 答案： （2）1或64例 18（10 华约11）在ABC中，已知22sincos212ABC，外接圆半径2R（）求角C的大小；（）求ABC面积的最大值答案：3C，3 3例 19（10 华约5）在ABC中，三边长, ,a b c，满足3acb，则tantan22AC的值为（）（ A）15（B）14（C）12（D）23答案：C三、三角函数的图象与性质例 20 (12 清华保送 )3( )2(sin 2)cossin32f xxxx，且0,2 x， （1）求函数( )f x的最大值与最小值； （2）求方程( )3f x的解。答案： （1）2, 2（2）0,23例 21 (13 华约 )已知( )f x就定义在R 上的奇函数，且当0 x时，( )f x单调递增，( 1)0f.设2( )sincos2xxmxm，|Mm对 任 意0,( )02xx，|Nm对 任 意 0 , ,() )02xfx，求MN. 答案：MN|m对任意0,( )1 2xx|42 2m m例 22(12 卓越 )设( )sin(),(0,)f xxR，若存在常数(0)T T，使()( )f x TT f x恒成立，则可取到的最小值为_ .答案：min名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 四、三角函数的综合问题例 23 （12 北约 7）求使得 sin4 sin2sinsin3xxxxa 在0,) 有唯一解的a . 答案：2x例 24 （10 北约） 1 （仅文科做）02，求证： sintan（仅理科做）存不存在02x，使得 sin, cos , tan, cotxxxx为等差数列例 25 已知奇函数( )f x的定义域为全体实数，且当0 x时，( )0fx， 问是否存在这样的实数，使得(cos23)(42 cos )(0)fff对所有0,2均成立？若存在，则求出适合条件的实数；若不存在，试说明理由。例 26 （14 华约）已知函数2( )(cossin )sin()2 sin,(0)24f xxxxaxba有最大值1和最小值4，求,a b的值 . 答案：5,14ab第三部分：巩固练习1.（11 卓越）已知sin2()sin2n，则tan()tan()（）A. 11nnB. 1nnC. 1nnD. 11nn答案： D 2. （10 复旦）设,22， 且满足 sincossincos1， 则 s i ns i n的取值范围是 （）A. 2,2B. 1, 2C. 0,2D. 1, 2答案： D 3.（04 上交）函数sincos(0)2yxxx的值域是 _. 答案：41, 84 （04复 旦 ） 设12,x x是 方 程233sincos055xx的 两 个 实 数 解 ， 那 么12arctanarctanxx_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 答案：55.（05 复旦）函数1sin2cosxyx的最大值是 _. 答案：436.（04 复旦）已知124sin(),sin()135，且0,0,2,求 tan2. 答案：16637(05 复旦 )在 ABC 中，已知 tan: tan:tan1: 2: 3ABC，求ACAB. 答案：2238(05 复旦 )已知sincos(02)aa，求 sincosnn关于的表达式 . 答案：2222()()22nnaaaa9.（06 复旦）解三角方程：sin()sin294axx，其中 a 为实常数 . 答案：提示：化简为42()att在 1,1上有解，再用勾勾函数写解集。10.（06 清华） 已知 sin ,sin,cos成等差数列， sin,sin,cos成等比数列， 求1cos2cos22的值. 答案：011.（06 清华）已知A、B、C 为 ABC 的三个内角，它们所对的边分别为a、b、c，求证：2coscos4sin2aABCbc. 答案：和差化积，再用均值定理。12.（08 清华）已知 sincos12sin 2，求的取值范围 . 答案：32,2,44kkkZ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -