2022年倒立摆的数学模型 .pdf
1 倒立摆的数学模型质量为 m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于0 的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。倒立摆模型如图所示。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。 电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。以摆角 、角速度 、小车位移x、加速度 x 为系统状态变量，Y 为输出， F 为输入X=4321xxxx=xx Y=x=31xx由线性化后运动方程组得x1 = =x2 x2 = =MlgmMx1-Ml1F X3 =x =x4 x4 =x =-Mmgx1+M1F 故空间状态方程如下：X = 4 3 2 1xxxx=00010000000010MmgMlgmM4321xxxx+MMl1010F名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 Y= 31xx=010000014321xxxx+ 0F 其中， M=1 kg ，m=0.1kg ， l=.1m，g=10m/s。由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。对于多变量模糊控制系统，由于可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立给系统的设计带来了很大难度，为此，本系统采用双闭环的模糊控制器控制策略。采用Mamdani 模糊模型，分别设计角度和位移模糊控制器。模糊控制器由4 部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。图表示了模糊控制器的基本结构。图中，R 为系统设定值(精确量 )；e,e 分别为系统误差与误差变化率(精确量 )；言 e,和 ec 分别为反映系统误差与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量 )；u 为模糊控制器输出的控制作用(精确量 )：y 为系统输出 (精确量 )。图 含模糊控制器的系统基本方框图本系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制器。图中，e ?,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化率，作为角度模糊控制器的输入，分别为倒立摆的位移偏差和位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角| |5时， a=1，控制量u=u 1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制阶段，即输出量摆角| |5时，控制量u=au1=(1-a )u2 ，逐渐将输出量位移控制在平衡点。图双闭环模糊控制器系统结构角度模糊控制器名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 模糊推理系统中以作为控制器输入， 控制电压u 1 为控制器的输出。取 输入和输出u 1 的模糊子集为NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB，其中论域为 -0.526,0.526 ，论域为 -1,1 ，u 1 论域为 -6,6 。选择输入量、输出u1 的隶属函数为三角形(trimf) 。根据电机输出力的大小与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表1 所示。在设计控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆不倒。表 1 角度模糊规则表位移模糊控制器小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差e x 和位移偏差变化率， 其中论域为-0.3,0.3 ， 论域为 -1,1，分别定义5 个模糊子集 NB,NS,ZE,PS,PB ，输出 u 2 控制论域为 -2.4，2 . 4 ， 分割成 5 级模糊子集，分别为 N B , N S , , Z E , P S , P B ， 量化等级为 -2.4,-1.2,0,1.2,2.4 。 选择输入量的隶属函数为三角形（trimf ） 。输出 u2 的隶属函数为单点常数。根据电机输出力的大小与小车位移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表2 所示，考虑到有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB 的同时小车速度为NB 的状态不可控，应预先加以调整。设定模糊决策采用Mamdani 型推理算法，解模糊用重心平均法。表 2 位移模糊控制器名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
