2022年全等三角形证明专题 2.pdf

智慧在这里绽放，状元从这里起航- 1 - 数学思维方法讲义之一年级：九年级 第 1 讲证明（三角形专题）【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】1、全等三角形的性质与判定；2、等腰（等边）三角形的性质与判定；3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一三角形问题中的结论探索【例 1】如图所示，两块完全相同的含30 角的直角三角形叠放在一起，且 DAB=30 。有以下四个结论：AFBC ； ADG ACF；O 为 BC的中点；AG： DE=3： 4，其中正确结论的序号是. 变式练习1如图， ABD 与 AEC 都是等边三角形，ABAC，下列结论中： BE=DC ； BOD=60 ； BOD COE正确的序号是考点感悟：专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例 2】如图 (1)，RtABC 中， ACB=-90 ，CDAB，垂足为 DAF 平分 CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F （1）求证： CE=CF（2）将图（ 1）中的 ADE 沿 AB 向右平移到 ADE的位置，使点E 落在 BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论图（ 1）图（ 2）【例 3】ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 的中点，以D 为顶点作 MDN= B（1）如图（ 1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与 ADE 相似的三角形（2）如图（ 2） ，将 MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（ 2）中，若 AB=AC=10 ，BC=12，当 DEF 的面积等于 ABC 的面积的14时，求线段 EF 的长考点感悟：A D B C E O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 2 - 变式练习：如图， O 是正 ABC 内一点， OA=3 ，OB=4 ，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60 得到线段BO ，下列结论：BO A 可以由 BOC 绕点 B逆时针旋转60 得到；点O 与 O 的距离为4； AOB=150 ；AOBOS=6+3 3四形边；AOCAOB9 3SS6+4VV其中正确的结论是【】ABCD【例 4】如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形， D、F 分别在 AB、AC边上，此时BD=CF ，BDCF 成立（1）当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转45 时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G求证： BD CF；当 AB=4 ，AD=2时，求线段BG 的长考点感悟：专题三几何动态问题【例 5】如图，在 ABC 中， ABAC 10 cm，BC12 cm，点 D 是 BC 边的中点点P从点 B 出发，以 a cm/s(a0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动； 点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点D 出发，沿 DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s(1)若 a2， BPQ BDA ，求 t 的值；(2)设点 M 在 AC 上，四边形PQCM 为平行四边形若 a 5 2，求 PQ 的长；是否存在实数a， 使得点 P在ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由考点感悟： 变式练习：已知线段AB=6 ，CD 是 AB 上两点，且 AC=DB=1 ，P 是线段 CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形 PBF，G 为线段 EF 的中点， 点 P由点 C 移动到点 D 时，G 点移动的路径长度为PADCBQGEFDCABP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 3 - DFABCEPQ专题四几何与函数结合问题【例 6】如图所示，在形状和大小不确定的ABC 中， BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，P 在 EF 或 EF 的延长线上， BP 交 CE 于 D，Q 在 CE 上且 BQ 平分 CBP，设 BP=y，PE=x. （1）当EFx31时，求DBCDPESS:的值；（2）当 CQ=21CE 时，求y与x之间的函数关系式；（3）当 CQ=31CE 时，求y与x之间的函数关系式；当 CQ=n1CE（n为不小于 2 的常数）时，求直接y与x之间的函数关系式。考点感悟：【例 7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（1，0） ，C（3，0） ，D（3， 4） 以 A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C 动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时间为 t 秒过点P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值考点感悟：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 4 - 【课后测试】一、选择题：1、下列判断正确的是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为30 的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、在平面直角坐标系xoy 中，已知 A（2， 2） ，在 y 轴上确定点P，使 AOP 为等到腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A.2 个B.3 个C. 4 个D.5 个二、填空题：3、在锐角三角形ABC 中，BC=24，ABC=45，BD 平分 ABC ，M、 N 分别是 BD 、 BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是。4、如图， RtABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC=3， ACB=90， A=30 若 RtABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第 3 次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有的式子表示）三、解答题：5、在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB2，AP1将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF（如图）。（1）当点 E 与点 B 重合时，点F 恰好与点 C 重合（如图） ，求 PC 的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E和点 A 重合时停止在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：PFPE的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长。图图6、如图（ 1） ，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到 ABD 和 ECF，固定 ABD，并把 ABD 与ECF 叠放在一起。（1）操作：如图（ 2） ，将 ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F在 BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合）。FE 交 DA 于点 G（G 点不与 D 点重合）。求证： BH GD=BF2（2）操作：如图（3） ，ECF 的顶点 F 在 ABD 的 BD 边上滑动（ F 点不与 B、D 点重合），且 CF 始终经过A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG。探究：FD +DG=_。请予证明。（1）(2) (3) 学生对本次课的评价：特别满意满意一般不怎么样家长意见或建议：家长签字：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 5 - 部分答案：【例 3】解： （1）图（ 1）中与 ADE 相似的有 ABD ， ACD ， DCE。（2） BDF CED DEF，证明如下： B+ BDF+ BFD=180 ， EDF+BDF+ CDE=180 ，又 EDF= B， BFD= CDE 。AB=AC ， B= C。 BDF CED。BDDF=CEED。BD=CD ，CDDF=CEED，即CDCE=DFED。又 C=EDF， CED DEF。 BDFCED DEF。（3）连接 AD ，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC ， D 是 BC 的中点，AD BC， BD=12BC=6 。在 Rt ABD 中， AD2=AB2BD2，即 AD2=10262，AD=8 。SABC=12?BC?AD=12 12 8=48，SDEF=14SABC=14 48=12。又12?AD?BD=12?AB?DH，AD BD8624DHAB105。 BDF DEF， DFB= EFD。DHBF，DGEF， DHF= DGF。又 DF=DF ， DHF DGF（AAS ） 。 DH=DG=245。SDEF=12 EF DG=12 EF245=12，EF=5。例 3 变式： A。【考点】 旋转的性质， 全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】 正 ABC ， AB=CB ， ABC=600。线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转60 得到线段BO ，BO=BO ，O AO=600。 O BA=600 ABO= OBA 。 BO A BOC。 BO A 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转60 得到。故结论正确。连接 OO ，BO=BO ， O AO=600， OBO 是等边三角形。OO =OB=4。故结论正确。在 AOO 中，三边长为O A=OC=5，OO =OB=4，OA=3 ，是一组勾股数， AOO 是直角三角形。 AOB= AOO O OB =900600=150 。故结论正确。AOOOBOAOBO11SSS3 4+4 2 36+4322四形边。故结论错误。如图所示，将AOB 绕点 A 逆时针旋转60 ，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O 点易知 AOO 是边长为 3 的等边三角形，COO 是边长为 3、4、5 的直角三角形。则AOCAOBAOCOCOOAOO113 39 3SSSSS3 4+3=6+2224。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选A。【例 4】解： （1）BD=CF 成立。理由如下： ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，AB=AC ，AD=AF ， BAC= DAF=90 。 BAD= BAC DAC ， CAF= DAF DAC ， BAD= CAF 。在 BAD 和 CAF 中， AB=AC ， BAD= CAF， BAD CAF（SAS） 。BD=CF 。（2）证明：设BG 交 AC 于点 M BAD CAF （已证）， ABM= GCM 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 6 - 又 BMA= CMG ， BMA CMG 。 BGC= BAC=90 。BD CF。过点 F作 FNAC 于点 N。在正方形ADEF 中， AD=DE=2，2222AEAD +DE2 +22。AN=FN=12AE=1。在等腰直角ABC 中， AB=4 ， CN=AC AN=3 ，2222BCAB +AC4 +44 2。在 RtFCN 中，FN1tan FCNCN3。在 Rt ABM 中，AM1tan FCNtan ABMAB3。AM=14AB33。CM=AC AM=4 4833，222244 10BMAB +AM4 +33。 BMA CMG ，BMCMBACG，即4 108334CG， CG=4 105。在 RtBGC 中，22224 108 10BGBCCG4 255。【例 5】解： （1） ABC 中， AB=AC=10 ，BC=12，D 是 BC 的中点， BD=CD=12BC=6 。a=2， BP=2t，DQ=t 。BQ=BD QD=6t。 BPQ BDA ，BPBQBDAB，即t6t610，解得：18t=13。（2）过点 P 作 PEBC 于 E，四边形PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM 。PB：AB=CM ：AC。AB=AC ， PB=CM 。 PB=PQ。BE=12BQ=12（6t） 。a= 5 2， PB= 5 2t。AD BC， PEAD 。 PB：AB=BE ：BD，即51t(6t)22106。解得， t=32。PQ=PB= 5 2t=154（cm） 。不存在理由如下：四边形 PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM 。PB：AB=CM ：AC。AB=AC ， PB=CM ， PB=PQ。若点 P 在 ACB 的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ， PCQ=CPM。 CPM=PCM。PM=CM 。四边形PQCM 是菱形。 PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t ， PM=CQ=6+t ，AP=AB PB=10at，且at=6+t。PMCQ， PM：BC=AP ：AB，6t10at1210，化简得： 6at+5t=30。把代入得，t=611。不存在实数a，使得点 P 在 ACB 的平分线上。【例 6】 【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例解： （1） E、F 是 AB、AC 中点EFBC，EF=0.5BC=3 EP=EFx31=1 EFBC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 7 - DGFEBCAQPDGFEBCAQP DPE DBCEP：BC=1：6 DBCDPESS:=1：36 （2）延长 BQ 交射线 EF 于点 GEFBC G=GBC又 GBC=GBP G=GBPPG=BP=y即 EG=x+yEFBC QEG QCBEQ：QC=EG：BC=1 x+y=6 即 y= x+6 (3)同（ 2）中QEG QCBEQ：QC=EG：BC=2 x+y=2 6 y= x+12 y= x+6(n 1) 【例 7】解： （1）A（1，4） 。由题意，设抛物线解析式为y=a（x1）2+4 抛物线过点C（3，0） ，0=a（31）2+4，解得， a=1。抛物线的解析式为y=（ x1）2+4，即 y=x2+2x+3。（2）设直线 AC 的解析式为y=kx+b，A（1，4） ，C（3，0） ，4kb03kb，解得k2b6。直线 AC 的解析式为y=2x+6。点 P（1，4t） ，将 y=4t 代入 y=2x+6 中，解得点E 的横坐标为tx12。点 G 的横坐标为t12， 代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为2t44。GE=（2t44）（ 4t）=2tt4。又点 A 到 GE 的距离为t2，C 到 GE 的距离为t22，22ACGAEGCEG1t1tt1SSSEGEG2=EG=t=t2+1222244（）。当 t=2 时， SACG的最大值为1。（3）20t=13或t=208 5。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形和菱形的性质。【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A 得到坐标；由顶点A 的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C 的坐标代入，即可求得系数a 的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）。（2）利用待定系数法求得直线AC 的方程 y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P 的坐标（1，4t） ，据此可以求得点E 的纵坐标， 将其代入直线AC 方程可以求得点E 或点 G 的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=2tt4、点 A 到 GE 的距离为t2，C 到 GE的距离为t22；最后根据三角形的面积公式可以求得2ACGAEGCEG1SSS=t2+14，由二次函数的最值可以解得t=2 时，SACG的最大值为1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 智慧在这里绽放，状元从这里起航- 8 - （第 23题 图）GFPCDBAE（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H 在直线 EF 上。分 CE 是边和对角线两种情况讨论即可。由题设和（ 2）知， C（3，0） ，Q（3，t） ，E（t1,4t2） ，设 H（t1,m2） 。当 CE 是对角线时，如图1，有 CQ=HE=CH，即22222224tm=tm=42t4 42t3t8t+16=013t72t+80=0t4m3t8t+16=02+m =t2，解得，20t=13或 t=4（舍去，此时C，E 重合）。当 CE 是边时，如图2，有 CQ=CE=EH，即2222m4t =tm=4t40t+80=0tt40t+80=02+ 4t=t2，解得，t=208 5或t=20+85（舍去，此时已超过矩形ABCD 的范围）。综上所述，当20t=13或t=2085时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形。5、解：（1）在矩形 ABCD 中， A D90 ，AP1，CDAB2，则 PB5ABP APB90又 BPC90APB DPC90 ABPDPC APBDCP APCDPBPC即125PCPC25 （2）PFPE的值不变理由：过 F 作 FGAD，垂足为 G，则四边形 ABFG 是矩形 A PFG90 ，GFAB2 AEPAPE90又 EPF90 APEGPF 90 AEPGPF APEGPF PFPEGFAP212 PFPE2 PFPE的值不变（3）线段 EF 的中点经过的路线长为5 6、(1)证明：根据图操作有B=D=CFE, BF=DF 在 DFG 中， D+DFG+DGF=180，而 DFG+CFE+BFH=180 BFH= DGF, 又 B=D BFH DGF BHDF=BFDG由于 BF=DF BF2=BH DG （2）解：探究得出：FD+DG=BD 证明： AGCE, FAG=C,FGA= E CFE=E, E=FGA AG=AF 根据菱形有：BAD= FCE BAD= FAG, 即： BAF+ FAD= FAD+ DAG BAF= DAG 在 ABF 与 ADG 中,AB=ADBAF= DAGAF=AGABF ADG BF=DG DF+DG=DF+BF=BD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -