2022年北交大学年第二学期数理统计学期末考试试卷答案 .pdf

2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 1 of 12 第 1 页 共 12 页北京交通大学20102011学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案一 （本题满分10 分）设总体X存在二阶矩，记XE，2v arX，nXXX,21是从该总体中抽取的一个样本，X是其样本均值，2S是其样本方差 证明：XE，nX2v a r 证明：22SE解：nnnXEnXnEXEniniinii1111111，nnnnXnXnXniniinii22212212111v a r11v a rv a r2121221111XnXEnXXnESEniinii21211XnEXEnnii21211XEXnEXEXEnniiiXnXnniiv a rv a r1112222121111nnnnnni二 （本题满分10 分）设总体X服从参数为p的几何分布，其分布列为1kpqkXP, 3,2,1k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 2 of 12 第 2 页 共 12 页其中10p是未知参数，pq1nXXX,21是取自该总体中的一个样本试求参数p的极大似然估计量解：似然函数为nnnnxXPxXPxXPxXxXxXPpL22112211,nxnxxxnkknpppppppp1211111111所以，pnxpnpLnkk1lnlnln1对 p求导，得01ln1pnxpnpLdpdnkk，解方程，得xp1因此 p 的极大似然估计量为Xp1?三 （本题满分10 分）设总体X服从区间,0上的均匀分布，其中0是未知参数，nXXX,21是从该总体 中 抽 取 的 一 个 样 本 试 判 断nXnn1?是 否 为 未 知 参 数的 无 偏 估 计 量 ？ 试 判 断nXnn1?是否为未知参数的相合估计量？解：X 的密度函数与分布函数分别为其它001xxf，xxxxxF1000所以nX的密度函数为其它0011xnxxfxFnxfnnnn所以，011111?dxnxxnndxxxfnnXEnnXnnEEnnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 3 of 12 第 3 页 共 12 页1110nnnndxxnnnnn所以，nXnn1?是未知参数的无偏估计量又012222222221111?dxnxxnndxxfxnnXEnnXnnEEnnnnn22220221211nnnnnnndxxnnnnn所以，221?var222222nnnnnEE由 Chebyshev不等式，对任意给定的0，有021?v a r?0222nnP，n所以，对任意给定的0，有0?lim Pn这表明，nXnn1?是未知参数的相合估计量四 （本题满分10 分）设总体2, NX，其中与2都未知，02，nXX,1是取自该总体中的一个样本对于给定的显著性水平10，试求检验假设2020:H2021:H的拒绝域解：取检验统计量202122011SnXXTnii当0H成立，且202时，11122021220nSnXXTnii当原假设0H成立时，由观测值nxx,1可知比值202s应当大于 1，因此比值2021 sn应当比较大；反之，如果我们通过样本观测值nxx,1，发现2021 sn偏小，自然就有理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 4 of 12 第 4 页 共 12 页由认为0H不成立于是，拒绝域可以取作形如csnxxWn202111:,对给定的显著性水平10，当0H成立，并且202时，由cSnP2021，故取临界值12nc即有11220220nSnP，对任意成立因此，我们得到当202时，显著性水平下的一个检验的拒绝域11:,22021nsnxxWn当原假设0H成立，且202时，有2022211SnSn而且当原假设0H成立，且总体为2,N时，有11222nSn，所以此时有，11,220211nSnPWXXPn11222nSnP，对任意成立因此原假设2020:H的拒绝域为11:,220211nsnxxWn五 （本题满分10 分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7 份样品，测得含镍量百分比分别为：67.233.369.301.398.315. 369. 3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在显著性水平05.0下检验这批矿砂中的含镍量的百分比是否为25.3解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 5 of 12 第 5 页 共 12 页设 X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则2, NX25.3:0H25.3:1H由于总体方差未知，故用检验统计量nSXT25.3当0H成立时，125.3ntnSXT由于显著性水平05.0，7n，所以4469.26025.0t因此检验的拒绝域为4469.225.3:,7211nsxxxxW由样本观测值，得36.3x，455668007.0s所以，4 4 6 9.26 3 8 6 9 4 4 8 6.074 5 5 6 6 8 0 0 7.025.336.325.3nsx所以，不拒绝0H，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3六 （本题满分10 分）设总体X的密度函数为axaxxaxf01；其中0a是已知常数，而0是未知参数nXXX,21是取自该总体中的一个样本试给出未知参数的一个充分统计量证明：样本nXXX,21的联合密度函数为其它；0,2, 1,111niaxxaxfiniinii名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 6 of 12 第 6 页 共 12 页其它0,2, 1,121niaxxxxainnnaxaxaxniinnnIxa,1121令1,tatgnn，axaxaxnnIxxxh,2121,，则nniiniixxxhxgxf,2111；并且axaxaxnnIxxxh,2121,与未知参数无关，因此由因子分解定理知，niiXT1是未知参数的充分统计量七 （本题满分10 分）一试验用来比较4 种不同药品解除外科手术后疼痛的延续时间（单位：小时），结果如下表：药品时间长度（单位：小时）1A8 6 4 2 2A6 6 4 4 3A8 10 10 10 12 4A4 4 2 假定各种疼痛的延续时间服从正态分布，而且方差相等，试在显著性水平05.0下检验这4 种不同药品解除外科手术后的疼痛时间是否有显著性影响解：0H：4 种不同药品解除外科手术后的疼痛时间无显著性差异试号药品差别ininjijX121injijXinjijnXi21injijX12材料种类1 4 20 400 100 120 2 4 20 400 100 104 3 5 50 2500 500 508 4 3 10 100 33.3333 36 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 7 of 12 第 7 页 共 12 页总和16 100 3400 733.3333 768 所以有1 4 31 0 016176812211112rinjijrinjijTiiXnXS，3333.1081001613333.7331122112121rinjijrinjijiAiiXnXnS，6667.343333.108143ATESSS八 （本题满分10 分）随机地检查一本书的100 页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为错误个数if0 1 2 3 4 5 6 7含if个错误的页数36 40 19 2 0 2 1 0 试在显著性水平05.0下，能否认为一页的印刷错误的个数服从Poisson分布？解：0H：一页的印刷错误的个数服从Poisson分布的极大似然估计值为1162504231924013601001?选取统计量riiiipnpnn122?，则当 n时，1?2122mrpnpnnriiii!?1?keekkXPk，,2, 1, 0k因此，我们有3 6 7 8 7 9 4 4 1.00?0XPp，3 6 7 8 7 9 4 4 1.01?1XPp，1 8 3 9 3 9 7 2.02?2XPp，0 6 1 3 1 3 2 4.03?3XPp，0 1 5 3 2 8 3 1.04?4XPp，0 0 3 0 6 5 6 6.05?5XPp，0 0 0 5 1 0 9 4.06?6XPp，0 0 0 0 8 3 2 4 8.04?1?607kXPp计算结果列下表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 8 of 12 第 8 页 共 12 页iAinip ?ipn?iiipnpnn?20A：0X36 367879441.07879441.360.016876613 1A：1X40 367879441.07879441.360.280453375 2A：2X19 18393972.0393972.180.019966863 3A：3X2 06131324.0131324.6532831.1306566.08.0301398 051094.00083248.01.14341063 4A：4X0 01532831.05A：5X2 00306566.06A：6X1 00051094.07A：7X0 000083248.0总计100 1.46070748 本题中4r，1m，05.0，所以，9915.521295. 021mr所以检验的拒绝域为9 9 1 5.521W由观测值，得9915.546070748.1，所以不拒绝0H，可以认为一页的印刷错误的个数服从Poisson分布九 （本题满分10 分）为考察促进剂与氧化锌对橡胶定伸强力的影响，选用 3 种不同的促进剂和4 种不同分量的氧化锌组合配方，同样的配方重复试验2 次，测得 300% 的定伸强力如下表：氧化锌B促进剂A1B2B3B4B1A31 33 34 36 35 36 39 38 2A33 34 36 37 37 39 38 41 3A35 37 37 38 39 40 42 44 试在显著性水平01.0检验不同的促进剂， 不同分量的氧化锌以及他们的交互作用对橡胶定伸强力是否有显著性影响？解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 9 of 12 第 9 页 共 12 页AH0：不同的促进剂对橡胶定伸强力无显著性影响；BH0：不同分量的氧化锌对橡胶定伸强力无显著性影响；BAH0：促进剂与氧化锌对橡胶定伸强力无显著性影响令35XY，得新数据表为BA1B2B3B4B1A-4 （16）-2 （4）-1 （1）1 （1）0 （0）1 （1）4 （16）3 （9）2A-2 （4）-1 （1）1 （1）2 （4）2 （4）4 （16）3 （9）6 （36）3A0 （0）2 （4）2 （4）3 （9）4 （16）5 （25）7 （49）9 （81）表 2 BA1B2B3B4BiT2iT1A-4 -2 -1 1 0 1 4 3 2 4 2A-2 -1 1 2 2 4 3 6 15 225 3A0 2 2 3 4 5 7 9 32 1024 jT-7 8 16 32 49 1253 2jT49 64 256 1024 1393 表 3 BA1B2B3B4B41312jkijkX1A16 4 1 1 0 1 16 9 48 2A4 1 1 4 4 16 9 36 75 3A0 4 4 9 16 25 49 81 188 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 10 of 12 第 10 页 共 12 页31312ikijkX29 20 62 200 311 3r，4s，2t，所以24243tsrn242401492411221112risjtkijkXrstnT，9 5 8 3 3 3 3.21024240131121112nTXSrisjtkijkT，583333.56242401812531212nTTstSriiA，1 2 5.1 3 2242401613931212nTTrtSsjjB，risjijrisjtkijkETtXS112111215.1725873112568125481369949103621311，75.45.17125.132583333.569583333.210EBATBASSSSS方差分析表方差来源平方和自由度均方F 值临界值显著性因素 A56.5833333 2 28.29166665 19.40 93.612,299.0F显著因素 B132.125 3 44.04166667 30.2 95.512,399.0F显著因素BA4.75 6 0.791666666 0.54 82.412,699.0F不显著误差17.5 12 1.458333333 总和210.9583333 23 拒绝AH0，认为不同的促进剂对橡胶定伸强力有显著性影响；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 11 of 12 第 11 页 共 12 页拒绝BH0，认为不同分量的氧化锌对橡胶定伸强力有显著性影响；不拒绝BAH0，可以认为促进剂与氧化锌对橡胶定伸强力无显著性影响十 （本题满分10 分）下表列出了自1952-2004年各届奥运会男子10000 米赛跑冠军的成绩（冠军成绩以min计）年份x1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 成绩y29.3 28.8 28.5 28.4 29.4 27.6 27.7 27.7 27.8 27.4 27.8 27.1 27.3 27.1 求Y关于x的线性回归方程xbay?； 试在显著性水平05.0下检验假设：0:0:10bHbH解： 对数据作变换， 时间 x原取值改为,2, 1（即自 1952 年算作奥运万米第一次记录， 其后第二次，第三次等） 把万米记录均减去20（分）来算（这样在使用经验回归方程时，得到的时间加上20 就是实际所要求的时间） 得经整理的数据及计算如下表：xy2x2yxy1 9.3 1 86.49 9.3 2 8.8 4 77.44 17.6 3 8.5 9 72.25 25.5 4 8.4 16 70.56 33.6 5 9.4 25 88.36 47 6 7.6 36 57.76 45.6 7 7.7 49 59.29 53.9 8 7.7 64 59.29 61.6 9 7.8 81 60.84 70.2 10 7.4 100 54.76 74 11 7.8 121 60.84 85.8 12 7.1 144 50.41 85.2 13 7.3 169 53.29 94.9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2010-2011 学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B 卷）答案Page 12 of 12 第 12 页 共 12 页14 7.1 196 50.41 99.4 105 111.9 1015 901.99 803.6 5.22710514110151222iixxxnxl，65.359 .1111051416.8031iiiixyyxnyxl，5 8 9 2 8 5 7.79.11114199.9011222iiyyynyl，设所求的回归函数为bxa，则有1 5 6 7.0?xxxyllb，168.9?1?iixnbyna因此经验回归方程为xy15677.0168.9? 需在显著性水平05.0下检验假设0:0:10bHbH5 8 9 2 8 5 7.7yyTlS，5 8 6 2 3 7 4 7 5.55.2271567.0?22xxRlbS，0 0 3 0 4 8 2 2.25 8 6 2 3 7 4 7 5.55 8 9 2 8 5 7.7RTESSS方差分析表来源平方和自由度均方和F 比临界值显著性回归 R5.586237475 1 5.586237475 33.4664 75.412, 195.0F显著残差 E2.003048225 12 0.166920685 总和7.5892857 13 所以，拒绝0H，认为0b，即回归效果显著名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -