2022年圆锥曲线典型例题 .pdf

圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P到直线1y的距离比它到点(0 3)，的距离小 2，则点P的轨迹方程为（）A A. 212xyB.212yxC.24xyD.26xy2、若圆04222yxyx的圆心到直线0ayx的距离为22, 则a 的值为（）C A-2 或 2 B2321或C2或 0 D-2 或 0 3、设 F1、F2为曲线 C1：x26+ y22=1 的焦点， P是曲线2C：1322yx与 C1的一个交点，则 PF1F2的面积为（）C (A) 14(B) 1 (C) 2 (D) 22 4、经过抛物线xy22的焦点且平行于直线0523yx的直线l的方程是（）A A.0346yx B. 0323yxC.0232yx D. 0132yx5、若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（） D A2 B2 C4 D46、如图，过抛物线)0(22ppxy的焦点 F的直线 l 交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF| ，且|AF|=3 ，则此抛物线的方程为（）B Axy232Bxy32Cxy292Dxy927、以141222xy的顶点为焦点,长半轴长为4 的椭圆方程为（）D A1526422yxB. 1121622yxC. 141622yxD.116422yx8、已知双曲线19222yax0a的中心在原点, 右焦点与抛物线xy162的焦点重合 ,则该双曲线的离心率等于( ) D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - A. 54B. 55558C. 45D. 774二、解答题1、已知椭圆2221(01)yxbb的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过 F,B,C三点作Pe，其中圆心P的坐标为(, )m n(1) 若椭圆的离心率32e，求Pe的方程；（ 2）若Pe的圆心在直线0 xy上，求椭圆的方程2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A，右焦点F与点( 2 ,2)B的距离为2。（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率0k的直线l：2kxy，使直线l与椭圆相交于不同的两点NM ,满足|ANAM，若存在，求直线l的倾斜角；若不存在，说明理由。3、已知椭圆E的方程为),0(12222babyax双曲线12222byax的两条渐近线为1l和2l，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得2ll于点C，又l与1l交于点P，l与椭圆E的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 两个交点从上到下依次为BA,（如图） . (1) 当直线1l的倾斜角为30，双曲线的焦距为8 时，求椭圆的方程；(2) 设BFPBAFPA21,，证明：21为常数 . 4、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c,0） （c0）的准线（准线方程 x=ca2,其中 a 为长半轴， c 为半焦距）与x 轴交于点A，FAOF2，过点 A 的直线与椭圆相交于点P、Q。（1）求椭圆方程；（2）求椭圆的离心率；（3）若0?OQOP，求直线 PQ的方程。5、已知 A（ 2，0） 、 B（2，0） ，点 C、点 D 依次满足).(21,2|ACABADAC（1）求点 D 的轨迹方程；（2）过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于M、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6、若椭圆)0(12222babyax过点（ -3，2） ，离心率为33， O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴， M 的方程为4)6()8(22yx， 过 M 上任一点P作 O 的切线 PA 、PB ，切点为A、B.（）求椭圆的方程；（）若直线PA与 M 的另一交点为Q，当弦 PQ 最大时，求直线PA的直线方程；（）求OBOA的最大值与最小值. 7、已知 A、B 分别是椭圆12222byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P22,1(）在椭圆上，线段PB与 y 轴的交点 M 为线段 PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求sinsinsinABC的值。8、已知曲线C：xy=1，过 C 上一点),(nnnyxA作一斜率为21nnxk的直线交曲线C于 另一 点),(111nnnyxA， 点 列),3,2,1(nAn的 横 坐 标 构 成 数 列 nx， 其 中7111x（1）求nx与1nx的关系式；（2）求证： 3121nx是等比数列；（3）求证：) 1,(1)1()1() 1()1(33221nNnxxxxnn。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 9、 已知点1, 0F和直线l：2x， 动点M到点F的距离与到直线l的距离之比为22（I）求动点M的轨迹方程；（II） 设过点 F的直线交动点M的轨迹于 A、 B两点，并且线段 AB的中点在直线0 xy上，求直线AB 的方程10、设椭圆222:1(0)2xyCaa的左右焦点分别为1F、2F，A是椭圆C上的一点，且2120AFF Fuuu u r uuuu r，坐标原点O到直线1AF的距离为113OF（）求椭圆C的方程；（）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点( 1,0)F，交y轴于点M，若2MQQFuuuu ruuu r，求直线l的斜率11、已知动圆过定点1,0A，且与直线1x相切 . (1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；(2) 是否存在直线l，使l过点(0,1)B，并与轨迹C交于,P Q两点，x y O F l M N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - F(-c,0)A(-1,0)C(1,0)B(0,b)yxo且满足0OP OQuuu r uuu r？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.12、设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点 .（）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF2PF的最大值和最小值; （）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围 . 祥细答案1、解： （1）当32e时，1a，32c，22231144bac，b12，点1(0,)2B,3(,0)2F，(1,0)C-2分设Pe的方程为222()()xmynr由Pe过点 F,B,C得2221()2mnr-2223()2mnr-222(1)mnr-5分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由联立解得234m，12 34n，254r-7 分所求的Pe的方程为222312 35()()444xy-8分（2）Pe过点 F,B,C三点，圆心P 既在 FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为12cx-9分BC的中点为1(, )2 2b，BCkbBC的垂直平分线方程为11()22byxb-10分由得21,22cbcxyb，即21,22cbcmnb-11分P(, )m n在直线0 xy上，21022cbcb(1)()0b bc10bbc由221bc得212b椭圆的方程为2221xy-14分2、解： （1）依题意，设椭圆方程为)0(12222babyax，则其右焦点坐标为22,)0,(baccF，2 分由| FB2，得22(2)(02)2c，即2(2)24c，解得22c。4 分又 2b，12222bca，即椭圆方程为141222yx。 5 分（2）由|ANAM知点A在线段MN的垂直平分线上，由1412222yxkxy消去y得12)2(322kxx即012)31 (22kxxk（*）7分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由0k，得方程（* ）的0144)12(22kk，即方程（* ）有两个不相等的实数根。 8 分设),(11yxM、),(22yxN，线段MN的中点),(00yxP，则2213112kkxx，22103162kkxxx，22220031231)31(262kkkkkxy，即)312,316(22kkkP10 分0k，直线AP的斜率为kkkkkk6)31 (2231623122221， 11 分由APMN，得16)31 (222kkk， 12 分66222k，解得：33k，即33tan，13 分又0，故6，或65， 存在直线l满足题意，其倾斜角6，或65。14 分3、解：（1）由已知，223,163baba，2 分解得 :2212,4ab，4 分所以椭圆E的方程是 :221124xy. 5 分（2）解法 1：设1122(,),(,)A xyB xy由题意得 : 直线1l的方程为 : byxa, 直线2l的方程为 : byxa, 7 分则直线l的方程为 : ()ayxcb, 其中点F的坐标为( ,0)c; 8 分由()byxaayxcb得: 2axcabyc ,则点2(,)aabPcc; 9 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由22221()xyabayxcb消 y 得:22222()0 xcxca, 则221212,2caxxc x x; 10分由1PAAFuu u ruuu r得:2112()axcxc, 则:2111()cxac cx, 同理由2PBBFuuu ruuu r得:2222()cxac cx, 12 分22221212211112122222222212121212()()()()()()()()()()22()()20()()()()cxacxacxacxcxacxc cxc cxc cxcxcaxxcx xcacacc cacac cxcxc cxcx故120为常数 . 14 分解法 2：过P作x轴的垂线m，过BA,分别作m的垂线，垂足分别为11,A B， 6 分由题意得 : 直线1l的方程为 : byxa, 直线2l的方程为 : byxa, 8 分则直线l的方程为 : ()ayxcb, 其中点F的坐标为( ,0)c; 9 分由()byxaayxcb得: 2axcabyc ,则直线 m为椭圆 E的右准线 ; 10 分则:11,PAPAPBPBAFe AABFe BBuu u ruu u ruu u ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu r , 其中 e 的离心率 ; 12 分12,PAPBPAPBAFBFAFBFuu u ru uu ruu u ruuu rQuuu ruuu ru uu ru uu r, 故120为常数 . 14 分4、解： （1）由已知得22,2()abccc，解得：224,6ca2 分所求椭圆方程为22162xy4 分（2）因6,2ac，得2636cea7 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - （3）因点2(,0)aAc即 A（3，0） ，设直线PQ 方程为(3)yk x 8 分则由方程组22(3)2612yk xxy，消去 y 得：2222(13)182760kxk xk设点1122(,),(,)P xyQ xy则2212122218276,1313kkxxx xkk10 分因0OP OQuuu r uuu rg，得12120 x xy y，又222212121212(3)(3)3()9y ykxxk x xkxxk，代入上式得2221212(1)3()90kx xkxxk，故2222222(1)(276)318901313kkkkkkkg解得：215,55kk，所求直线PQ方程为5(3)5yx14 分5、解： （1）设 C、D 点的坐标分别为C（),00yx，D),(yx，则00, 2(yxAC） ，)0,4(AB, 则), 6(00yxACAB，故)2,32()(2100yxACABAD又解得故.2,232),2(00yyxxyxAD.2,2200yyxx代入2)2(|2020yxAC中, 整理得122yx，即为所求点D 的轨迹方程 . （2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为)2(xky. 又设椭圆方程为)4(1422222aayax. 因为直线l：kxy+2k=0 与圆122yx相切 .故11|2|2kk，解得.312k将代入整理得，0444)4(2422222222aakaxkaxaka将312k代入上式，整理得0443)3(24222aaxaxa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 设 M（),11yx，N（),22yx，则32221aaxx，由题意有)3(5423222aaa，求得82a.经检验，此时的判别式. 0故所求的椭圆方程为.14822yx6、解： （）由题意得：1015331492222222bacbaacba所以椭圆的方程为1101522yx（）由题可知当直线PA过圆 M 的圆心（ 8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA的斜率一定存在，设直线 PA的方程为： y-6=k(x-8) 又因为 PA与圆 O 相切，所以圆心（0，0）到直线 PA的距离为10即101|68|2kk可得91331kk或所以直线PA的方程为：0509130103yxyx或( ) 设AOP则2,AOBBOPAOP则1201)(21cos2cos222OPOPOAAOB8210| ,12210|minmaxOPOP10200cos|2OPAOBOBOAOBOA7、解：（1）点M是线段PB的中点OM是PAB的中位线又ABOMABPA-2 分2222222211112,1,12cabcababc解得-7 分椭圆的标准方程为222yx=1 -8 分（ 2）点 C在椭圆上， A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a2 2，AB2c2 -10 分BAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 在 ABC中，由正弦定理，sinsinsinBCACABABC-12 分sinsinsinABC2 222BCACAB-14 分8、解： （1）过 C：xy1上一点),(nnnyxA作斜率为nk的直线交C 于另一点1nA，则2111111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxyyk，-3 分于是有：21nnnxxx即：121nnxx-4 分（2）记3121nnxa，则nnnnnnaxxxxa2)3121(231221312111， -6 分因为023121,711111xax而，因此数列 3121nx是等比数列。-8 分（3）由（ 2）可知：31)2(12,)2(nnnnxa则，31)1(212)1()1(nnnnnx。-9 分当 n 为偶数时有：nnnnxx)1() 1(11=nnnnnnnnnnnn21212222)312)(312(2231213121111111，-11 分于是在 n 为偶数时有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 12121212121) 1() 1() 1(432221nnnxxx。 -12 分在 n 为奇数时，前n-1 项为偶数项，于是有：nnnnxxxx) 1()1()1()1(11221131211)31)2(12(11)1(1nnnnnxx。-13 分综合可知原不等式得证。-14 分9、解：（I）设动点M的坐标为, x y，由于动点M到点F的距离与到直线l的距离之比为22，故2212|2 |2xyx，2 分化简得：2212xy，这就是动点M的轨迹方程6 分（II）设直线 AB的方程为(1)(0),yk xk代入2212xy，整理得2222(12)4220.kxk xk直线 AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，8 分记1122(,),(,)A xyB xy，AB中点00(,)P xy，则21224,21kxxk2012002212(),(1),22121kkxxxyk xkk线段 AB 的中点P在直线0 xy上，2002220,2121kkxykk0k，或1.2k10 分当直线 AB 与x轴垂直时，线段AB的中点 F不在直线0 xy上，直线 AB 的方程是0y或210 xy14 分10、解：（）由题设知2212(2,0),(2,0),2FaFaa其中由于2120AFF Fuuuu r u uu u r，则有212AFF Fu uu u ru uuu r，所以点A的坐标为22(2,)aa .2分xylANBFO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 故1AF所在直线方程为21()2xyaa a 3 分所以坐标原点O到直线1AF的距离为2221aa又212OFa，所以22221213aaa解得：2a.5 分所求椭圆的方程为22142xy 7 分（）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k直线l的方程为(1)yk x，则有(0, )Mk 9 分设11(,)Q xy，由于Q、F、M三点共线，且2MQQFuuu u ru uu r根据题意得1111(,)2(1,)xykxy解得112xyk或11233xky 12 分又Q在椭圆C上，故22( 2)()142k或222()( )33142k解得0,4kk综上，直线l的斜率为0或4. 14 分11、解：（1）设M为动圆圆心，由题意知：|MAM到定直线1x的距离，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中(1,0)A为焦点，1x为准线， 动圆的圆心M的轨迹C的方程为：24yx5 分（2）由题意可设直线l的方程为(1)(0)xk yk，由2(1)4xk yyx得2440ykyk216160kk1k或0k7 分且124yyk，124y yk9 分由0OP OQuuu r uu u r12120 x xy y11 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 21212(1)(1)0kyyy y2221212(1)()0ky ykyyk2224 (1)40k kkkk4k或0k（舍去）13 分又40k，所以直线l存在，其方程为：440 xy14 分12、解：（）解法一：易知2,1,3abc, 所以123,0 ,3,0FF1 分，设,P x y，则22123,3,3PFPFxyxyxyuuu r u uu u r3 分因为2,2x，故当0 x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPFu uu r u uu u r有最小值25 分当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPFuu u r u uu u r有最大值17 分解法二：易知2,1,3abc，所以123,0 ,3,0FF1 分，设,P x y，则22212121212121212cos2PFPFF FPFPFPFPFF PFPFPFPFPFuuu ruuu u ruu uu ru uu r uuu u ru uu ru uu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u r2222221331232xyxyxy3 分（以下同解法一）（）显然直线0 x不满足题设条件8 分，可设直线1222:2,lykxA x yB xy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx9 分由343)41(4)4(222kkk0 得：2323kk或12 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -