2022年大学物理电子教案之质点运动学 .pdf

第 2 章质点运动学本章要点：1质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度；2质点运动的矢量性与瞬时性、相对性；3三种常用坐标下各运动学量的表达式；4解决运动学基本问题的方法；5相对运动及伽利略变换。物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科, 这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 , 其基本形式有平动和转动。在平动过程中, 若物体内各点的位置没有相对变化, 那么各点所移动的路径完全相同, 可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中 , 这部分内容称为质点运动学。2.1 质点运动的描述2.1.1 参考系 质点1参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动, 绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时, 总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同, 对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。 因此 , 在讲述物体的运动情况时, 必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时, 通常选地球作为参考系。质点物体都有大小和形状, 运动方式又都各不相同。例如, 太阳系中 , 行星除绕自身的轴线自转外 , 还绕太阳公转； 从枪口射出的子弹, 它在空中向前飞行的同时, 还绕自身的轴转动；有些双原子分子 , 除了分子的平动、转动外, 分子内各个原子还在振动。这些事实都说明, 物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。如果我们研究某一物体的运动, 可以忽略其大小和形状, 或者可以只考虑其平动, 那么 , 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点, 这样的点通常叫做质点。质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的, 而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的 , 所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是, 在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出 , 把物体视为质点这种抽象的研究方法, 在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时, 可把整个物体看成是由许多质点组成的, 弄清这些质点的运动 , 可以弄清楚整个物体的运动。所以, 研究质点的运动是研究物体运动的基础。2.1.2 质点运动的矢量描述位置矢量运动方程位移（） 位置矢量r在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，须在参考系上选择一个坐标系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 在如图 -所示的直角坐标系中，在时间t，质点P在坐标系里的位置可用位置矢量)(tr来表示。 位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O，末端则与质点P在时刻t的位置重合。从图中可以看出，位矢r在 ox轴、 oy 轴和 oz 轴上的投影 (即质点的坐标 )分别为x、y和z。所以，质点P 在直角坐标系中的位置，既可以用位矢 r 来表示， 也可以用坐标x、y和 z 来表示。 那么位矢r亦可写成kjirzyx（2-1）其值为222zyxr位矢 r 的方向余弦由下式确定coscoscosrrrzryx图 2-1(2) 运动方程当质点运动时， 它相对坐标原点O的位矢 r 是随时间而变化的。因此， r 是时间的函数，即kjirr)()()()(tztytxt（2-2）式 (2-2)叫做质点的运动方程；而)(tx、)(ty和)(tz则是运动方程的分量式，从中消去参数t便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。应当指出 , 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。（3）位移在如图2-2 y-Ox平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻1t的点 A运动到时刻2t的点 B ， 质点相对原点O的位矢由Ar变化到Br。 显然，在时间间隔12ttt内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点A 指向终点 B 的有向线段AB称为点 A 到点 B 的位移矢量， 简称位移。位移AB反映了质点位矢的变化。如把AB写作r ，则质点从A点到点 B 的位移为ABrrr（ 2-3a）图 2-2亦可写成jirrr)()(ABABAByyxx上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x轴和y轴上的位移矢量和。若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz 中其位移为kjirrr)z-(zyyxxABABABAB)()(（2-3b）应当注意 ,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果, 并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中 , 曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹, 轨迹的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 长度为质点所经历的路程, 而位移则是r 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时, 其位移为零 , 而路程则不为零。所以, 质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在 t 取得很小的极限情况下,位移的大小 |r | 才可视为与路程 AB 没有区别。速度在力学中 , 若仅知道质点在某时刻的位矢, 而不能同时知道该质点是静还是动, 是动又动到什么程度 , 就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。（ 1） 平均速度如图 -所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动。在时刻t，它处于点A，其位矢为)(1tr。在时刻tt， 它处于点B ，其位矢为)(2ttr。在t时间内，质点的位移为12rrr。在时间间隔t内的平均速度v为ttrrrv12平均速度可写成jijirvyxvvtytxt图 2-3其中yxvv 和是平均速度v在Ox轴和Oy轴上的分量。（ 2 ） 瞬时速度当0t时，平均速度v的极限值叫做瞬时速度(简称速度 )，用v表示，有ttddlim0rtrv（2-4a）或jijitvyxttvvtyx00limlim（2-4b）其中tyvtxvyxdd,ddyxvv 和是速度v在 Ox 轴和 Oy 轴上的分量，又称为速度分量。显然，如以yxvv和分别表示速度v在Ox轴和Oy上的分速度 (注意 :它们是分矢量!)，那么有jivyxvv上式亦可以写成yxvvv(2-4c) 速度v的方向与0t在r时的极限方向一致。当0t时，r 趋于和轨道相切，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 与点A的切线重合。 所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。如图-所示。图 2-4只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢r和速度v是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。例设质点的运动方程为jir)()()(tytxt其中m2)sm1()(1ttx，m2)sm41()(22tty求s3t时的速度。(2)作出质点的运动轨迹图。解这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为ttyvtxvyx)sm21(dd,sm1dd21故s3t时的速度分量为11sm5.1sm1yxvv和于是s3t时，质点的速度为jiv)sm5.1()sm1(11速度的值为1sm8.1v， 速度v与x之间的夹角为o3 .5615.1arctg(2)由已知运动方程2m)sm41()(,m2)sm1 ()(22-1ttyttx消去t可得轨迹方程图 2-5m3)m41(21-xxy并可作如图 -所示的质点运动轨迹图。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 加速度上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化， 我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。（ 1） 平均加速度如图 -所示，设在时刻t， 质点位于点A ， 其速度为1v，在时刻tt，质点位于点B ，其速度为2v，则在时间间隔t内，质点的速度增量为12vvv，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为图 2-6tva（） 瞬时加速度当0t时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有tttddlim0vva（2-5）a的方向是0t时v的极限方向，而a的数值是/tv的极限值。应当注意，加速度a既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作曲线运动时， 任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。式(-5)可以写成)(ddjvivayxt即yxyxaaaajia（2-6）其中tvatvayyxxdd,dd例有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为jv)sm10(10，它在液体中的加速度为jav)s0. 1(1。问:(1)任一时刻t的球体的速度。 (2)时刻t球体经历的路程有多长？解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a的方向与球体的速度v的方向相反，由加速度的定义，有vtva)s0.1(dd1得vvttvv010d)s0.1(d有tevv)s0. 1(01名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 上式表明，球体的速率v随时间t的增长而减小。又由速度的定义，有tevtyv)s0.1(01dd得ytttevy00)s0.1(0dd1m110m)1(0.1110)s0.1()s0.1(11tteey2.1.3 几种常用的坐标直角坐标二维直角坐标的正交归一基矢是 ( i,j),( i,j) 分别是沿直角坐标轴x、 y 方向的单位矢量。在直角坐标下 , jyxirjttddddyixyxj2222ttddddyiaaaxyx例一质点具有恒定加速度jia)sm4()sm6(22，在0t时，其速度为零，位置矢量ir)m10(0。求：（ 1）在任意时刻的速度和位置矢量；（ 2）质点在Oxy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。解：由加速度定义式， 根据初始条件t0 = 0 时 v0 = 0，积分可得ttttvd )sm4(sm6(dd02200ji )avjivtt)sm4()sm6(22图 2-7 又由t ddrv及初始条件t = 0 时， r0= (10 m) i，积分可得ttttttrd)sm4()sm6(dd02200jivrjir)sm2()sm3(m102222tt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 由上述结果可得质点运动方程的分量式，即22sm3m10tx22sm2ty消去参数 t，可得运动的轨迹方程m2023xy这是一个直线方程，直线斜率32antddxyk。图 2-82平面极坐标设有一质点在如图2-8 所示Oxy平面内运动， 某时刻它位于点A 。由坐标原点O到点 A的有向线段r称为径矢，r与Ox轴之间的夹角为。于是，质点在点A 的位置可由 (,r) 来确定。这种以 (, r)为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点A 的坐标则为 (yx,) 。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为: sincosryrx和称为角坐标，它是时间 t 的函数，即（t ）,dtd为角速度，在圆周运动下,r。3自然坐标（）自然坐标一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如在平面直角坐标系中就是用x、y来描述， 但质点又有其运动轨迹y=y(x) ，则x、y间只有一个是独立的。这就是说， 在已知质点轨迹的前提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状况。这里，我们既不选择x, 也不选择y充当这一描述运动的标量函数，而是选用另一种所谓“自然坐标”。在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标轴” （当然是弯曲的） ，原点至质点位置的弧图2-9长 s 作为质点的位置坐标，弧长s 称为平面自然坐标，它确定质点的位置，并在质点所在处取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量te，称为切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线的凹侧的矢量ne，称为法向单位矢量。下面以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 圆周运动为例。（ 2）切向速度如图 2-9 所示，质点在圆周上点A的速度为v，于是点 A 的速度v可以写成tevv（2-7）式中v为速度v的值，te则代表速度v的方向。（3）切向加速度和法向加速度在圆周上任意点的加速度为tdvtvtdddddtteeva（2-8）式(2-8) 中第一项tddetv，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为te的方向，即与速度v的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用ta表示，另外，可得trtvdddd式中td/d为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号表示，有22ddddtt（2-9）角加速度的单位为2srad，则切向加速度ttear（2-10）图 2-10 式 (2-8)中的第二项td/dte，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看出。设在时刻t， 质点位于圆周上点A， 其速度为1v， 切向单位矢量为t1e； 在时刻tt，质点位于点B，速度为2v，切向单位矢量为t2e。在时间间隔t内，径矢r转过的角度为，速度增量为v，切向单位矢量的增量则为1tt2teee。由于切向单位矢量的值为1，即1t2t1ee，因而，从图 (b)可以知道1te。当0t时，亦趋于零，这时te的方向趋于与t1e垂直，即趋于与1v垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线方向上取单位矢量即法向单位矢量ne (如上图 )，那么，在0t时，t/te的极限值为ntt0ddddlimeeetttt这样，式 (2-8)中第二项可以写成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - ntddddeetvtv由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用na表示，有nnddeatv（2-11a）考虑到rvt,d/d故上式为rvrvr2nn2n2n,aeea（2-11b）由式 (2-10)和式 (2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达式(2-8)写成n2tntddeeaaarvtv（2-12a）或n2teearr (2-12b) 其中切向加速度ta是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度na则是由于速度方向的变化而引起。在变速圆周运动中，由于速度的方向和大小都在变化，所以加速度a的方向不再指向圆心(图 2-11)，其值和方向为tn212n2t tg,)(aaaaa图 2-11 上述结果虽然是从变速圆周运动中得出的，但对于一般的曲线运动，式(2-10)、(2-11)仍然适用。 此时可以把一段足够小的曲线看成是一段圆弧。这样包含这段圆弧的圆周就被称为曲线在给定点的曲率圆，从而可用曲率半径来替代圆的半径r。例如图 -所示，飞机在高空点A 时的水平速率为1Ahkm1940v，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B ，其速率为1Bhkm2192v，所经历的时间为s3t。设圆弧 AB的半径约为km5.3，且飞机从 A到 B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。若不计重力加速度的影响，求： (1)飞机在点 B 的加速度；(2)飞机由点A到达点B所经历的路程。解： (1) 由于飞机在AB 之间作匀变速率圆周运动，所以tv d/d和角加速度均为常量。切向加速度ta的值为tvaddt有ttvvtatavBA00ttddd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 得点B的切向加速度为2tsm3.23tvvaAB而在点B的法向加速度为22Bnsm106rva故飞机在点B时的加速度的值为22/12n2tsm109)(aaa图 2-12 a与na之间夹角为ont4.12arctgaa(2) 在时间t内，径矢 r 转过的角度为2A21tt其中A是飞机在点A 的角速度。故在此时间内，飞机经过的路程为m172221212tA2AttvtrtrrS2.1.4 运动学的基本问题运动学的问题一般分为两大类: 第一类问题是已知质点的位置矢量r =r(t),而求质点的速度和加速度, 这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。例如图 2-13,长为 l 的细棒 ,在竖直平面内沿墙角下滑,上端 A 下滑速度为匀速v。当下端 B 离墙角距离为x (xl )时, B 端水平速度和加速度多大 ?解：建立如图所示的坐标系设 A 端离地高度为y 222lyx方程两边对t 求导022dtdyydtdxxdtdyxydtdxvxy图 2-13lxyxyOAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - vxxl22加速度 :222xxdy/dt- yd /dtd xdtx=v232vxl例质点作半径为R 的圆周运动，其速率t2, 求：质点任意时刻的加速度a？解：224nvtRRa2dvdta24 t=+ 2Rntaee第二类问题是已知质点的加速度或速度, 而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件, 如初始位置和初始速度来决定。例 一质点沿圆周运动, 其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设为质点在圆周上任意两点速度1与2之间的夹角。试证: e12。证：Rvan2dtdvatdtdvRv2dsdvv即vdvRdsvdvRdss210积分得12lnvvRs12lnvvRse12。2.1.5 运动的叠加运动叠加原理在日常生活和生产实践中，常可看到一个物体同时参与两个或几个不同方向上运动的情形，大量实验事实表明，宏观物体任何一个方向的运动，都不因为其他方向的运动而受到影响，即各种方向的运动都具有独立性，这称为运动独立性原理。实例：以抛体运动为例。抛体运动是平面曲线运动，物体在空中任意时刻速度分量为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - c o s0vvxgtvvysin0积分可得tvxcos020gt21tsinvy图 2-14消去t 得轨迹方程2220cos2tgxvgxy由y= 0 得射程gvxm2sin20由yv=0 有gvtsin0射高gvym2sin220矢量形式为vv00(cos)(sin gt)vij图 2-15即vv00(cos)(sin gt)vijt0vgt0ttt21d20rvvg可见抛体运动可归结为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。例证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力)。解：00vggvvvvvvtt猴地弹地地猴弹地弹猴图 2-16 即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始瞄准猴子总能击中。0 xy0vxv0yv0vg0vtgv221gt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2.2 相对运动质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 ) 的例子是很多的。 例如一个人站在作匀速直线运动的车上 , 竖直向上抛出一块石子, 车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出, 石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系, 但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。2.2.1 相对位移如图 2-17 所示，先选定一个基本参考系K（地面） ，如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K 在运动，则称为运动参考系K。设一运动物体（球）P 在某一时刻相对于参考系 K 和 K 的位置， 可分别用位矢和表示； 而运动参考系K上的原点 O在基本参考系K 中的位矢为，它们之间有如下的关系，即（2-13）图 2-17 2.2.2相对速度将 2-13 式对时间 t 求导，dtddtddtdrrr0得1. ：物体在基本参考系K 中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用表示；r r0rxyOK x z yOuKz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2. ：物体在运动参考系K中观测到的速度，称为物体的相对速度，用表示； 3. ：运动参考系自身相对于基本参考系K 的速度，称为物体的牵连速度，用u 表示。于是，上式可以写成u（2-14 ）即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，这一结论称为速度合成定理，它表述了不同参考系之间的速度变换关系。例如图 2-19，两船 A 和 B 各以速度A和B行驶，试问它们会相碰吗？解：B 相对于 A 的速度地AB地BA地地AB=AB-不会相碰。图 2-18 例东流的江水，流速为v1=4 m/s, 一船在江中以航速v2=3 m/s 向正北行驶。试求:岸上的人将看到船以多大的速率v，向什么方向航行? 解 ：以岸为 K 系，江水为K 系船相对于岸的速度 m/s54322222121图 2-19方向121vvtg431tg087.36AvBvABAvBAB1v2vvAvBAvBv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 例一小船运载木料逆水而行，经过某桥下时， 一块木料不慎落入水中，经过半小时后才发觉，立即回程追赶，在桥下游5 千米处追上木料，设小船顺流及逆流的速度相同。求：（1）小船回程追赶所需时间？（2）水流速度？解：运动质点：船静止参照系：河岸；运动参照系：木料(1)先假设水不流动，则木料静止在桥下，船来回速度大小相同，那么船来回所需时间相同。t1=t2=0.5 小时来回共用时间2 t1=1 小时(2)现水流动，若由木料上观察者看：船来回所需时间如何？（船相对于运动参照系的运动如何）因水流动， 自然木料以水流速度向下飘移，但应注意到， 船同样也有一个由于水流动而向下飘移的运动，两者互相抵消。这样，在以木料为运动参照系来看，船的运动情况与水不流动时完全相同。所以所需时间t1=t2=0.5 小时来回共用时间2 t1=1 小时(3)求水流速度以河岸为参照系，木料以水匀速下飘，共用时间为1 小时，木料飘下距离为5 千米，则水=5/1=5 （千米 /小时）。本章小结：本章重点是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量，并借助于直角坐标系和自然坐标系计算各量。本章难点是运动学中各物理量的矢量性和相对性，以及将数学的微积分和矢量运算方法应用于物理学。1 质点的位矢、位移在直角坐标系中kjirzyxkjirzyx质点的运动方程描述质点运动的空间位置与时间的关系式kjir)()()()(tztytxt注意位移r 和路程s的区别：一般情况下)(rrr或rS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2 速度和加速度直角坐标系中kjirvtztytxtddddddddttdddd2rva或kjia222222ddddddtztytx注意速度和速率的区别，ddtrv，但一般情况下trtddddr3描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系，在自然坐标系中，质点的速度和加速度为tevvnnttnteeaaaaa其中：切向加速度ttddeatv，是量度速度量值的变化。法向加速度n2neav，是量度速度方向的变化。4. 质点的几种运动（1） 抛体运动ga，则200tt21grr（2）圆周运动角速度tdd角加速度22ddddtt且有关系式Rv22ntddRRvaRtva（3）相对运动伽利略速度变换式uvv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 习题- 一质点沿x轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0t时，0 x。试根据已知的图tv，画出ta图以及tx图。- 已知质点运动方程为)cos1(sintRytRx式中,R为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。- 一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度0a，以后加速度以tbaaa00均匀增加（式中b为一常数），求经t秒后，质点的速度和位移。- 质点在 Oxy 平面内运动，其运动方程为jir)sm00.2(m0.19)sm00.2(221tt。求： （1） 质点的轨迹方程；（ 2） 在s00.11t到s00. 22t时间内的平均速度；（）s00.11t时的速度及切向和法向加速度。- 如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h，滑轮到原船位置的绳长为0l，试求：当人以匀速v拉绳，船运动的速度v为多少？- 一质点自原点开始沿抛物线2bxy运动，它在Ox轴上的分速度为一恒量，其值为1sm0.4xv，求质点位于m0.2x处的速度和加速度。习题 -图习题 -图- 一足球运动员在正对球门前m0.25处以1sm0.20的初速率罚任意球， 已知球门高为m44.3。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）- 设从某一点O以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 体。试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。- 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bttvs运动，0v、b都是常量。（ 1）求t时刻的总加速度；（2）t为何值时总加速度在数值上等于b？（ 3）当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？- 一半径为m50.0的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在s0.2t时测得轮缘一点速度值为1sm0.4。求：（ 1）该轮在s5.0t的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在s0 . 2内所转过的角度。- 一质点在半径为m10.0的圆周上运动， 其角位置为33)srad4(rad2t。（1）求在s0.2t时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？（ 3）t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？- 一无风的下雨天，一列火车以11sm0 .20v的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降，求雨滴下落的速度2v。（设下降的雨滴作匀速运动）- 一人能在静水中以1sm10.1的速度划船前进，今欲横渡一宽为m1000.13、水流速度为1sm55.0的大河。 （1）他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方- 一质点相对观察者O运动， 在任意时刻t，其位置为2/,2gtyvtx，质点运动的轨迹为抛物线。若另一观察者O以速率v沿x轴正向相对O运动，试问质点相对O的轨迹和加速度如何？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -