2022年圆锥曲线中的最值、定值和范围问题文件 .pdf

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时， 可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。例 1：如图所示， 设点1F，2F是22132xy的两个焦点， 过2F的直线与椭圆相交于A、 B两点，求1F AB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：12112F F BF ABF F ASSS，设11(,)A xy，22(,)B xy，则11212121| | |(1)2F ABF FyyyycS设 直线AB的 方 程 为1xky代 入 椭 圆 方 程 得22(23)440kyky12122244,2323kyyy ykk即21222243(1)43|123211kyykkk令211tk，14312F ABttS，12tt（1t）利用均值不等式不能区取“”利用1( )2fttt（1t）的单调性易得在1t时取最小值1F ABS在1t即0k时取最大值为433，此时直线AB的方程为1x例 2设椭圆方程为1422yx，过点 M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足 OP(21OA)O B，点 N 的坐标为)21,21(，当 l 绕点 M 旋转时，求（1）动点 P 的轨迹方程； （2）|NP的最小值与最大值. 解（ 1）法 1：直线 l 过点 M（ 0，1）设其斜率为k，则 l 的方程为y=kx+ 1. 记 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B 的坐标(x1,y1)、 (x2,y2)是方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 14122yxkxy的解 . 将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP设点 P 的坐标为 (x,y), 则.44,422kykkx消去参数k 得 4x2+y2-y=0 当 k 不存在时， A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P 的坐标为 (x,y)，因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以,142121yx.142222yx得0)(4122212221yyxx，所以.0)(41)(21212121yyyyxxxx当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx将代入并整理得4x2+y2-y=0 当 x1=x2时，点 A、B 的坐标为（ 0，2） 、 （ 0， 2） ，这时点 P 的坐标为（0，0）也满足，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122yx（2）由点 P 的轨迹方程知.4141,1612xx即所以127)61(3441)21()21()21(|222222xxxyxNP故当41x，| NP取得最小值，最小值为1;4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 当16x时，| NP取得最大值，最大值为.621对于，有=m2+4b=10-m20，所以1010m。二、定值问题定值的问题，一般来说从两个方面来解决问题：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。（2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值） 。例 3：A、B是经过椭圆22221.xyab(0)ab右焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦/MNAB ，求证：2|M N：|AB是定值解析： 对于本题， MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将 其 倾 斜 角 退 到0， 此 时 有22|4M Na，|2ABa,2| :|2M NABa（定值）下面再证明一般性 设平行弦 MN、AB的倾斜角为，则斜率tank，MN 的方程为(tan)yx代入椭圆方程，又212|(1) |M Nkxx即得2222224|sina bM Nbc1，另一方面，直线AB方程为tan()yxc同理可得222222|sinabABbc2由12可知2| :|2M NABa（定值）关于式也可直接由焦点弦长公式得到三. 参数范围问题这类问题中往往没有直接给出不等关系，需要我们去寻找，求解的基本策略：一是从几何角度考虑， 当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质构造不等式来解； 二是建立目标函数，转化为求函数值域的问题，三是用代数方法构建以待定参数为主元的不等式，通过解不等式求出参数的范围。例 4（2010 四川理数） 椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x 轴的交点为A，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP 的垂直平分线过点F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 而| FA| 22abccc |PF| ac, ac 于是2bc ac, ac 即 ac c2b2 acc2222222accacacacc1112caccaa或又 e(0, 1) 故 e1,12例 5 已知椭圆的一个焦点为F1(0,- 22 )，对应的准线方程为924y，且离心率e满足：24, ,33e成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、N，且线段 MN 恰被直线12x平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解： 依题意 e 223，29222244acca3， c22 ，b 1，又 F1(0， 22 )，对应的准线方程为924y椭圆中心在原点，所求方程为22119xy(2)假设存在直线l，依题意l 交椭圆所得弦MN 被12x平分直线 l 的斜率存在。设直线 l： ykxm 由2219ykxmyx消去 y，整理得(k29)x22kmxm290l 与椭圆交于不同的两点M、N， 4k2m24(k29)(m29)0 即 m2k290 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 1221292xxkmk292kmk把代入式中得2222(9)(9)04kkkk3或 k3直线 l 倾斜角2()()3223，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -