2022年透视对应诱导初等几何解题的原理和方法 .pdf
第 21 卷第 6 期重庆工商大学学报(自然科学版 )2004年 12 月Vol. 21 No.6J Chongqing TechnolBusiness Univ. (Nat SciEd )Dec. 2004收稿日期:2004 - 09 - 02 ;修回日期:2004 - 10 - 11.作者简介:白运明(1945 - ) ,男,重庆市人,副教授,从事几何学及其应用研究.文章编号 :1672 - 058X(2004)06 - 0636- 03透视对应诱导初等几何解题的原理和方法白 运 明(重庆工商大学理学院,重庆400067)摘 要 :根据射影几何的透视对应理论和交比性质,以点列与线束形成的平面几何图形为基础 ,寻求出它们成透视对应的点列与线束中交比相等的4 点和 4 直线 ,再借助有关对应的点和直线构成的三角形,将交比相等转换成三角形面积相等,从而诱导出用初等几何的逻辑和方法解决几何中难解的问题.关键词 :射影对应 ;透视对应 ;交比 ;三角形面积中图分类号 :Q 123.3 文献标识码:B1 预备知识定义1共线的有序4点A、B、C、D ,把AC?BDAD?BC定义为这4点按已知顺序的交比,记为符号( AB ,CD),即(AB , CD)=AC?BDAD?BC,其中AC、AD、BD、BC是有向线段1共点的有序4 线a、b、c、d ,把Sin (ac)Sin (ad)?Sin (bd)Sin (bc)定义为这4 线按已知顺序的交比,记为 (ab, cd) ,即(ab, cd)=Sin (ac)Sin (ad)?Sin (bd)Sin (bc)右端的正弦函数的角是有向角注 11当O(AB , CD)=(ab, cd)时 (图 1) .定义 2 两个一维基本形,若任意 4 对对应元素的交比相等,则称这两个一维基本形成射影对应,用“ ” 联结 1图1定义 3 两个一维基本形成射影对应,若两线束对应直线交点共线 ,或若两点列对应点连线共点,或若一点列与一线束对应点在对应直线上,则称这两一维形成透视对应,用 “ ” 联结 12 诱导原理点列里 4 个点A、B、C、D的交比等于透视对应线束里对应4 直线a、b、c、d的交比 1证明 如图1 ,线束O与点列l成透视对应,直线a, b , c , d的对应元素分别为A , B , C , D1 设点列O到直线l的距离为h , O到A、B、C、D的线段长记为a、b、c、d1( AB , CD)=AC?BDAD?BC=1/2AC?h1/2AD?h?1/2BD?h1/2BC?h=SOACSOAD?SOBDSOBC=1/2acSin (ac) ?1/ 2bdSin (bd)1/ 2adSin (ad) ?1/ 2bcSin( bc)=? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - Sin( ac)Sin( ad)?Sin( bd)Sin( bc)= (ab, cd)注 2在以后的初等证明中常用三角形面积转换1 这里已看到转换逻辑,以后不再重述13 实 例蝴蝶定理 (TheBetterButterfly Theorem ) 设P是圆内定弦MN的中点,通过P任作两弦AB、CD ,若AD交MN于K, BC交MN于G,则PG=KP(图 2)1图2证明 根据射影几何逻辑,由图 2 显然( MP , GN)C ( MD ,BN)A ( MD , BN)( MK , PN)1MGMN?PNPG=MPMN?K NKP,所以MGPG=KNKP而MG-PGPG=KN-KPKP,PGKP=11初等几何的证明诱导出来为:MGMN?PNPG=S in MCG?S in PC NS in MCN?S in PCG=S in MAP?S in KANS inMAN?S inK AP=MP?K NMN?KP1其余同上 ,用比例性质PG=KP1笛沙格 (Desargues ) 定理 如 ABC和 ABC 对应顶点的连线AA 、BB 、CC 共点O ,则其他 3 边AB、AB, BC、BC, AC、AC的交点P、Q、K共线,如图 31证明 设ABKQ=P3,AB KQ=P,由射影几何逻辑显然( QS, KP3)A(QD , CB)Q( QD, CB)A( QS, KP) ,所以P3P P1诱导出的初等证明如下:QK?SP3SK?QP3=SinQAK?SinSAP3SinSAK?Sin QAP3=Sin QAC?SinDABSin QAB?SinDAC=QCDC?DBQB=Sin QOC?Sin DOBSin QOB?Sin DOC=SinQOC ?SinDOBSinQOB ?SinDOC=QCDB?DBDC=Sin QAC ?SinDABSin QAB ?SinDAC=SinQAK?SinSAPSinQAP ?SinSAK=QKQP?SPSKSP3QP3?SPQP,所以P3P P1笛沙格定理的逆定理(略) .可用上法考虑KCC 与PBB 证明O=CC BB 、A、A 共线.巴卜斯 (Pappus ) 定理 设有共面2 直线m、n , A、B、C为m上 3 点, A 、B 、C 为n上 3 点 1如果BCBC=L , CA CA=M , AB AB=N ,则L、M、N共线,如图 4 1证明 设LMAB=N, AC AB=D , ACBC=E, ( BD , NA)A( OC, BA)C( BC, LE)M( BD , NA)1 所以NN 1 诱导出的初等证明如下:BN?DADN?BA=Sin BAN?Sin DAASin DAN?Sin BAA=Sin OAB ?SinCAASin CAB ?SinOAA=OB ?CACB ?OA=Sin BCL?SinCCESin CCL?SinBCE=BL?CECL?BE=Sin BML?SinCMESin CML?SinBME=Sin BMN ?SinDMASin DMN ?Sin BMA=BN ?DADN ?BABNDN=BNDN,所以NN.帕斯卡 (Pascal) 定理 圆内接六边形ABCDEF的3组对边AB、DE; BC , EF; CD、FA或其延长线分别交于P、Q、R则共线 (图 5) 1证明 设PREF=S, CDEF=U , DEFA=T ,由射影几何逻辑( FQ , UE)C( FQ , UE)=C( FB , DE)A ( FB , DE)=A ( TP , DE)( TP , DE)R( FS, UE)736第6期 白运明:透视对应诱导初等几何解题的原理和方法? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 所以QS1 诱导出的初等证明如下:图5FUFE?QEQU=S in FCU?S in QCES in FCE?S in QC U=S in FCD?S in BCES in FCE?S in BCD=SinFAD?Sin BAESinFAE?SinBAD=SinTAD?Sin PAESinP AD?SinTAE=TD?PEPD?TE=SinTRD?Sin PRESinPRD?SinTRE=Sin FRU?SinSRESin SRU?Sin FRE=FU?SESU?FEQEQU=SESU,所以SQ1由以上问题可以归纳出,只要能用 “透视对应链” 解决的初等几何问题都可以用三角形面积法的相关初等逻辑推证解决 1 这里透视对应在图形上是较容易得出的,也不用考虑针对不同问题增加不易想到的辅助线1注1 :有关线段和角若不另行说明都是有向的;注2: SOAB表示OAB的面积,其他类同 1参考文献 :1 吴文俊 1 数学机械化M1 北京:科学出版社,20032 张景中 1 平面几何新路M1 成都:四川教育出版社,1994S olution principle and methodof perspectivityinduced elementarygeometryBAI Yun -min(Collegeof Science,ChongqingTechnologyandBusinessUniversity ,Chongqing400067,China )Abstract :According to perspectivity theory and crossratioproperty of projective geometryand on the basisofplane geometryfigure formed by point rangeand line pencil ,four points andfour straightlines of crossratioequealinpoint rageandline pencil of perspectivitywere s olved.Crossratioequawastrans formedinto triangleareaequaanddif2ficult problemsin geometrywas settledby usinglogic and methodof elementarygeometry.Key words :projectivecorrespondence ;perspectivity;crossratio;triangle area责任编辑:杨祖彬836重庆工商大学学报(自然科学版)第21卷? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -
