2022年年全国统一高考数学试卷 .pdf

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）=（）A1+2i B12i C2+i D2i2 （5 分）设集合 A=1，2，4，B=x| x24x+m=0 若 AB= 1，则 B= （）A 1，3B 1，0C 1，3D 1，53 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 意思是：一座7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D9 盏4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C 42D365 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料A15 B9 C1 D96 （5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种7 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩 根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=1，则输出的 S= （）A2 B3 C 4 D59（5 分）若双曲线 C：=1 （a0， b0） 的一条渐近线被圆 （x2）2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）A2 BC D10 （5 分）已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ABC=120 ，AB=2，BC=CC1=1，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABC D11 （5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1 B2e3C5e3 D 112 （5 分）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A2 B C D1三、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX=14 （5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x 0， ）的最大值是15 （5 分）等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=16 （5分）已知 F是抛物线 C：y2=8x的焦点， M 是 C上一点， FM 的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN的中点，则 | FN| =三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17（12 分）ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 已知 sin （A+C） =8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC面积为 2，求 b18 （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg” ，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（K2k）0.0500.010 0.001 K3.841 6.635 10.828 K2=19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE 平面 PAB ；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ，求二面角 MABD的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料20 （12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足=（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点 Q在直线 x=3上，且?=1证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F21 （12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明： f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 （22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P在线段 OM 上，且满足 | OM| ?| OP| =16，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（ 2，） ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：（1） （a+b） （a5+b5）4；（2）a+b2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2017?新课标）=（）A1+2i B12i C2+i D2i【解答】 解：=2i，故选 D2 （5 分） （2017?新课标）设集合A= 1，2，4 ，B= x| x24x+m=0 若 AB=1 ，则 B=（）A 1，3B 1，0C 1，3D 1，5【解答】 解：集合 A=1，2，4，B= x| x24x+m=0若 AB= 1，则 1A 且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=x| x24x+3=0= 1，3 故选： C3 （5 分） （2017?新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D9 盏【解答】 解：设这个塔顶层有a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2 为公比、 a为首项的等比数列，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料又总共有灯 381 盏，381=127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B4 （5 分） （2017?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C 42D36【解答】解：由三视图可得， 直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，V=?3210?326=63 ，故选： B5 （5 分） （2017?新课标）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料最小值是（）A15 B9 C1 D9【解答】 解：x、y 满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由解得 A（6，3） ，则 z=2x+y 的最小值是： 15故选： A6 （5 分） （2017?新课标）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种【解答】 解：4 项工作分成 3 组，可得：=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由 1 人完成，可得： 6=36种故选： D7 （5 分） （2017?新课标）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【解答】 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良， （若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选： D8 （5 分） （2017?新课标）执行如图的程序框图，如果输入的a=1，则输出的 S= （）A2 B3 C 4 D5【解答】 解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=1，代入循环，第一次满足循环， S= 1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1 ，a=1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2 ，a=1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，k=6；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料满足条件，第六次满足循环，S=3 ，a=1，k=7；76 不成立，退出循环输出，S=3；故选： B9 （5 分） （2017?新课标）若双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（ x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）A2 BC D【解答】解：双曲线 C ：=1 （a0， b0） 的一条渐近线不妨为： bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（ 2，0） ，半径为： 2，双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（ x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得 e2=4，即 e=2故选： A10 （5 分） （2017?新课标）已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，ABC=120 ，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）ABC D【解答】 解：如图所示，设 M、N、P分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ） ，可知 MN=AB1=，NP= BC1=；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料作 BC中点 Q，则 PQM 为直角三角形；PQ=1 ，MQ=AC ，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB?BC?cos ABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN 中，由余弦定理得cosMNP=；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB1与 BC1所成角的余弦值为11 （5 分） （2017?新课标）若x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1 B2e3C5e3 D 1【解答】 解：函数 f（x）=（x2+ax1）ex1，可得 f （x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，可得： 4+a+（32a）=0解得 a=1可得 f （x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为： x=2，x=1，当 x2 或 x1 时，f （x）0 函数是增函数， x（2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值： f（1）=（1211）e11=1故选： A12 （5 分） （2017?新课标）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（）A2 B C D1【解答】 解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A（0，） ，B（1，0） ，C（1，0） ，设 P（x，y） ，则=（x，y） ，=（1x，y） ，=（1x，y） ，则?（+）=2x22y+2y2=2 x2+（y）2当 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选： B三、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分） （2017?新课标）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料随机取一件，有放回地抽取100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX=1.96【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则 DX=npq=np （1p）=1000.020.98=1.96故答案为： 1.9614 （5 分） （2017?新课标）函数f（x）=sin2x+cosx （x 0， ）的最大值是1【解答】 解：f（x）=sin2x+cosx =1cos2x+cosx ，令 cosx=t且 t 0，1 ，则 f（t）=t2+t+=（t）2+1，当 t=时，f（t）max=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为： 115 （5 分） （2017?新课标）等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=【解答】 解：等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，则=2 1+ + =2（1）=故答案为：16 （5 分） （2017?新课标）已知 F是抛物线 C ：y2=8x的焦点，M 是 C上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN的中点，则 | FN| =6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【解答】 解：抛物线 C：y2=8x的焦点 F（2，0） ，M 是 C上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN的中点，可知 M 的横坐标为： 1，则 M 的纵坐标为：，| FN| =2| FM| =2=6故答案为： 6三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分） （2017?新课标） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC面积为 2，求 b【解答】 解： （1）sin（A+C）=8sin2，sinB=4 （1cosB） ，sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB 15） （cosB 1）=0，cosB=；（2）由（ 1）可知 sinB=，SABC=ac?sinB=2 ，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=218 （12 分） （2017?新课标）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg” ，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附：P（K2k）0.0500.010 0.001 K3.841 6.635 10.828 K2=【解答】 解： （1）记 B 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于50kg” ，由 P（A）=P（BC ）=P（B）P（C） ，则旧养殖法的箱产量低于50kg： （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=0.62，故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg： （0.068+0.046+0.010+0.008）5=0.66，故 P（C）的估计值为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量 50kg箱产量 50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则 K2=15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知： 方法一：=5（37.50.004+42.50.020+47.50.044+52.50.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008） ，=510.47，=52.35（kg） 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5=0.034，箱产量低于 55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）5=0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35（kg） ，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg） 19 （12 分） （2017?新课标）如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE 平面 PAB ；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ，求二面角 MABD的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【解答】 （1）证明：取 PA的中点 F，连接 EF ，BF ，因为 E是 PD的中点，所以 EFAD，AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得CE BF，BF ? 平面 PAB ，CF ?平面 PAB ，直线 CE 平面 PAB ；（2）解：四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点取 AD的中点 O，M 在底面 ABCD上的射影 N 在 OC上，设 AD=2，则 AB=BC=1 ，OP=，PCO=60 ，直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ，可得： BN=MN，CN=MN，BC=1 ，可得： 1+BN2=BN2，BN=，MN=，作 NQAB于 Q，连接 MQ，所以 MQN 就是二面角 MABD 的平面角， MQ=，二面角 MABD的余弦值为：=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料20 （12 分） （2017?新课标）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：+y2=1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足=（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点 Q在直线 x=3上，且?=1证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F【解答】 解： （1）设 M（x0，y0） ，由题意可得 N（x0，0） ，设 P（x，y） ，由点 P满足=可得（ xx0，y）=（0，y0） ，可得 xx0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点 P的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m） ，P（cos ，sin ） ， （0 2 ） ，?=1，可得（cos ，sin ）?（3cos ，msin ）=1，即为 3cos 2cos2 +msin 2sin2=1 ，解得 m=，即有 Q（3，） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料椭圆+y2=1的左焦点 F（1，0） ，由 kOQ=，kPF=，由 kOQ?kPF=1，可得过点 P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F21 （12 分） （2017?新课标）已知函数f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明： f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22【解答】 （1）解：因为 f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx） （x0） ，则 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，因为 h （x）=a，且当 0 x时 h （x）0、当 x时 h （x）0，所以 h（x）min=h（） ，又因为 h（1）=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；（2）证明：由（ 1）可知 f（x）=x2xxlnx，f （x）=2x2lnx，令 f （x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x2lnx，则 t （x）=2，令 t （x）=0，解得： x=，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以 t（x）在区间（ 0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以 t（x）min=t（）=ln210，从而 t（x）=0 有解，即 f （x）=0 存在两根x0，x2，且不妨设f （x）在（ 0，x0）上为正、在（ x0，x2）上为负、在（ x2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（x0）=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 f（x0）（ x0）max=+= ；由 f （）0 可知 x0，所以 f（x）在（ 0，x0）上单调递增，在（ x0，）上单调递减，所以 f（x0）f（）=；综上所述， f（x）存在唯一的极大值点x0，且 e2f（x0）22（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 （22 （10 分） （2017?新课标）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P在线段 OM 上，且满足 | OM| ?| OP| =16，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（ 2，） ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值【解答】 解： （1）曲线 C1的直角坐标方程为： x=4，设 P（x，y） ，M（4，y0） ，则，y0=，| OM| OP | =16，=16，即（x2+y2） （1+）=16，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料x4+2x2y2+y4=16x2，即（ x2+y2）2=16x2，两边开方得： x2+y2=4x，整理得： （x2）2+y2=4（x0） ，点 P的轨迹 C2的直角坐标方程：（x2）2+y2=4（x0） （2）点 A 的直角坐标为 A（1，） ，显然点 A 在曲线 C2上，| OA| =2，曲线 C2的圆心（ 2，0）到弦 OA的距离 d=，AOB的最大面积 S= | OA| ?（2+）=2+ 选修 4-5：不等式选讲 23 （2017?新课标）已知 a0，b0，a3+b3=2，证明：（1） （a+b） （a5+b5）4；（2）a+b2【解答】 证明： （1）由柯西不等式得： （a+b） （a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，当且仅当=，即 a=b=1时取等号，（2）a3+b3=2，（a+b） （a2ab+b2）=2，（a+b） （a+b）23ab =2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当 a=b=1时等号成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕； whgcn；qiss；742048；maths；sxs123 ；cst；zhczcb （排名不分先后）菁优网2017 年 6 月 12 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -