2022年常用逻辑用语知识点总结及同步练习 .pdf

选修 2-1 第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1. 定义： 一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。2. 辨析： 能够分辨哪一个是命题及其真假。判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“ 太阳系外存在外星人 ” ，对于这个句子所描述的情形， 目前确定其真假， 但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。不判断真假的语句，就不能叫命题。“X2 ” 。3.原命题与逆命题即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题 ；如果把其中一个命题叫做原命题 ，那么另一个叫做原命题的逆命题 .4. 否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题 ，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的 否命题 .5. 原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题 ，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的 否命题 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 6.四种命题的形式一般到，我们用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则q ；逆否命题：若 q 则p.7. 四种命题的相互关系一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：（四种命题的真假性之间的关系）原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系. 8. 反证法欲证“ 若 p 则 q” 为真命题，从否定其结论即“ 非 q” 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“ 非 q” 为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法其反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 1.2 充分条件与必要条件1. 充分条件的定义如果 p 成立时， q 必然成立，即 pq，我们就说， p 是 q 成立的充分条件（即为使 q成立，只需条件p 就够了）2. 必要条件的定义如果 B 成立时， A 必然成立，即 qp，我们就说， q 是 p 成立的必要条件（即为使 q成立，就必须条件p 成立）3. (1)若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。P q 说明： 充要条件是互为的；“p 是 q 的充要条件 ” 也说成 “p 与 q 等价” 、p 当且仅当 q” 等. pq，且 qp，则 p 是 q 的充要条件；pq，但 qp，则 p 是 q 的充分而不必要条件；qp，但 pq，则 p 是 q 的必要而不充分条件；pq，且 qp，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 1.3 简单的逻辑联结词1. “ 或” 与日常生活中的用语 “ 或” 的意义不同，在日常生活用语中的 “ 或” 带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的 “ 或” 可以同时兼有。对于逻辑用语“ 或” 的理解我们可以借助于集合中的并集的概念： 在AxxBA|或Bx中的“ 或” 是指 “Ax” 与“Bx” 中至少有一个成立，可以是 “Ax且Bx” ，也可以是 “Ax且Bx” ，也可以是 “Ax且Bx” ，逻辑用语中的 “ 或” 与并集中的 “ 或” 的含义是一样的；2. 对“ 且” 的理解 ，可以联想到集合中的交集的概念：在AxxBA|且Bx的“ 且” 是指“Ax” 、“Bx” 都要满足的意思，即x既要属于集合 A，又要属于集合 B；3. 对“ 非” 的理解， 可以联想到集合中的补集的概念：“ 非” 有否定的意思，一个命题p 经过名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 使用逻辑联结词 “ 非” 构成一个复合命题 “ 非 p ” ，当 p 为真时，非 p 为假，当 p 为假时，非 p为真。若将命题 p 对应集合 P ，则命题非 p 就对应着集合 P 在全集 U 中的补集PCU；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“ 非” 本身就具有否定的意思，如“0 .5 是非整数 ” 是对命题“0.5 是整数 ” 进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。4. 构造复合命题的方式： 简单命题 +逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。5. 复合命题的真假判断：p q 非 p p 或 q p 且 q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意： “ 命题的否定 ” 与“ 否命题 ” 是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“ 所有的 ”“任意一个 ” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ” 表示。 （常见的全称量词还有“ 一切” “每一个 ” “任给” “所有的 ” 等 。 ）含有全称量词的命题，叫做全称命题。如：全称命题 “ 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ” 可用符号简记为：简记为读作“ 对任意 x 属于 M，有 p(x)成立” 。2. 存在量词、特称命题定义：( ),xMp x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 短语“ 存在一个 ”“至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“” 表示。 (常见的存在量词还有 “ 有些”“有一个”“对某个 ”“有的” 等 。) 含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题 “ 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 ” 可用符号简记为：读作“ 存在一个 x0 属于 M，使 p(x0)成立” 。3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。（2）全称量词与存在量词的否定。关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某个任意两个某两个所有的某些能不能00(),xMp x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 基础训练 A 组 一、选择题1下列语句中是命题的是（）A周期函数的和是周期函数吗？B0s i n 4 51C2210 xxD梯形是不是平面图形呢？2在命题 “ 若抛物线2yaxbxc的开口向下，则2|0 x axbxc” 的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A都真B都假C否命题真D逆否命题真3有下述说法：0ab是22ab的充要条件0ab是ba11的充要条件0ab是33ab的充要条件则其中正确的说法有（）A0个B1个C2个D3个4下列说法中正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“ ab” 与“ acbc” 不等价C“220ab,则,a b全为0” 的逆否命题是 “ 若,a b全不为0, 则220ab” D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5若:,1A aR a, :B x的二次方程2(1)20 xaxa的一个根大于零 , 另一根小于零 ,则A是B的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知条件:12px，条件2:56qxx ，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题1命题： “ 若a b不为零，则,a b都不为零 ” 的逆否命题是212:,A x x 是方程20(0)axbxca的两实数根；12:bBxxa, 则A是B的条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3用“ 充分、必要、充要 ” 填空：pq为真命题是pq为真命题的 _ 条件；p为假命题是pq为真命题的 _ 条件；:23Ax, 2:4150B xx, 则A是B的_条件4命题“2230axax不成立 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 _5“abZ” 是“20 xaxb有且仅有整数解 ” 的_条件三、解答题1对于下述命题p，写出 “p” 形式的命题，并判断 “p” 与“p” 的真假：（1）:p 91()AB（其中全集*UN，|Ax x是质数 ，|Bx x是正奇数）（2）:p有一个素数是偶数；（3）:p任意正整数都是质数或合数；（4）:p三角形有且仅有一个外接圆2已知命题),0(012:, 64:22aaxxqxp若非p是q的充分不必要条件，求a 的取值范围3若222abc，求证：, ,a b c不可能都是奇数4求证：关于 x的一元二次不等式210axax对于一切实数 x 都成立的充要条件是04a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 综合训练 B 组 一、选择题1若命题 “pq” 为假，且 “p” 为假，则（）Ap或q为假 Bq假Cq真D不能判断q的真假2下列命题中的真命题是（）A3 是有理数B22是实数Ce是有理数D|x x是小数R3有下列四个命题：“ 若0 xy, 则,x y互为相反数 ” 的逆命题；“ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题；“ 若1q,则220 xxq有实根” 的逆否命题；“ 不等边三角形的三个内角相等” 逆命题；其中真命题为（）A BCD4设aR，则1a是11a的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5命题： “ 若220( ,)aba bR ，则0ab” 的逆否命题是（）A若0( ,)aba bR，则220abB若0( ,)aba bR，则220abC若0,0( ,)aba bR且，则220ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - D若0,0( ,)aba bR或，则220ab6若,a bR,使1ab成立的一个充分不必要条件是( ) A1abB1aC0. 5,0. 5ab且 D1b二、填空题1有下列四个命题：、命题 “ 若1xy，则 x，y互为倒数 ” 的逆命题；、命题 “ 面积相等的三角形全等 ” 的否命题；、命题 “ 若1m，则022mxx有实根 ” 的逆否命题；、命题 “ 若ABB，则AB” 的逆否命题其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）2已知,p q都是 r 的必要条件， s是 r 的充分条件 ,q是 s的充分条件，则 s是q的_条件， r 是q的条件，p是 s的条件3“ ABC中,若090C,则,AB都是锐角 ” 的否命题为；4已知、 是不同的两个平面，直线ba直线,， 命题bap与:无公共点；命题/:q，则qp是的条件5若“2,5x或|14xx xx或” 是假命题，则 x 的范围是 _三、解答题1判断下列命题的真假：（1）已知, , ,a b c dR若,.acbdabcd或则（2）32,xN xx（3）若1,m则方程220 xxm无实数根（4）存在一个三角形没有外接圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2已知命题2:6,:pxxq xZ且“ pq且 ” 与“ 非q” 同时为假命题，求x的值3已知方程22(21)0 xkxk,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件4已知下列三个方程：22224430,(1)0,220 xaxaxaxaxaxa至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围提高练习 C 组一、选择题1有下列命题：2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形；方程21x的解1x其中使用逻辑联结词的命题有（）A1个B2个C3个D4个2设原命题：若2ab，则,a b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题3在ABC中，“30A” 是“21sin A” 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - C充要条件D既不充分也不必要条件4一次函数nxnmy1的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A1,1mn且B0mnC0 ,0mn且D0 ,0mn且5设集合|2 ,|3Mx xPx x,那么“xM,或xP” 是“xMP” 的（A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6命题:p若,a bR， 则1ab是1ab的充分而不必要条件； 命题:q函数12yx的定义域是, 13,，则（）A“p或q” 为假B“p且q” 为真Cp真q假Dp假q真二、填空题1命题“ 若ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等” 的逆否命题；2用充分、必要条件填空：1,2x且y是3xy的1,2x或y是3xy的3下列四个命题中“1k” 是“ 函数22cossinykxkx的最小正周期为” 的充要条件；“3a” 是“ 直线230axya与直线3(1)7xaya相互垂直 ” 的充要条件； 函数3422xxy的最小值为2其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）4已知0ab，则1ba是02233baabba的_ 条件5若关于 x的方程22(1)260 xaxa有一正一负两实数根，则实数a的取值范 _三、解答题1写出下列命题的 “p” 命题：（1）正方形的四边相等（2）平方和为0的两个实数都为0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - （3）若ABC是锐角三角形，则ABC的任何一个内角是锐角（4）若0abc，则, ,a b c中至少有一个为0（5）若 (1)(2)0,12xxxx则且2已知1: 123xp；)0(012:22mmxxq若p是q的必要非充分条件，求实数m 的取值范围3设0, ,1a b c，求证：(1) ,(1) ,(1)a bb cc a不同时大于414命题:p方程210 xmx有两个不等的正实数根，命题:q方程244(2)10 xmx无实数根若“p或q” 为真命题，求 m的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - （数学选修 2-1）第一章常用逻辑用语参考答案基础训练 A 组 一、选择题1B 可以判断真假的陈述句2D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题3A 220abab，仅仅是充分条件0abba11，仅仅是充分条件；330abab，仅仅是充分条件4D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性5A :,120A aR aa，充分，反之不行6A :12, 31pxx，22:56,560,3,2qxxxxxx或pq，充分不必要条件二、填空题1若,a b至少有一个为零，则a b为零2充分条件AB3必要条件；充分条件；充分条件，:15,:219219,AxBxAB43 , 0 2230a xa x恒成立，当0a时，30成立；当0a时，204120aaa得30a；30a5必要条件左到右来看： “ 过不去 ” ，但是 “ 回得来 ”三、解答题1解： （1）:91,91pAB或；p真，p假；（2）:p每一个素数都不是偶数；p真，p假；（3）:p存在一个正整数不是质数且不是合数；p假，p真；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - （4）:p存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆2解：: 46,10,2,|10,2pxxxAx xx或或22:2101,1,|1,1q xxaxaxaBx xaxa，或记或而,pqAB，即12110 ,030aaaa3证明：假设, ,a b c都是奇数，则222,abc 都是奇数得22ab为偶数，而2c为奇数，即222abc，与222abc矛盾所以假设不成立，原命题成立4证明：210(0)axaxa恒成立2040aaa04a（数学选修 2-1）第一章常用逻辑用语参考答案综合训练 B 组 一、选择题1B “p” 为假，则p为真，而pq（且）为假，得q为假2B 22属于无理数指数幂，结果是个实数；3 和e都是无理数；|x xR是小数3C 若0 xy, 则,x y互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题为 “ 不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题；若1440,qq即440q,则220 xxq有实根，为真命题4A 1a11a，“ 过得去 ” ；但是 “ 回不来 ” ，即充分条件5D 0ab的否定为,a b至少有一个不为06D 当1,0ab时，都满足选项,A B，但是不能得出1ab当0.5,0.5ab时，都满足选项C，但是不能得出1ab二、填空题0,00,00,00,0abababab其中之一的否定是另外三个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 1，ABB，应该得出BA2充要，充要，必要,;,;qsrq qs rqsrrq srp3若090C,则,AB不都是锐角条件和结论都否定4必要qp从p到q，过不去，回得来51, 22 , 5x和|14xx xx或都是假命题，则2,514xxx或三、解答题1解： （1）为假命题，反例：14521542，或，而（2）为假命题，反例：320,xxx 不成立（3）为真命题，因为1440mm无实数根（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆2解：非q为假命题，则q为真命题； pq且 为假命题，则p为假命题，即26,xxxZ且，得2260, 23,60 xxxxZxx1, 0 , 1,2x或3解：令22( )(21)f xxkxk ，方程有两个大于1的实数根22(21)402112(1)0kkkf即104k所以其充要条件为104k4解：假设三个方程：22224430,()0,220 xaxaxaxaxaxa都没有实数根，则2122221(4 )4( 43)0(1)40(2 )4( 2 )0aaaaaa，即31221,1320aaaa或，得312a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3,12aa或提高练习 C 组1C 中有 “ 且” ；中没有；中有 “ 非” ； 中有“ 或”2A 因为原命题若2ab，则,a b中至少有一个不小于1的逆否命题为，若,a b都小于1，则2ab显然为真，所以原命题为真；原命题若2ab，则,a b中至少有一个不小于1的逆命题为，若,a b中至少有一个不小于1，则2ab，是假命题，反例为1.2,0.3ab3B 当0170A时，001sin170sin102，所以 “ 过不去 ” ；但是在 ABC中，0001sin30150302AAA，即“ 回得来 ”4B 一次函数nxnmy1的图象同时经过第一、三、四象限10,00,00mmnmnnn且且，但是0mn不能推导回来5A “xM,或xP” 不能推出 “xMP” ，反之可以6D 当2,2ab时，从1ab不能推出1ab，所以p假，q显然为真1若ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形2既不充分也不必要，必要若1.5,1.53xyxy且，143,1x而1,2x或y不能推出3xy的反例为若1.5,1.53xyxy且，3xy1,2x或y的证明可以通过证明其逆否命题1,23xyxy且3，“1k” 可以推出 “ 函数22cossinykxkx的最小正周期为”但是函数22cossinykxkx的最小正周期为，即2cos2,12ykx Tkk “3a” 不能推出 “ 直线230axya与直线3(1)7xaya相互垂直 ”反之垂直推出25a； 函数22222243 113333xxyxxxx的最小值为2令2min14 33,3,333xt ty名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4充要332222(1) ()aba bababaa bb 5(,3 )260a1解（1）存在一个正方形的四边不相等； （2）平方和为0的两个实数不都为0；（3）若ABC是锐角三角形，则ABC的某个内角不是锐角（4）若0abc，则, ,a b c中都不为0；（5）若 (1)(2)0,12xxxx则或2解：1: 12,2,10,|2,103xpxxAx xx或或22:210,1,1,|1,1q xxmxmxm Bx xmxm或或p是q的必要非充分条件，BA，即129,9110mmmm3证明：假设(1) ,(1) ,(1)a bb cc a都大于41，即11(1),(1),44a bb c1(1)4c a，而11 11(1),(1),2222abbca bb c11(1),22cac a得11132222abbcca即3322，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立4解：“p或q” 为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或q和p都是真命题当p为真命题时，则2121240010mxxmx x，得2m；当q为真命题时，则216(2)160,31mm得当q和p都是真命题时，得32m1m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -