2022年年广州市一模理科数学试题及答案,推荐文档 .pdf

1 绝密 启用前2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本小题共12 题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数221i1i的共轭复数是（ A）1 i（B）1i（C）1i（D）1 i（2）若集合1Mx x，2,1Ny yxx，则（ A）MN（B）MN（C）NM（D）MNI（3）已知等比数列na的各项都为正数, 且35412a ,a ,a成等差数列 , 则3546aaaa的值是（A）512（B）512（C）352（D）352（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n, 则输出k的值为（A）2（B）3（C）4（D）5（5）已知双曲线C222:14xya的一条渐近线方程为230 xy,1F,2F分别是双曲线C的左，右焦点 , 点P在双曲线C上, 且17PF, 则2PF等于（ A）1（B）13（C）4或10（D）1或13名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 （6）如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么 , 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）12（B）1532（C）1132（D）516（8）已知1F,2F分别是椭圆C2222:10 xyabab的左 , 右焦点 , 椭圆C上存在点P使12F PF为钝角 , 则椭圆C的离心率的取值范围是（A）2,12（B）1,12（C）20,2（D）10,2（9）已知:0,1xpxeax成立 , :q函数1xfxa是减函数 , 则p是q的（ A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑 , PA平面ABC, 2PAAB，4AC, 三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上 , 则球O的表面积为（ A）8（B）12（C）20（D）24（11）若直线1y与函数2sin 2fxx的图象相交于点11,P x y，22,Q xy，且12xx23，则线段PQ与函数fx的图象所围成的图形面积是（A）233（B）33（C）2323（D）323（12）已知函数32331248fxxxx, 则201612017kkf的值为（A）0（B）504（C）1008（D）2016名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 PCBA第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第22 23 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4 题，每小题5 分。（13）已知1,2ab，且a()ab，则向量a与向量b的夹角是. （14）3nx的展开式中各项系数和为64，则3x的系数为.（用数字填写答案）（15）已知函数122,0,1log,0,xxfxxx若2fa, 则实数a的取值范围是. （16）设nS为数列na的前n项和, 已知12a, 对任意,p qN*, 都有pqpqaaa，则60(1nSfnnnN*)的最小值为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）如图 , 在ABC中, 点P在BC边上 , 60 ,2,4PACPCAPAC. () 求ACP; () 若APB的面积是3 32, 求sinBAP. （18） （本小题满分12 分）近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516 亿元人民币， 与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200 次成功交易， 并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80 次. () 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？() 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3 次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX.对服务满意对服务不满意合计对商品满意80 对商品不满意合计200 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 EDCBAEDCBA附：2K2n adbcabcdacbd（其中nabcd为样本容量）（19） （本小题满分12 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，BDDC, 点E是BC边的中点 , 将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE,AC,DE, 得到如图 2 所示的几何体 . () 求证：AB平面ADC；() 若1AD，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值 . 图 1 图 2 （20） （本小题满分12 分）过点, 2P a作抛物线2:4C xy的两条切线 , 切点分别为11,A x y, 22,B xy. () 证明 :1212xxy y为定值 ; () 记PAB的外接圆的圆心为点M, 点F是抛物线C的焦点 , 对任意实数a, 试判断以PM为直径的圆是否恒过点F? 并说明理由 . （21） （本小题满分12 分）已知函数ln0afxxax. () 若函数fx有零点 , 求实数a的取值范围 ; () 证明 :当a2e，1b时, 1lnfbb. 2P Kk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 请考生在第2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为3,(1,xttyt为参数). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2 2 cos.4C() 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; () 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. （23） （本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲已知函数12fxxaxa. () 若13f，求实数a的取值范围 ; () 若1,axR , 求证：2fx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 PCBA2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B 二、填空题（13）4（14）540（15）1,8,2U（16）292三、解答题(17) 解:() 在APC中, 因为60 ,2,4PACPCAPAC, 由余弦定理得2222cosPCAPACAP ACPAC, 1 分所以2222424cos60APAPAPAP, 整理得2440APAP, 2 分解得2AP. 3 分所以2AC. 4 分所以 APC是等边三角形 . 5 分所以60.ACP6 分() 法 1: 由于APB是APC的外角 , 所以120APB. 7 分因为 APB的面积是3 32, 所以13 3sin22AP PBAPB.8 分所以3PB. 9 分在APB中, 2222cosABAPPBAP PBAPB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 DPCBA2223223cos12019, 所以19AB. 10 分在APB中, 由正弦定理得sinsinABPBAPBBAP, 11 分所以sinBAP3sin120193 5738.12 分法 2: 作ADBC, 垂足为D, 因为APC是边长为2的等边三角形 , 所以1,3,30PDADPAD. 7 分因为APB的面积是3 32, 所以13 322AD PB. 8 分所以3PB. 9 分所以4BD. 在 RtADB中, 2219ABBDAD, 10 分所以4sin19BDBADAB, 3cos19ADBADAB. 所以sinsin30BAPBADsincos30cossin30BADBAD11 分43312219193 5738. 12 分（18）解：()22列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意80 40 120 对商品不满意70 10 80 合计150 50 200 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 2 分2220080 1040 7011.111,150 50 120 80K3 分因为11.1116.635，所以能有99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4 分() 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X的取值可以是0，1，2，36 分321332723540;1;512555125P XP XC212323362=55125P XC；30332383=55125P XC. 10 分X的分布列为：11 分所以2754368601231251251251255EX. 12 分或者 :由于23,5XB:，则26355EX. 12 分(19) 解：() 因为平面ABD平面BCD，平面ABD I平面BCDBD，又BDDC，所以DC平面ABD. 1 分因为AB平面ABD，所以DCAB. 2 分又因为折叠前后均有ADAB，DCADD, 3 分所以AB平面ADC. 4分() 由（）知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD. 5 分又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD. 依题意6tanADCDCAD. 6 分因为1AD，所以6CD. 设0ABx x，则12xBD. 依题意ABDBDC，所以ABCDADBD，即1612xx. 7 分解得2x，故222,3,3ABBDBCBDCD. 8 分法 1：如图所示， 建立空间直角坐标系Dxyz，则)0,0,0(D,)0,0,3(B,)0,6,0(C，X0 1 2 3 P2712554125361258125名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 zyxEDCBAGFEDCBA36,022E，36,0,33A，所以36,022DEuuu r，36,0,33DAuuu r.由（）知平面BAD的法向量)0, 1 , 0(n.9 分设平面ADE的法向量),(zyxm由0,0,m DEm DAu r uu u ru r uu u r得360,22360.33xyxz令6x，得3,3yz, 所以)3,3,6(m. 10 分所以21|,cosmnmnmn. 11 分由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为12. 12 分法 2 ：因为DC平面ABD，过点E作EF/DC交BD于F，则EF平面ABD. 因为AD平面ABD，所以EFAD. 9 分过点F作FGAD于G，连接GE，所以AD平面EFG，因此ADGE. 所以二面角BADE的平面角为EGF. 10 分由平面几何知识求得2621CDEF，2221ABFG，所以222EGEFFG. 所以 cosEGF=21EGFG. 11 分所以二面角BADE的余弦值为12. 12 分（20）解：() 法 1:由24xy,得214yx,所以12yx. 所以直线PA的斜率为112x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 因为点11,A x y和22,B xy在抛物线C上, 所以21114yx,22214yx. 所以直线PA的方程为21111142yxxxx. 1 分因为点, 2P a在直线PA上, 所以211111242xxax,即211280 xax. 2 分同理 ,222280 xax. 3 分所以12,x x是方程2280 xax的两个根 . 所以128x x. 4 分又22212121211144416y yxxx x, 5 分所以12124x xy y为定值 . 6分法 2:设过点, 2P a且与抛物线C相切的切线方程为2yk xa, 1 分由22,4 ,yk xaxy消去y得24480 xkxka, 由2164 480kak, 化简得220kak. 2分所以122k k. 3 分由24xy,得214yx,所以12yx. 所以直线PA的斜率为1112kx,直线PB的斜率为2212kx. 所以12124x x, 即128x x. 4 分又22212121211144416y yxxx x, 5 分所以12124x xy y为定值 . 6分() 法 1：直线PA的垂直平分线方程为1112222yxayxx, 7 分由于21114yx,21182xax, 所以直线PA的垂直平分线方程为111242axxayxx. 8 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 同理直线PB的垂直平分线方程为222242axxayxx. 9 分由解得32xa, 212ay, 所以点23,122aMa. 10 分抛物线C的焦点为0,1 ,F则23,3 .22aMFaPFau uu ruuu r由于2233022aaMF PFu uu r uuu r，11 分所以.MFPFu uu ruuu r所以以PM为直径的圆恒过点.F12 分另法 : 以PM为直径的圆的方程为23210.22axaxayy 11 分把点0,1F代入上方程 ,知点F的坐标是方程的解. 所以以PM为直径的圆恒过点.F12 分法 2：设点M的坐标为,m n，则PAB的外接圆方程为22222xmynman，由于点1122,A x yB xy在该圆上，则2222112xmynman，2222222xmynman. 两式相减得12121212220 xxxxmyyyyn, 7 分由()知2212121122112 ,8,44xxa x xyxyx,代入上式得31244420 xxamaaan, 8 分当12xx时, 得38420amaan, 假设以PM为直径的圆恒过点F,则,MFPFuuuru uu r即,1, 30m nag,得310man, 9 分由解得231,122ma na, 10 分所以点231,122Maa. 11 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 当12xx时, 则0a,点0,1M. 所以以PM为直径的圆恒过点.F12 分（21）解 : ()法 1: 函数lnafxxx的定义域为0,. 由lnafxxx, 得221axafxxxx. 1 分因为0a,则0,xa时,0fx;,xa时,0fx. 所以函数fx在0,a上单调递减 , 在,a上单调递增 . 2 分当xa时,minln1fxa. 3 分当ln10a, 即0a1e时, 又1ln10faa, 则函数fx有零点 . 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分法 2：函数lnafxxx的定义域为0,. 由ln0afxxx, 得lnaxx. 1 分令lng xxx，则ln1gxx. 当10,xe时, 0gx; 当1,xe时, 0gx. 所以函数g x在10,e上单调递增 , 在1,e上单调递减 . 2 分故1xe时, 函数g x取得最大值1111lngeeee. 3分因而函数lnafxxx有零点 , 则10ae. 4 分所以实数a的取值范围为10,e. 5 分() 令lnh xxxa, 则ln1hxx. 当10 xe时,0fx;当1xe时,0fx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 所以函数h x在10,e上单调递减 , 在1,e上单调递增 . 当1xe时, min1h xae. 6 分于是 ,当a2e时, 11.h xaee7 分令xxxe, 则1xxxxexeex. 当01x时,0fx;当1x时,0fx. 所以函数x在0,1上单调递增 , 在1,上单调递减 . 当1x时, max1xe. 8 分于是 , 当0 x时, 1.xe9 分显然 , 不等式、中的等号不能同时成立. 故当0,x2ae时, lnxxxaxe. 10 分因为1,b所以ln0b. 所以lnlnln lnlnbbbab e. 11 分所以1ln lnlnabbb, 即1lnfbb. 12 分（22）解：() 由3,1,xtyt消去t得40 xy, 1 分所以直线l的普通方程为40 xy. 2 分由2 2 cos42 2 cos cossinsin2cos2sin44, 3 分得22cos2sin. 4 分将222,cos,sinxyxy代入上式 , 得曲线C的直角坐标方程为2222xyxy, 即22112xy. 5 分() 法 1:设曲线C上的点为12 cos ,12 sinP, 6 分则点P到直线l的距离为12 cos12sin42d7 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 2 sincos222sin24.28 分当sin14时, max2 2d, 9 分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2.10 分法 2: 设与直线l平行的直线为:0lxyb, 6 分当直线l与圆C相切时 , 得1 122b, 7 分解得0b或4b(舍去), 所以直线l的方程为0 xy. 8 分所以直线l与直线l的距离为042 22d. 9 分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2. 10 分（23）解：() 因为13f，所以1 23aa. 1 分 当0a时，得1 23aa，解得23a，所以203a; 2 分 当102a时，得123aa，解得2a，所以102a; 3 分 当12a时，得123aa，解得43a，所以1423a; 4 分综上所述，实数a的取值范围是2 4,3 3. 5 分() 因为1,axR , 所以1212fxxaxaxaxa7 分31a8 分31a9 分2. 10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -