2022年平面向量全部讲义 .pdf

学习好资料欢迎下载第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量例 1若向量 a 与 b 不相等，则a与 b 一定 () A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量例 2.给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC等价于 四边形ABCD 为平行四边形；若ab，b c，则 ac； ab 等价于 |a|b|且 ab；若 a b，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() ABCDCA 2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc) 减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b的差三角形法则a ba( b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与a 的方向相反； (a)()a；( )a a a； (ab) a b当 0 时， a0例 3：化简 ACBDCDAB得() A.ABB.DAC.BCD0 例 4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BACDEF() A0BBECADDCF(2)设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点，AD12AB， BE23BC.若DE1AB 2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _巩固练习：1将 4(3a2b)2(b2a)化简成最简式为_2若 |OAOB|OA OB|，则非零向量 OA，OB的关系是 () A平行B重合C垂直D 不确定3若菱形 ABCD 的边长为 2，则 |ABCBCD|_ 4D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD等于 () ABC12BABBC12BACBC12BADBC12BA5若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ABCDBCDA；ACBDBCAD；ACBDDCAB.其中正确的有 () A0 个B1 个C2 个D3 个6如图，在 ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三等分点，CA3a， CB2b，求 CD，CE. DD12巩固练习1。16a6b2。C 3。2 4。A 5。C 6解： ABACCB3a2b，D，E为AB的两个三等分点，AD13AB a23bDE. CD CAAD3aa23b2a23b.CE CDDE2a23ba23ba43b.3共线向量定理：向量a(a0)与 b共线等价于存在唯一一个实数 ，使得 ba. 例 5已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与 (b3a)共线，则 _ 例 6设两个非零向量a 与 b不共线， (1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证： A，B，D 三点共线 (2)试确定实数k，使 ka b 和 akb 共线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载巩固练习：1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a0(为实数 )，则 必为零 ，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为() A1B2 C3 D4 2.如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD() Aa34bB.14a34b C.14a14bD.34a14b3已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab 与 c 共线，且b c与 a 共线，则向量 abc() AaBb CcD0 4 如图，在 ABC 中， A60 ， A 的平分线交BC 于 D，若 AB4，且AD14ACAB( R)，则 AD的长为 () A2 3 B3 3C43 D53 5 在?ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC， M 为 BC 的中点，则MN_(用a，b表示 )6设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外，BC216，|ABAC|ABAC|，则|AM|_. 例 513例 6解 (1)证明： ABab，BC2a 8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b 3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD共线，又它们有公共点B， A，B，D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb)，即 kab akb.(k )a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，k k10， k210. k 1. C B D B 14a14b 2 4向量的中线公式 : 若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内一点，则OP12(OAOB)5三点共线等价关系A，P，B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t) OAtOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点， tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点， xR，yR，xy1)第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1， y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)，|a|x21y21. (2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2 y12. 3平面向量共线的坐标表示设 a(x1， y1)，b(x2，y2)，其中 b0.ab? x1y2x2y10. 例 7若 A(0,1)， B(1,2)，C(3,4)，则 AB2BC_ 例 8.已知点 M(5，6)和向量 a (1， 2)，若MN3a，则点 N 的坐标为 () A(2,0)B(3,6) C(6,2) D (2,0) 例 9已知 A(2,4)，B(3， 1)，C(3， 4)设ABa，BCb，CAc.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n. 巩固练习：1若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c() A3abB3ab C a 3bDa3b2已知向量a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3)，则 |a|等于() A.2 B.3 C.5 D.10 3已知向量a(3,2)，b (x， 4)，若 ab，则 x() A4 B5 C6 D 7 4设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且 |AB|2|AP|，则点 P 的坐标为 () A(3,1) B(1， 1) C(3,1)或(1， 1) D无数多个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5已知 a(1,2)，b(3,2)，当 kab 与 a3b 平行时， k() A.14B14C13D.136已知向量a(cos ，sin )，向量 b(3， 1)，则 |2ab|的最大值、最小值分别是()D A4 2，0 B4 2， 4 C16,0 D4,0 7已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c _. 8已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若 (ac)b，则 k_.例 7(3， 3) 例 8.A 例 9解： 由已知得a(5， 5)，b (6， 3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5， 5)( 6， 3) 3(1,8) (1563， 15324)(6， 42)(2) mbnc(6mn， 3m8n)，6m n5，3m8n 5，解得m 1，n 1.B C C C C D 2ab 5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1， 2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底特别注意： 若 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a1e12e2，2211eeb则2211ba例 10： （1）如图，平面内有三个向量OA，OB， OC，其中 OA与OB的夹角为120 ，OA与 OC的夹角为30 ，且 |OA|OB|1，|OC|23，若 OC OA OB( ， R)，则 的值为 _（2）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _ （3） 如图，已知C为OAB边 AB上一点，且),(,2RnmOBnOAmOCCBAC, 则mn=_变式训练：1. 在ABC中, 已知D是AB边上一点 , 若123ADDB CDCACB，, 则（）AA23B13C13D232.设 D， E分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点， AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _3. 若M为ABC内一点 , 且满足ACABAM4143, 则ABM与ABC的面积之比为 _. 4.若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足5AMAB3AC，则 ABM 与 ABC 的面积比为() C A.15B.25C.35D.925例 10：6 2433ab29 A 121:4 C平面向量共线的坐标表示例 11已知 a(1,2)，b(3,2)，当实数 k 取何值时， ka2b与 2a4b 平行？练习： 1已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则mn等于()C A 2 B2 C12D.122已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若 A，B，C 三点共线，求a，b 的关系式； (2)若AC2AB，求点 C的坐标3平面内给定三个向量a(3,2)， b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数m，n；(2)若(akc) (2ba)，求实数k；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 11解法一： 2a4b 0，存在唯一实数 ，使 ka2b (2a4b)将 a，b 的坐标代入上式，得(k6,2k4) (14， 4)，得 k614 且 2k4 4 ，解得 k 1. 解法二： 同法一有 ka2b (2a4b)，即 (k2 )a(24 )b0.a 与 b 不共线，k2 0，24 0.k1. 1C 2解： (1)由已知得AB(2， 2)，AC(a 1，b1)，A，B，C 三点共线，ABAC. 2(b1)2(a1)0，即 a b2. (2)AC2AB， (a1，b1)2(2， 2)a14，b1 4，解得a5，b 3.点C 的坐标为 (5， 3)3解(1)由题意得 (3,2) m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba( 5,2)，由题意得2(34k)(5)(2 k)0. k1613平面向量的数量积及应用知识梳理1两个向量的夹角(1)定义：已知两个_向量 a 和 b，作OAa，OBb，则 _称作向量a 与向量 b的夹角，记作a，b (2)范围：向量夹角a，b的范围是 _，且 _ b，a (3)向量垂直：如果a，b _，则 a 与 b 垂直，记作 _2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：_叫作向量a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b_.可见， a b是实数，可以等于正数、负数、零其中 |a|cos (|b|cos )叫作向量a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影(2)向量数量积的运算律a b_(交换律 ) (ab) c_(分配律 ) ( a) b_a ( b)(数乘结合律 )3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2) 性质几何表示坐标表示定义a b|a|b|cosa，ba b a1b1 a2b2模a a|a|2或|a|a a2221|aaa若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1) AB(x2x1)2 (y2y1)2ab的等价条件a b0a1b1a2b20 夹角cosa，ba b|a|b|(|a|b| 0)cos a， b 2221222122211bbaababa|a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|222122212211|bbaababa一、平面向量数量积的运算例 1(1)在等边三角形ABC 中，D 为 AB 的中点， AB 5，求ABBC，CD；(2)若 a(3， 4)，b(2,1)，求 (a2b) (2a3b)和|a 2b|. 变式训练1已知下列各式：|a|2 a2；a b|a|2ba；(a b)2a2b2； (a b)2a22a bb2，其中正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个2.下列命题中： cabacba)(；cbacba)()(； 2()ab2|a22| |abb； 若0ba，则0a或0b； 若,a bc b则ac；其中正确的是 _（答：）3.23120oabab已知，与 的夹角为，求2212323a bababab（）；（ ）；（ ）（） （）4.已知3a，4b，a与b的夹角为43，求(3) (2 )abab。5已知 a(1， 3)，b(4,6)，c(2,3)，则 (b c)a 等于 ()A(26， 78) B( 28，42) C 52 D78 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、求平面向量的模例 2 （1）设向量,a b满足1ab及323ab，求3ab的值（2）设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则 |3ab|等于 ()A5 B6C17D26 变式训练1已知 |a|=2,|b|=5,ab=-3, 则|a+b|= ,|a-b|= 2.若向量 a，b满足 |a|1，|b|2 且 a 与 b的夹角为3，则 |ab|_.3. ABC 中，3| AB，4| AC，5| BC，则BCAB_（答： 9） ；4.已知向量 a cos3x2，sin3x2，b cosx2， sinx2，且 x 3，4. (1) 求 a b 及|ab|；(2)若 f(x)a b|ab|，求 f(x)的最大值和最小值三、求夹角例 3 已知|a|4，|b|3，(2a 3b) (2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；变式训练：1. 12ababaab已知，且与 垂直，求与 的夹角。2若,a b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角（）A. 6 B. 3 C. 32 D. 653.已知,a b是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为 _（答：30）4、已知(6,0)a，( 5,5)b，则a与b的夹角为（）A、045B、060C、0135D、01205.已知11(1, ),(0,),22abcakb dab，c与d的夹角为4，则k等于 _（答： 1） ；6. 已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _（答：512）四。利用数量积解决垂直问题例 4 若非零向量、满足，证明 :变式训练：1. 已知( 1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m（答：32） ；2.以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B， 则点 B 的坐标是 _ （答：(1,3)或（3，1） ） ；3.已知( , ),na b向量nm，且nm，则m的坐标是 _ （答：( ,)(, )bab a或）4已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(ac) (b c) 0，则 |c|的最大值是 () 答案：B A.7 B.2C.3 D.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5. 在ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k) ，且 ABC的一个内角为直角，求k值五：求夹角范围例 5 （ 1）已知|2 |0ab, 且关于x的方程2|0 xa xa b有实根 , 则a与b的夹角的取值范围是( ) A.0,6 B., 3 C.2,33 D., 6（2）已知)2,(a，)2,3(b, 如果a与b的夹角为锐角, 则的取值范围是变式训练1.设平面向量a=(2，1)，b=(， 1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）答案： A A、),2()2,21(B、), 2(C、),21(D、)21,(2.已知OF Q的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF ,夹角的取值范围是_（(,)4 3） ；六、向量与三角综合应用例 6 设( c o s , (1 ) s i n ) ,( c o s , s i n ) , (0 , 0)2ab是平面上的两个向量，若向量ab与ab互相垂直 .( ）求实数的值； (）若45a b，且4tan3，求tan的值 . 变式训练 设)sin,cos1(a，)sin,cos1(b，)0 ,1 (c，其中), 0(，)2,(，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且621，求4sin的值。【答案】)cossin2 ,2cos2(2a)2sin,2(cos2cos2)2cos2sin2,2sin2(2b)2cos,2(sin2sin2因为)2,(),0(，所以)2,0(2，),2(2，故2sin2,2cos2ba，2cos2cos22cos2cos21caca2cos)22cos(2sin2sin22sin22cbcb因为2220，所以222，又,621所以6222，故32，所以21)6sin(4sin。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -