2022年应用随机过程学习总结,推荐文档 .pdf
应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。1、概率空间方面，主要掌握sigma 代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup 表示上确界， inf表示下确界。本帖隐藏的内容2、 数字特征、 矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定， 因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N 阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数， 卷积可以交换顺序， 同时满足结合律和分配率。 条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = EE(X|Y) = intergral(E(X|Y=y)dFY(y)。二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由 Kolmogorov 定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1) 和 X(t2) 的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t) 的协方差函数 r(t,s)只与时间差t-s 有关， r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。2、独立增量过程：若XTn XT(n-1)对任意 n 均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。 若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t 的线性函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3、随机过程的分类不是绝对的。例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。参数为lambda的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。三、泊松过程计数过程 N(t), t=0是参数为 的泊松过程（ 0），具有平稳独立增量性。而其任意时间长度 t 发生的次数服从均值为* t 的泊松分布， 即 EN(t)= * t 。1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔，定义 Tn 表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0= 0。其中，Xn服从参数为 的指数分布，且相互独立。泊松过程在任何时候都是重新开始。Tn服从参数为 n 和 的 分布四、更新过程更新过程 N(t),t=0中 Xn仍保持独立同分布性， 但分布任意，不再局限于指数分布。更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时Xn就是第 n-1 次和第 n 次更新相距的时间， Tn是第 n 次更新发生的时刻，而N(t) 就是 t 时刻之前发生的总的更新次数。由强大数定理可知， 无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。因此，有限长时间内最多只能发生有限次更新。1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关EN(t)的性质。以 M(t) 记为 EN(t)，称为更新函数。此时， M(t) 是关于 t 的函数而不是随机变量。2、更 新方程：若 H(t) ，F(t) 为已知，且当 t1，则称 i 是周期的，如果 d=1则为非周期，空集时为无穷大。同属于一类的两状态周期相同。记 状态 i 出发经 n步后首次到达 j 的概率为 Fij(n)， 则所有可能 n的概率 Fij(n)加起来的和记为 Fij 。若 Fij=1 ，i 为常返状态， Fij=0 称为 Fn=sigmaX0,X1, ,Xn 适应的，如果对任意n=0，Sn是 Fn可测的，即 Sn可以表示为 X0,X1,X2, ,Xn 的函数1. 鞅的停时定理：任意随机函数 T是关于 Xn， n=0的停时，即T=n应由 n 时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，同时T必须是一个停时。 同时，T=n 也由 n 时刻及其之前的信息完全确定。若 T 和 S是两个停时，则 T+S，minT,S 和 maxT,S也是停时。则在一直 Fn 完全信息的前提下， 有界停时的期望赌本与初始赌本相同。特别的，当完全信息未知时，有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。2. 鞅的一致可积性：如果对任意0，存在 0，使得对任意 A，当 P(A) 时，有 E(|Xn|Ia) =0是关于 Xn, n=0的鞅，并且存在常数C有限，使得E(|Mn|)=0有平稳独立增量，对每个t0，B(t) 服从正态分布 N(0, t) 称之为标准布朗运动。布朗运动的二次变差B,B(t) = t。布 朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于B(t)-B(s) N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为 0， 方差为 t-s 的正态分布。当 s=0时，B(t)-B(0)N(0,t)。并且，对任意 0& lt;=st，B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u) ，0=u=0)是 t 的连续函数。由于布朗运动在有限维分布是空间平移不变的空间齐次性，只需研究始于0 的布朗运动即可。1. 高斯过程：有限维分布是多元正态分布的随机过程。布朗运动是一种特殊的高斯过程，即B(t) 的任何有限维分布都是正态的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2. B(t) 是鞅， B(t)2 - t 是鞅：即如果连续鞅X(t) 使得X(t)2 - t也是鞅，则 X(t) 是布朗运动。3. 布朗运动 B(t) 具有马尔科夫性，容易得到B(t+s) 在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),B(t)下的分布与在给定条件 B(t) 下的分布是一致的。同时由布朗运动具有时齐性， 即分布不随时间的平移而变化可知，布朗运动的所有有限维分布都是时齐的。4. 布朗运动的最大值变量及反正弦率： 即求始于 y 点的布朗运动在区间(a,b) 中至少有一个零点的概率为布朗运动的反正弦率。5. 几何布朗运动 X(t) = expB(t) 为几何布朗运动。在金融市场中，人们经常假定股票价格是按照几何布朗运动而发生变化。八、随机积分1. 布朗运动的积分， Ito 积分过程， Ito公式，随机微分方程2. Black-Scholes模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
